新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第10題 空間幾何體的結(jié)構(gòu) （解析版）

空間幾何體結(jié)構(gòu)核心考點(diǎn)考情統(tǒng)計(jì)考向預(yù)測備考策略棱長2023·北京卷T9可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以表面積體積問題與數(shù)學(xué)文化，生活生產(chǎn)等問題展開命題．空間幾何體以客觀題形式呈現(xiàn)，難度一般或較難，縱觀近幾年的新高考試題，分別考查棱錐的體積問題，圓錐的母線長問題，球體的內(nèi)切外接及表面積體積問題，棱臺的體積問題。面積2022·北京卷T9實(shí)際應(yīng)用2021·北京卷T81．（2023·北京卷T9）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若SKIPIF1<0，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面SKIPIF1<0的夾角的正切值均為SKIPIF1<0，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，過SKIPIF1<0做SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0分別做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，.同理：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所有棱長之和為SKIPIF1<0，故選C2．（2022·北京卷T9）已知正三棱錐SKIPIF1<0的六條棱長均為6，S是SKIPIF1<0及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合SKIPIF1<0，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0在底面上的投影為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，而三角形SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡圓在三角形SKIPIF1<0內(nèi)部，故其面積為SKIPIF1<0故選：B3．（2021·北京卷T8）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時(shí)段的降雨量（單位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【解析】由題意，一個半徑為SKIPIF1<0的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓錐，所以積水厚度SKIPIF1<0，屬于中雨，故選B.立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：SKIPIF1<0所有柱體體積公式：SKIPIF1<0球體體積公式：SKIPIF1<0球體表面積公式：SKIPIF1<0圓柱：SKIPIF1<0圓錐：SKIPIF1<0長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式已知長寬高求體對角線：SKIPIF1<0已知共點(diǎn)三面對角線求體對角線：SKIPIF1<0棱長為SKIPIF1<0的正四面體的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0,外接球的半徑為SKIPIF1<0.4.求解幾何體表面積的類型及方法（1）求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；（2）求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系；（3）求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.5.求空間幾何體體積的常用方法（1）公式法：對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解；（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積；（3）等體積法：一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.1．已知一個正六棱臺的兩底面邊長分別為SKIPIF1<0，高是SKIPIF1<0，則該棱臺的斜高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，正棱臺側(cè)面為上下底邊長分別為SKIPIF1<0的等腰梯形，

所以棱臺的斜高為SKIPIF1<0.故選：C2．將一個棱長為1的正方體放入一個圓柱內(nèi)，正方體可自由轉(zhuǎn)動，則該圓柱體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意知，當(dāng)圓柱底面直徑和高剛好等于正方體的的體對角線時(shí)體積最小，正方體的體對角線長為SKIPIF1<0所以，此時(shí)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，所以該圓柱體積的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.3．如圖①所示，圓錐繡球是虎耳草科繡球?qū)僦参铮谥袊饕植加谖鞅?、華東、華南、西南等地區(qū)，抗蟲害能力強(qiáng)，其花序碩大，類似于圓錐形，因此得名．現(xiàn)將某圓錐繡球近似看作如圖②所示的圓錐模型，已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓錐底面所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意直線SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，所以該圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．故選：C．4．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則將SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】

過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則將SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是都以SKIPIF1<0為底面圓半徑，分別以SKIPIF1<0為高的兩個圓錐的組合體，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由等面積法得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而所求體積為SKIPIF1<0.故選：D.5．《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為SKIPIF1<0的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由條件可得四片瓦的體積SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，所以共需粘土的體積為約為SKIPIF1<0，故選：B.6．一個邊長為10cm的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個容器側(cè)面與底面的夾角正切值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，正四棱錐的底面正方形邊長為6，斜高為SKIPIF1<0，則底面正方形邊心距為SKIPIF1<0，于是正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以這個容器側(cè)面與底面的夾角正切值為SKIPIF1<0.故選：B7．已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為SKIPIF1<0．在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)閳A錐的高與其底面圓的半徑相等，設(shè)圓錐的高為SKIPIF1<0，底面圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)閳A錐的體積為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，底面圓心為SKIPIF1<0，則高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與正方體的上底面交點(diǎn)為SKIPIF1<0,在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，取其軸截面，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該正方體的棱長為SKIPIF1<0.故選：D.8．已知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0間的距離為3，定點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)集合SKIPIF1<0，則S表示的曲線的長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在空間中，集合SKIPIF1<0表示以點(diǎn)A為球心，半徑SKIPIF1<0的球面，記SKIPIF1<0表示平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以S表示的曲線球A與平面SKIPIF1<0所截得的圓周，設(shè)其圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，

可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以S表示的曲線的長度為SKIPIF1<0.故選：B.9．“木桶效應(yīng)”是一個有名的心理效應(yīng)，是指木桶盛水量的多少，取決于構(gòu)成木桶的最短木板的長度，而不取決于構(gòu)成木桶的長木板的長度，常被用來寓意一個短處對于一個團(tuán)隊(duì)或者一個人的影響程度.某同學(xué)認(rèn)為，如果將該木桶斜放，發(fā)揮長板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水.根據(jù)該同學(xué)的說法，若有一個如圖①所示的圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口距離為2，若按照圖②的方式盛水，形成了一個橢圓水面，水面剛好與左邊缺口最低處M和右側(cè)桶口N齊平，且MN為該橢圓水面的長軸.則此時(shí)比圖①盛水方式多盛的水的體積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】作出截面圖，如圖，從缺口SKIPIF1<0向桶邊作垂線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0；因?yàn)橥皟A斜與底面成SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0;因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0;因?yàn)槿笨谝陨系膱A柱部分體積為SKIPIF1<0;所以多盛的水的體積為SKIPIF1<0.故選：B.

10．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時(shí)，增加的水量約為（

）（SKIPIF1<0，棱臺體積公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱臺的上下底的面積，SKIPIF1<0是棱臺的高）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為SKIPIF1<0(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積SKIPIF1<0．棱臺上底面積SKIPIF1<0，下底面積SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．11．金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.某金字塔的側(cè)面積之和等于底面積的2倍，則該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為底面的中心，高為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則設(shè)斜高為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)側(cè)面與底面所成的角為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因?yàn)榻鹱炙膫?cè)面積之和等于底面積的2倍，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.12．隨著北京中軸線申遺工作的進(jìn)行，古建筑備受關(guān)注．故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”．圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡（w?）殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面SKIPIF1<0題矩形，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是兩個全等的等腰梯形，SKIPIF1<0是兩個全等的等腰三角形．若SKIPIF1<0，則該幾何體的體積為（

）

（圖1）

（圖2）A．90 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．135【答案】B【解析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是全等的等腰三角形，由對稱性可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，連接點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，由對稱性可得四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以五面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．故選：B13．已知正四棱錐SKIPIF1<0，底面邊長為2，體積為SKIPIF1<0，則這個四棱錐的側(cè)棱長為.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)檎睦忮FSKIPIF1<0，底面邊長為2，所以底面積為：SKIPIF1<0.設(shè)正四棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以側(cè)棱長為：SKIPIF1<0.14．某圓柱體的底面半徑為2，母線長為4，則該圓柱體的表面積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題知圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，所以，該圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，圓柱的上下底面面積都為SKIPIF1<0，所以則該圓柱體的表面積為SKIPIF1<0.

15．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為SKIPIF1<0，則這個圓錐的側(cè)面積是．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為SKIPIF1<0，設(shè)母線為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0