專題37 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題37空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 4【考點突破】 13【考點1】基本事實的應(yīng)用 13【考點2】空間位置關(guān)系的判斷 21【考點3】異面直線所成的角 28【分層檢測】 35【基礎(chǔ)篇】 35【能力篇】 47【培優(yōu)篇】 52考試要求：1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.知識梳理知識梳理1.與平面有關(guān)的基本事實及推論(1)與平面有關(guān)的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實1的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.基本事實4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.4.異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·全國·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為6．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：1．A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.2．C【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.故選：C.3．A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．4．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D5．ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD6．BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.7．（1）證明見解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進行擴展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標(biāo)原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.8．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．考點突破考點突破【考點1】基本事實的應(yīng)用一、單選題1．（2002·全國·高考真題）已知，為異面直線，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點E，點F為棱CD的中點，則（

）A．三點共線 B．異面直線BD與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點的平面截該正方體所得截面的面積為4．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則（

）A．，，三條直線不可能交于一點，平面平面B．，，三條直線一定交于一點，平面平面C．直線與直線異面，平面平面D．直線與直線相交，平面平面三、填空題5．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點，則過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線的長為．參考答案：1．B【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象得到正確選項.【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖

綜上：與中的至少一條相交.故選：B2．C【分析】通過幾何性質(zhì)得出四邊形的形狀，由線線、線面垂直即可得出直線和平面與平面的關(guān)系.【詳解】對于①，因為平面與棱交于點，所以四點共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確對于②，在正方體中，面，因為面，所以，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故②錯誤；對于③，因為平面，，若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，所以平面與直線不可能垂直，故③錯誤對于④，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故④正確.綜上所述，正確的有①④.故選：C.3．ACD【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長度就是點到平面的距離，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，因為平面平面，所以平面平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點平面，所以也是平面與平面的公共點，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；因為平面平面ABCD，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線BD與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以,即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：因為，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ACD．4．BC【分析】證明出面面，判斷出多面體為三棱臺，由棱臺的結(jié)構(gòu)特征得到，，三條直線一定交于一點.判斷A，B；先證明出平面平面，由平面與平面不平行，得到平面與平面不垂直，判斷C，D.【詳解】在正方體中，平面，則.又，，所以平面，又平面，所以平面平面.因為，分別為，的中點，所以，，，，，，所以多面體為三棱臺，所以，，三條直線一定交于一點，故A錯誤，B正確；由題意知與相交，所以與異面，因為平面，平面，所以平面平面，又平面與平面不平行，所以平面與平面不垂直，故C正確，D錯誤.故選：BC.5．【分析】作出輔助線，得到平面截該四棱柱所得截面為五邊形，求出各邊邊長，相加得到答案.【詳解】延長相交于點，連接交于點，連接，因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，所以，，，因為∽，，故，，在上取點，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點共面，則平面截該四棱柱所得的截面為五邊形，，，同理，故截面周長為.故答案為：6．【分析】首先根據(jù)平行線將平面進行擴展得到過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，確定點為線段的三等分點靠近的點，最后在直角三角形中求得線段的長度即可.【詳解】由題意將直三棱柱補成一個直四棱柱,取中點，連接,顯然，取中點，連接，則，所以A，D，F(xiàn)，E四點共平面，連接與的交點為，連接所以過點A，D，F(xiàn)，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，因為，且,所以點為線段的三等分點靠近的點，因為，所以，又D為中點，所以，因為面,所以，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查截面問題，如需要將平面進行擴展，一般有兩種方法，一是通過做平行線進行擴展，一種是找相交直線確定交線上的點進行擴展，在備考中注意多總結(jié).反思提升：共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.【考點2】空間位置關(guān)系的判斷一、單選題1．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內(nèi)一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，則（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直線，若，，與所成的角為，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．內(nèi)垂直a的直線必垂直于B．內(nèi)的任意直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線C．b與所成的角為D．b與內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則（）A．異面直線與所成角的余弦值為B．點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最大值為C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立6．（2022·北京平谷·模擬預(yù)測）設(shè)棱長為2的正方體，是中點，點、分別是棱、上的動點，給出以下四個結(jié)論：①存在；②存在平面；③存在無數(shù)個等腰三角形；④三棱錐的體積的取值范圍是.則所有結(jié)論正確的序號是.參考答案：1．D【分析】由題意知平面平面，可先令為中點，再證明當(dāng)點為中點時，滿足平面平面，即可輕易得出的值.【詳解】因為為空間內(nèi)一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，所以∥平面,而平面，故平面平面.在正方體中，如圖所示，取中點為,中點為,連接，假設(shè)為中點，則為等腰三角形，中點為,所以;又因為,,所以，中點為,中點為,所以,而,所以，，平面，所以平面，平面,所以；因為，，,平面，所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，故為中點，.故選：D.2．D【分析】根據(jù)空間中的線線，線面，面面關(guān)系一一分析即可.【詳解】對于A項，需要加上與相交才符合線面垂直的判定定理，故A錯誤；對于B項，有可能，故B錯誤；對于C項，與沒有關(guān)系，斜交?垂直平行都有可能，故C錯誤；對于D項，若，，則，而，故，故D正確.故選：D.3．ABD【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷AB；線面位置關(guān)系可判斷C；由最小角定理可判斷D．【詳解】對于A選項，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，內(nèi)垂直a的直線必垂直于β，A正確；對于B選項，在內(nèi)作的垂線，則此垂線必垂直于，自然也就垂直內(nèi)的任意直線，這種垂線可以作無數(shù)條，所以B正確；對于C選項，b與所成的角為，但b與的位置關(guān)系不確定，不能確定b與β所成的角，特殊情況下可以是，所以C錯誤；對于D選項，由最小角定理可知，線面角是線與面內(nèi)的任意直線所成角中的最小的角，故D正確．故選：ABD．4．ACD【分析】對于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于B：取的中點的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于C：過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于D：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.【詳解】對于A選項，，在中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故A正確；對于B選項，取的中點的中點，取的中點，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故B錯誤；對于C選項，過點的平面截正方體，平面平面，則過點的平面必與與交于兩點，設(shè)過點的平面必與與分別交于、，過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；對于D選項，如圖所示，取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故D項正確，故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點睛：通過證明面面平行得到動點的軌跡，利用空間向量法確定點的位置是B、C的關(guān)鍵.5．（1）（3）【分析】由線面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定，性質(zhì)定理判斷即可，不正確的舉出一個反例即可.【詳解】（1）若，，所以，因為，所以，（1）正確；（2）若，，且是平面外的直線，則，又因為，所以與平行或相交，（2）錯誤；（3）因為，，則，又因為，是平面外的直線，所以，（3）正確；（4）若，，且是平面外的直線，則，又因為，則與平行或相交，（4）錯誤.故答案為：（1）（3）6．③④【分析】結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用棱錐的體積公式以及空間向量的坐標(biāo)運算逐一判斷即可.【詳解】對于①：取中點P，當(dāng)點N在上移動時，直線平面，同時當(dāng)點M在直線AB上移動時平面，因為，故與不可能平行，①錯誤.對于②：如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，,設(shè)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，所以，所以，故與平面不垂直，②錯誤.對于③：令即，化簡得，即，，，因為，所以該式在的范圍中存在無數(shù)組解，故說明有無數(shù)組可使，故③正確.對于④：根據(jù)等體積性質(zhì)可知，所以該三棱錐高可以看作，所以體積的取值范圍即底面積的取值范圍，根據(jù)點M位置的變化可知，當(dāng)點M在A點時最小，當(dāng)點M在B點時最大，計算得，，所以，故④正確.故答案為：③④反思提升：空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【考點3】異面直線所成的角一、單選題1．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是異面直線， B．，是相交直線，C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為．若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點分別旋轉(zhuǎn)至點處，且四點共面，點分別位于兩側(cè)，則下列說法中正確的是（

）

A．多面體存在外接球 B．C．平面 D．點運動所形成的最短軌跡長大于4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則（）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．當(dāng)為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則．6．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線，直線與，均相互垂直，且，動點，分別位于直線，上，若直線與所成的角，三棱錐的體積的最大值為.參考答案：1．A【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，如圖：取的中點，連接，，因為平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．故選：A．2．A【分析】將正方體的展開圖重新組合成正方體，對選項逐個分析，判斷易得只有A選項正確.【詳解】如圖所示，將展開圖重新組合成正方體.顯然.因此A選項正確.

由圖易得，顯然與所成角非直角，因此異面直線與所成角也非直角，所以不成立.因此B、C選項不正確.由圖易得，顯然與相交，因此不成立.因此D選項不正確.故選：A3．BCD【分析】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，由即可判斷A；正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，將正三棱錐放到正方體中，即可判斷BCD．【詳解】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，連接，，則，平面，又平面，所以，所以，因為，所以多面體不存在外接球，故選項A錯誤；

因為正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，則正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，所以正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點分別旋轉(zhuǎn)至點處，且四點共面，點分別位于兩側(cè)時，如圖所示，易知四邊形為平行四邊形，則，又平面，且平面，所以平面，故C正確；因為四邊形為正方形，所以，所以，故B正確；

設(shè)交于點，則互相平分，，，在中，，同理可得，在中，，所以，又因為點運動的最短軌跡是以的中點為圓心，半徑為的圓弧，所以點運動所形成的最短軌跡長大于．故選項D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題BC選項的關(guān)鍵是利用線面平行的判定得到平面，D選項的關(guān)鍵是得到點運動的最短軌跡是以的中點為圓心，半徑為的圓弧.4．ABD【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式,異面直線的夾角和外接球的表面積公式逐項判斷即可.【詳解】對于，由正方體的性質(zhì)，在、上的射影分別為、，而，，則，，，又平面ACD所以面，平面，所以平面平面，故正確；對于，因為，平面，所以點到平面的距離為定值，又的面積不變，所以三棱錐的體積為定值，故正確；對于，因為，所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，因為是等邊三角形，當(dāng)與線段的兩個端點重合時，直線與所成的角最小為，當(dāng)與線段的中點重合時，直線與所成的角最大為，所以所求角的范圍是，故錯誤；對于，該正四面體的外接球即為正方體外接球，，故所求球的表面積為，故正確.故選：.5．【分析】因為，且，得到直線與所成角即為直線與所成角在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，且則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故答案為：.6．/【分析】根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體，再根據(jù)，可得即為直線與所成的角的平面角，由此可求得，從而可得，再根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因為直線三條直線兩兩垂直，如圖，將圖形還原為長方體，因為，所以即為直線與所成的角的平面角，則，因為平面，平面，所以，在中，由，得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體，從特殊幾何體入手是解決本題的關(guān)鍵.反思提升：1.綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線.(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說法正確的是（

）A．正方體各面所在平面將空間分成27個部分B．過平面外一點，有且僅有一條直線與這個平面平行C．若空間中四條不同的直線滿足，則D．若為異面直線，平面平面，且與相交，若直線滿足，則必平行于和的交線2．（2024·上海·三模）如圖，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（

）A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線3．（2020·四川眉山·二模）給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（

）A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線B．若，則l與m可能垂直C．若，且，則l與m可能平行D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直二、多選題5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A． B．C．與成60°角 D．與是異面直線6．（2024·山西運城·一模）設(shè)a、b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2024·廣東深圳·二模）已知m，n是異面直線，，，那么（

）A．當(dāng)，或時，B．當(dāng)，且時，C．當(dāng)時，，或D．當(dāng)，不平行時，m與不平行，且n與不平行三、填空題8．（20-21高二上·山西太原·階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點共線；②若三條直線互相平行且分別交直線于三點，則這四條直線共面；③若直線異面，異面，則異面；④若，則.9．（2024·江蘇南通·二模）已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為.10．（2005·山東·高考真題）已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線，若，則．上面的命題中，真命題的序號是．（寫出所有真命題的序號）四、解答題11．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正四面體A-BCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且，．(1)求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上；(2)若，求點B到平面EFGH的距離．12．（2023·廣東汕頭·二模）如圖，正方體中，直線平面，，.(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線，使得，并說明理由；(2)設(shè)點A與（1）中所作直線確定平面.①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；②請在備用圖中作出平面截正方體所得的截面，并寫出作法.參考答案：1．A【分析】利用空間關(guān)系，可以判斷AB，對于C可用正方體模型來舉反例，對于D也是舉反例.【詳解】對于A，利用四個側(cè)面將空間分成九個部分，再由上下底面又將空間分成上中下三層，所以可以將空間分成27個部分，故A是正確的；對于B，因為過平面外一點可以作一個平面與該平面平行，在這個平行平面內(nèi)有無數(shù)條過該點的直線都與已知平面平行，故B是錯誤的；對于C，在正方體中，把看成，把看成，把看成，把看成，它們滿足，但不滿足，故C是錯誤的；對于D，由平面平面，且與相交于，則，即滿足條件，但此時與重合，它們不平行，故D是錯誤的；故選：A.2．D【分析】連接，可得是的中點，可得與相交，進而可證，從而可得，從而可得.【詳解】連接，因為點N為正方形ABCD的中心，所以是的中點，所以平面，所以與相交，因為四邊形ABCD是正方形，所以，又因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為是等邊三角形，所以，所以，所以，又因為是的中點，所以.故選：D.3．B【解析】用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.4．B【分析】根據(jù)空間中線、面位置關(guān)系分析逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；對于選項B：若，則l與m可能垂直，如圖所示：，可知：，故B正確；

對于選項C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；對于選項D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取為平面，，

符合題意，但，故D錯誤；故選：B.5．BCD【分析】由展開圖翻折成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷直線間的位置關(guān)系．【詳解】展開圖翻折成的正方體如圖所示，因為，，因此，所以A錯誤；同理，，所以，B正確；或其補角是與所成的角，又△是等邊三角形，所以，所以與所成的角是，C正確.又平面，且與不平行，故與是異面直線，D正確.故選：BCD.6．BCD【分析】利用空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，分別判斷即可.【詳解】對于選項A，因為，所以或與相交或與異面，故選項A錯誤；對于選項B，因為，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，所以，故選項B正確；對于選項C，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，又，所以，又，，所以，故選項C正確；對于選項D，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，因為，所以直線與內(nèi)的某條直線平行，所以，因為，，所以，故選項D正確.故選：BCD.7．AB【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項依次判斷即可.【詳解】A：當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，故A正確；B：當(dāng)，時，又為異面直線，所以，故B正確；C：當(dāng)時，由，得或與相交；當(dāng)時，由，得或與相交，故C錯誤；D：當(dāng)不平行時，可能或與相交，或與相交，故D錯誤.故選：AB8．①②【分析】根據(jù)三點共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于①，設(shè)平面平面，因為，所以平面，所以，同理，，故三點共線，①正確；對于②，因為，所以可以確定一個平面，因為所以，所以，又，所以，因為，所以或，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；對于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯誤，如下右圖；對于④，，但，所以④錯誤，如下左圖.故正確的命題為①②.故答案為：①②9．/【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】如圖，，則兩兩垂直.作，垂足分別為，連接，則，所以為與的所成角，為與的所成角，即，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，所以，取，則，又，所以，即與所成的角為.故答案為：10．③④【分析】利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)可判斷各命題的真假．【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯誤；，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯誤；若，則，又由，則，故③正確；m，n是兩條異面直線，若，則過m的平面與平面相交于直線，有，過n的平面與平面相交于直線，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，由面面平行的判定可知，故④正確；故答案為：③④11．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)公理2的推論可知，E，F(xiàn)，G，H四點共面，再根據(jù)公理3即可證出；（2）根據(jù)等積法即可求出．【詳解】（1）因為，，所以，又，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點共面，且直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，設(shè)，因為，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上．（2）連結(jié)EG，BG，點B到平面EFGH的距離為d，正四面體的棱長為2易知該正四面體的高為，所以E到平面BFG的距離為，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距離為，而G到BF的距離也為，則．由可得：，故點B到平面EFGH的距離為．12．(1)答案見解析；(2)①；②答案見解析.【分析】（1）取和中點分別為P、Q，利用正方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面，進而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得；設(shè)直線交于，連接分別交于，進而可得截面.【詳解】（1）由題意，P、Q分別為和的中點時，有，證明過程如下：連接，取和中點分別為P、Q，連接，∵，∴一定過經(jīng)過點E,∴PQ即為所求作的l.∵P、Q分別為和的中點，∴P、Q為的中位線，∴，且PQ過經(jīng)過點E，∵正方體的的上底面為正方形.∴，∵，∴，又∵正方體的側(cè)棱垂直底面，，∴，又∵，平面，.∴平面，∵平面，∴，即；（2）①連接AP，AQ，∵正方體中，有AD，DC，DD兩兩垂直，以D點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體邊長為2，則有，，，，，所以，，∵正方體的側(cè)棱垂直底面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.設(shè)平面，即平面APQ的法向量，則，.∴，，即令，則，.∴平面APQ的一個法向量.，，，設(shè)平面與平面ABCD的夾角的平面角為，則；②設(shè)直線交于，連接分別交于，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面，如圖所示.【能力篇】一、單選題1．（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則與為異面直線C．若，則 D．若，則三、填空題3．（2006·四川·高考真題），是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同平面，下面有四個命題：①，，；②，，③，，；④，，．其中真命題的編號是．四、解答題4．（2024·浙江·三模）在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動點.(1)若異面直線與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說明理由；(2)若，，求直線與平面所成角的最大值.參考答案：1．A【分析】由于上下底平行，則可得平面與上下底面的交線平行，則可得為平面與上底面的交線，為平面與下底面的交線，則梯形為平面截正方體的截面，可證得梯形為等腰梯形，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系求解即可.【詳解】連接，，與交點即為，因為，所以‖，因為‖，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因為正方體的棱長為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A

2．AD【分析】運用線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理可推理A項正確，利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可推理D項正確，B,C兩項可以通過舉反例說明其錯誤.【詳解】對于A項，因，經(jīng)過直線可作平面，使，則，因，則，又，故得，即A項正確；對于B項，若，則與可能相交、平行或異面，故B項錯誤；對于C項，若，則或，故C項錯誤；對于D項，因，經(jīng)過直線可作平面，使，則，又，，則，故得，即D項正確．故選：AD．3．①④【解析】利用在內(nèi)有與平行的直線，判斷①正確；因為，，根據(jù)可能，判斷②錯誤；由可能且，判斷③錯誤；由，，，可得，判斷④正確.【詳解】①因為，；所以在內(nèi)有與平行的直線，又，則，故①正確；②因為，，所以，又因為，則可能，故②錯誤；③因為，，，所以可能且，故③錯誤；④因為，，，所以，故④正確.故答案為：①④【點睛】本題考查空間內(nèi)的直線與平面的平行關(guān)系和垂直關(guān)系，是基礎(chǔ)題.4．(1)答案見解析，理由見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，，即可說明，則（或其補角）為異面直線與所成的角，分和兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出線面角的最大值.【詳解】（1）取的中點，連接，，因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補角）為異面直線與所成的角，①當(dāng)時，在中，，，由余弦定理可知，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以.②當(dāng)，假設(shè)，則由①有平面，因為平面，所以，，這與相矛盾，故此時與不垂直.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，與不垂直.（2）由，點是中點，可得，從而由可得，又，所以，即，因為，由（1）有，所以，所以兩兩互相垂直，故可以為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.故，，，，.因為，設(shè)平面的法向量為，則有設(shè)，則，又