專(zhuān)題54 證明及探索性問(wèn)題解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)P(yáng)age專(zhuān)題54證明及探索性問(wèn)題（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 14【考點(diǎn)1】證明問(wèn)題 14【考點(diǎn)2】探索性問(wèn)題 25【分層檢測(cè)】 37【基礎(chǔ)篇】 37【能力篇】 47【培優(yōu)篇】 51真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線(xiàn)與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，證明：軸．3．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線(xiàn)段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．求證：．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線(xiàn)上.6．（2023·全國(guó)·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．參考答案：1．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得.（2）設(shè)，求出，再利用給定關(guān)系求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍.（3）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可得，再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，得，即，又，所以.（2）設(shè)，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設(shè)，由圖象對(duì)稱(chēng)性，得、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設(shè)直線(xiàn)，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線(xiàn)與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；涉及到直線(xiàn)方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線(xiàn)斜率為0或不存在等特殊情形．2．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，用【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線(xiàn)的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線(xiàn)，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線(xiàn)方程為：，，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的斜率存在，則可設(shè)該直線(xiàn)方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線(xiàn)方程的合理假設(shè).4．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線(xiàn)、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線(xiàn)的方程為，，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線(xiàn)的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.5．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線(xiàn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線(xiàn)與的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線(xiàn)上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線(xiàn)方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線(xiàn)方程的定直線(xiàn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.6．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線(xiàn)的方程為，將其與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線(xiàn)的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，則，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線(xiàn)，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，直線(xiàn)的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線(xiàn)向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線(xiàn),矩形變換為矩形,則問(wèn)題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.

.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮得，同時(shí)為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，對(duì)右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】證明問(wèn)題一、解答題1．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)均不與軸垂直.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的方程；(3)記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，證明:為定值.2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線(xiàn)與E交于另一點(diǎn)C，直線(xiàn)與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)．3．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)：（，）的一條漸近線(xiàn)方程為，頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)0,2，與的左、右兩支交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線(xiàn)的方程．4．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線(xiàn)的距離為(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)的直線(xiàn)與的左、右支分別交于點(diǎn)，與圓交于與不重合的兩點(diǎn).①求直線(xiàn)斜率的取值范圍；②求的取值范圍.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為．過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)，，且直線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于E，P兩點(diǎn)，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點(diǎn)，直線(xiàn)ME與直線(xiàn)NP交于點(diǎn)H．(1)求的方程．(2)直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)證明：點(diǎn)H在直線(xiàn)上．6．（23-24高二下·貴州黔南·期末）已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M，N，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．參考答案：1．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得的方程；（3）將韋達(dá)定理代入中計(jì)算結(jié)果為定值.【詳解】（1）由題意得解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，由，得，則.，解得或當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為.（3）直線(xiàn)，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.2．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，，，的方程為【詳解】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長(zhǎng)為，所以，又因?yàn)闄E圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，B則直線(xiàn)的方程為，則，由得，，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點(diǎn)共線(xiàn)，得，所以，直線(xiàn)CD的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知，如果直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，令得，，故直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.3．(1)(2)【分析】（1）利用漸近線(xiàn)的斜率及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立關(guān)于的等式求解即可；（2）分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，易知直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，表示出的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出點(diǎn)到的距離，利用三角形的面積公式建立等式進(jìn)行求解出，即可求出直線(xiàn)的方程．【詳解】（1）由題得，①由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，則，②聯(lián)立①②解得，，所以的方程為．（2）設(shè)Ax1,當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，由得，所以，解得，因?yàn)?，，所以．又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以的面積，解得或；又因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的方程為．4．(1)(2)①；②【分析】（1）由右焦點(diǎn)到其中一條漸近線(xiàn)的距離為，求出，由此可得雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，設(shè)直線(xiàn)②求出，，再求的表達(dá)式，由此可求其范圍.【詳解】（1）由題意可得，且右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①由（1）知，，設(shè)Ax1,y由題意可得直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)的方程為與聯(lián)立得，所以，，，，又兩點(diǎn)在軸同一側(cè)，所以.此時(shí)，即.圓的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由得，由，得，所以或，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)斜率的取值范圍是.②.，所以，設(shè)，則，所以的取值范圍是.

【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.5．(1)(2)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)和的方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，得直線(xiàn)AB方程，由方程判斷所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）表示出直線(xiàn)ME與直線(xiàn)NP方程，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則有，，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.（2）直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)各有兩個(gè)交點(diǎn)，可知直線(xiàn)，斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)，設(shè)，由，消去并整理得，此時(shí)，由韋達(dá)定理得，，由A為弦MN的中點(diǎn)，有，則，由垂直的條件，可將換為，設(shè)，同理得，，有，當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)的方程為，當(dāng)且時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，方程為，即，可知時(shí)，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為.（3），同理得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即，同理，直線(xiàn)的方程為，由，消去解得，故直線(xiàn)ME與直線(xiàn)NP的交點(diǎn)在直線(xiàn)上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線(xiàn)方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線(xiàn)斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．6．(1)拋物線(xiàn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線(xiàn)方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立準(zhǔn)線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令即可證得題中的結(jié)論.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程得，解得，故拋物線(xiàn)方程為．其準(zhǔn)線(xiàn)方程為（2）證明：因?yàn)橹本€(xiàn)l的斜率不為0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)l的方程為.與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得．故．設(shè)，則，直線(xiàn)OM的方程為，與聯(lián)立，可得，同理可得．易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，則圓的方程為．令，整理可得，解得，即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．反思提升：圓錐曲線(xiàn)中的證明問(wèn)題常見(jiàn)的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，直線(xiàn)間的平行、垂直，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)等.(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過(guò)相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時(shí)也會(huì)用反證法證明.【考點(diǎn)2】探索性問(wèn)題一、解答題1．（2025·安徽·一模）橢圓的上頂點(diǎn)為，圓在橢圓內(nèi)．(1)求的取值范圍；(2)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，切線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，切線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．是否存在圓，使得直線(xiàn)與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．2．（22-23高二上·浙江金華·期中）已知橢圓C：＝1（）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（24-25高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)C：的中心為O，離心率，點(diǎn)A在x軸上，，點(diǎn)P是C上一定點(diǎn)，P到x軸的距離為1，且．(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)求C上任一點(diǎn)和A的距離的最小值；(3)若C上的點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，求證：在C上存在定點(diǎn)Q（異于P）使得P，M，N，Q在同一個(gè)圓上．4．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2024·山西·三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)已知點(diǎn)，若E上存在一點(diǎn)P，使得，求t的取值范圍；(3)過(guò)的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交E于A，C兩點(diǎn)，B，C位于x軸的同側(cè)，證明：為定值.6．（2024·廣東·三模）已知拋物線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，的面積為16，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，，（）為拋物線(xiàn)上任意三點(diǎn)，記面積為，分別在點(diǎn)A、B、C處作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)、、，與的交點(diǎn)為D，與的交點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F，記面積為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：1．(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離小于半徑即可得出范圍；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程直線(xiàn),由點(diǎn)到直線(xiàn)距離等于半徑得出的方程為，最后再應(yīng)用圓心到直線(xiàn)距離等于半徑求參即可求出圓的方程．【詳解】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，，則．則．故．（2）由題意可知，設(shè)，因?yàn)椋是芯€(xiàn)的斜率都存在．又直線(xiàn)的方程為，即為，直線(xiàn)的方程為．則，故．而，故，又因?yàn)椋剩恚手本€(xiàn)的方程為．若直線(xiàn)與圓相切，則，令．故，即．故，或．故存在滿(mǎn)足條件的圓，其方程為．2．(1)(2)存在最大值，最大值為【分析】（1）由題意直接得到，，然后計(jì)算出即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，設(shè)，，則，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，求出直線(xiàn)的方程，令，求出，即直線(xiàn)與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，然后計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知直線(xiàn)的斜率不為，且斜率不可能不存在（否則重合），所以設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去，得，所以，設(shè)，，則，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，直線(xiàn)的斜率為：，所以直線(xiàn)的方程為，令，得，即直線(xiàn)與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵在于得出直線(xiàn)與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，且得到，由此即可順利得解3．(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）利用點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率求解即可；（2）利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程求解即可；（3）利用直線(xiàn)的參數(shù)方程，結(jié)合相交弦定理的逆定理，即可證明四點(diǎn)共圓.【詳解】（1），故點(diǎn)P在的垂直平分線(xiàn)上，且點(diǎn)A在x軸上，，故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，P到x軸的距離為1，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)將點(diǎn)P代入雙曲線(xiàn)的方程得：，且離心率，結(jié)合，解得：，故雙曲線(xiàn)C的方程為：；（2）點(diǎn)A在x軸上，，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)A在x軸正半軸或者負(fù)半軸上，雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)和A的距離的最小值都一樣，不妨設(shè)，設(shè)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)Bx,y，則，，故，，所以，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，AB取最小值，故C上任一點(diǎn)和A的距離的最小值為.（3）當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸，在第一象限時(shí)，易得，，故，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，由得：,若，則，且P，M，N，Q都在雙曲線(xiàn)上，易知此時(shí)四邊形非等腰梯形，故一定不滿(mǎn)足P，M，N，Q四點(diǎn)共圓，所以，故直線(xiàn)一定有交點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的的交點(diǎn)為，

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，故，同理可得：,P，M，N，Q四點(diǎn)共圓等價(jià)于，即，即，故，且，故直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立雙曲線(xiàn)得，,此時(shí)在C上存在定點(diǎn)使得P，M，N，Q在同一個(gè)圓上.由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，或者點(diǎn)在其他象限時(shí)，在C上同樣存在定點(diǎn)Q（異于P）使得P，M，N，Q在同一個(gè)圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明四點(diǎn)共圓一般利用四邊形對(duì)角互補(bǔ)或者利用相交弦定理的逆定理證明.相交弦定理的逆定理：兩連成相交的兩條線(xiàn)段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線(xiàn)段之積相等，即可證明這四點(diǎn)共圓.4．(1)(2)存在，為定值．【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線(xiàn)方程；（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應(yīng)用弦長(zhǎng)公式，最后計(jì)算得出定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)滿(mǎn)足條件，由（1）知，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以?xún)牲c(diǎn)在軸同側(cè)，所以．此時(shí)，即，所以．設(shè)，將代入拋物線(xiàn)方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．5．(1)(2)(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意可知焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，即可得方程；（2）設(shè)Px,y，利用平面向量數(shù)量積可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解；（3）設(shè)，求直線(xiàn)的方程，結(jié)合題意可得，結(jié)合夾角公式分析求解.【詳解】（1）由題意可知：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為.（2）設(shè)Px,y，可知，則，可得，顯然不滿(mǎn)足上式，則，可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即，所以t的取值范圍為.（3）設(shè)，則直線(xiàn)的斜率，可得直線(xiàn)的方程，整理得，同理可得：直線(xiàn)的方程，由題意可得：，整理得，又因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率分別為，顯然為銳角，則，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．6．(1)；(2)存在，2【分析】（1）由題意可得，則，再由的面積為16，列方程可求出，從而可求得的方程；（2）表示出直線(xiàn)AC的方程，直線(xiàn)與的交點(diǎn)為T(mén)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則表示出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出、、的方程，求出的坐標(biāo)，表示出，化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，，因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)均在拋物線(xiàn)C上，所以，即，因?yàn)榈拿娣e為16，所以，解得，則的方程為；（2）直線(xiàn)AC的斜率為：，則：，直線(xiàn)與的交點(diǎn)為T(mén)，則點(diǎn)T為，所以

（?）

（??）所以：由，得，令，則的斜率，則有：，即：，同理：：，：，與相交得：，得：；同理可得：，；同理由（??）可知所以，所以存在，使得【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查拋物線(xiàn)中三角形的面積問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是用三點(diǎn)坐標(biāo)表示出這三點(diǎn)圍成的三角形的面積，考查計(jì)算能力，屬于較難題.反思提升：此類(lèi)問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、解答題1．（24-25高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線(xiàn)AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其漸近線(xiàn)的斜率為．(1)求的方程．(2)若動(dòng)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且，證明：為定值．3．（23-24高二上·山東青島·期末）已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若點(diǎn)，在上，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．4．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)：的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，.證明：為定值.5．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)：上，點(diǎn)F為的焦點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與及圓依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，如圖．(1)求拋物線(xiàn)的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)證明：為定值；6．（21-22高二上·青海玉樹(shù)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為.證明：為定值.7．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）雙曲線(xiàn)：的漸近線(xiàn)方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為1.(1)求的方程；(2)是否存在直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)于A，兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若存在，求的方程；若不存在，說(shuō)明理由.9．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上.(1)寫(xiě)出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于D，E兩點(diǎn)，若拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到，，再把用，表示出來(lái)，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）由的周長(zhǎng)為16，及橢圓的定義，可知：，即，又離心率為所以．所以橢圓C的方程為：．（2）依題意，直線(xiàn)l與x軸不重合，設(shè)l的方程為：．聯(lián)立得：，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以，即，易知該不等式恒成立，設(shè)，由韋達(dá)定理得．又，則注意到，即：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由漸近線(xiàn)的斜率設(shè)，再將代入求解即可；（2）分兩種情況證明，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及得出，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則由等面積法即可證明；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)直線(xiàn)的斜率為1，分別求出，即可證明．【詳解】（1）由題可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為．因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故的方程為．（2）若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)，由，消去得，則，即，設(shè)Ax1,因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則由等面積法得，所以，又，所以；若直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的斜率為，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為1，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，所以，所以．綜上，為定值．3．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線(xiàn)也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可求定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)，在上，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)得，，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：；（2）由題意可知，直線(xiàn)的斜率一定存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消得：，由韋達(dá)定理得，所以直線(xiàn)，顯然恒過(guò)定點(diǎn)0,1．

4．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合雙曲線(xiàn)定義即可；（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式即可.【詳解】（1）由題知：由雙曲線(xiàn)的定義知：，又，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，，，5．(1)，或(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦半徑公式結(jié)合條件即得；（2）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線(xiàn)定義可證明為定值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)：（）上，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且，所以：.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：，由，故點(diǎn)坐標(biāo)為：或.（2）由（1）知：，顯然直線(xiàn)的斜率存在，所以設(shè)直線(xiàn)方程為：，由，設(shè)，，則，由拋物線(xiàn)的定義得：，，所以：，即為定值1.6．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)定義及焦準(zhǔn)距即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）先設(shè)出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消元后整理成一元二次方程，得出韋達(dá)定理，再利用斜率定義，得到的表達(dá)式，整理成的對(duì)稱(chēng)式，代入韋達(dá)定理即得定值.【詳解】（1）因動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為，由題意得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：（2）如圖，因直線(xiàn)的斜率不能為零（否則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)），又過(guò)點(diǎn)，可設(shè)由消去并整理得：，顯然設(shè)，則由韋達(dá)定理，（*）則，將（*）代入得：,故為定值.7．(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；（2）由題意可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即可.【詳解】（1）∵的周長(zhǎng)為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內(nèi)心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當(dāng)直線(xiàn)MN垂直于x軸，即時(shí)，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.8．(1)(2)存在，.【分析】（1）利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算即可；（2）利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】（1）令，所以，又由題意可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）假設(shè)存在，由題意知：該直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)，，直線(xiàn)的斜率為，則，，又有，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程得：，即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，所以存在直線(xiàn)，其方程為.9．(1)，(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）直接利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)和準(zhǔn)線(xiàn)方程得出；（2）設(shè)直線(xiàn)l為，直曲聯(lián)立，再由四邊形是平行四邊形，所以，得到，，代入，最后帶入拋物線(xiàn)方程，解出.【詳解】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可得：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn).（2）設(shè)Px0,y0，，，，直線(xiàn)l為，聯(lián)立.則，，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，則，所以，，代入，得：，解得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)12,0.【能力篇】一、解答題1．（22-23高二上·河南鶴壁·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率，且圓過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線(xiàn)的斜率為，且直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，若直線(xiàn)與的斜率分別為，.證明：為定值，并求出此定值.2．（24-25高三上·貴州·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)證明：直線(xiàn)AE與AF的斜率之積為定值．3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)且，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)①若與相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；②若與在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)的傾斜角之和為．參考答案：1．(1)；(2)證明見(jiàn)解析，0.【分析】（1）根據(jù)圓的上下頂點(diǎn)可求，利用，，的關(guān)系可得答案；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，求和化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意可得，，所以，所以橢圓的方程為：；（2）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，由題意，聯(lián)立，整理可得，，即，且，，所以.即證得為定值，且定值為0.2．(1)(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為6，得，由離心率為，得，再由得，即可得到雙曲線(xiàn)C的方程；（2）設(shè)，，直線(xiàn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立方程得，根據(jù)韋達(dá)定理得，，根據(jù)斜率公式得，最后代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可得證.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，所以，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以，解得，由，得，則C的方程為．（2）

設(shè)，，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B-2,0，顯然直線(xiàn)l不垂直于軸，則設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，則，，因?yàn)锳為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，所以，直線(xiàn)AE的斜率，直線(xiàn)AF的斜率，所以，即直線(xiàn)AE與AF的斜率之積為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)出直線(xiàn)l的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到定值.3．(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）由化簡(jiǎn)得，再根據(jù)定義得，代入即可的拋物線(xiàn)方程；（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入即可；②設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立得，，然后計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，又P是C上一點(diǎn)，所以，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為．（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，將代入上式，得，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．

②由①得，直線(xiàn)的斜率都存在，要證：直線(xiàn)的傾斜角之和為，只要證明：直線(xiàn)的斜率之和為．

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，,則，，

由得，所以，，，即，

所以，即直線(xiàn)的傾斜角之和為．

【點(diǎn)睛】【培優(yōu)篇】一、解答題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)直線(xiàn)l斜率存在，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)不共線(xiàn)，且直線(xiàn)和直線(xiàn)關(guān)于PF對(duì)稱(chēng)．（i）證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）求面積的最大值．2．（23-24高二下·湖南常德