事件的獨立性練習 高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

7.4事件的獨立性練習-高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊一、單選題1．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件2．設(shè)，為兩個隨機事件，以下命題正確的為（

）A．若，是對立事件，則B．若，是互斥事件，，則C．若，且，則，是獨立事件D．若，是獨立事件，，則3．袋子中有5個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件A=“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B=“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C=“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件D=“取出的球的數(shù)字之和大于5”，則下列說法錯誤的是（

）A．事件A與B是互斥事件 B．事件A與B是對立事件C．事件C與D相互獨立 D．事件C與D不是互斥事件4．已知是兩個概率大于0的隨機事件，則下列說法錯誤的是（

）A．若是對立事件，則是互斥事件B．若事件相互獨立，則與也相互獨立C．若事件相互獨立，則與不互斥D．若事件互斥，則與相互獨立5．概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募?、乙兩人進行博弈游戲每局比賽都能分出勝負，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲288枚，乙72枚C．甲240枚，乙120枚D．甲270枚，乙90枚6．甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為，且兩人約定連續(xù)3次平局時停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（

）A．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是D．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是8．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)2次6點向上的概率，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題9．某種電子玩具按下按鈕后，會出現(xiàn)紅球或綠球.已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是，從按鈕第二次按下起，若前一次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為，，若前一次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為，，記第次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為，則的通項公式為.10．已知下列各組事件：①拋擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M：出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)，事件N：出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)；②袋中有除顏色外完全相同的5個白球5個黃球，依次不放回地摸兩次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球；③分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M：第1枚為正面朝上，事件N：兩枚朝上的結(jié)果相同；④一枚硬幣拋擲兩次，事件M：第一次為正面朝上，事件N：第二次為反面朝上．其中M、N是獨立事件的序號為．11．兩個籃球運動員罰球時命中的概率分別是0.4和0.5，兩人各罰一次球，則他們至少有一人命中的概率是.12．事件的相互獨立性（1）兩個事件相互獨立的定義：對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為.必然事件Ω，不可能事件?都與任意事件相互獨立.（2）相互獨立的性質(zhì)：如果事件A與B相互獨立，那么，與，與也都相互獨立.（3）相互獨立事件與互斥事件的概率計算概率A，B互斥A，B相互獨立P（A∪B）P（A）＋P（B）1－P（）P（）P（AB）0P（A）P（B）P（）1－[P（A）＋P（B）]P（）P（）P（A∪B）P（A）＋P（B）P（A）P（）＋P（）P（B）四、解答題13．一個袋子中有標號分別為、、、的個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次(1)求摸出兩球標號互質(zhì)的概率；(2)設(shè)事件“第一次摸出球的標號小于”，事件“第二次摸出球的標號小于”，判斷事件與事件是否相互獨立.14．（1）統(tǒng)計某班同學一次考試的數(shù)學成績，得到如下頻率分布直方圖，已知該班學生數(shù)學成績不低于分的頻率為.估計該班學生數(shù)學成績的平均分和中位數(shù)；

（2）已知事件，相互獨立，試證明它們的對立事件，相互獨立.15．甲、乙、丙三人進行投籃比賽，其中甲投籃一次命中的概率為，甲、乙兩人各投籃一次且都命中的概率為，乙、丙兩人各各投籃一次且都命中的概率為，且任意兩次投籃互不影響.(1)分別計算乙，丙兩人各投籃一次且都命中的概率；(2)求甲、乙、丙各投籃一次且恰有兩人命中的概率；(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投籃多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）16．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．參考答案：題號12345678答案BCCDDDBCACD1．B【分析】先計算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據(jù)對立事件的意義可判斷D的正誤.【詳解】設(shè)為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，，故A正確.，，故B錯誤.而，故C正確.兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對立事件，故D正確.故選：B.2．C【分析】根據(jù)對立事件的概念判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B，根據(jù)獨立事件的定義及概率公式判斷C、D.【詳解】對于A，若是對立事件，則，A錯誤；對于B，若是互斥事件，，則，B錯誤；對于C，，則，，又，則是獨立事件，C正確；對于D，若是獨立事件，則是獨立事件，而，則，D錯誤.故選：C3．C【分析】首先列舉樣本空間，利用樣本空間法，結(jié)合互斥，對立事件的定義，判斷ABD，根據(jù)與的關(guān)系，判斷C.【詳解】袋子中有5個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中隨機取出兩個球的試驗樣本空間包含的樣本點為：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10個，其中事件A包含的樣本點為：（1,3），（1,5），（3,5）共3個，故，事件B包含的樣本點為：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7個，故；事件C包含的樣本點為：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4個，故，事件D包含的樣本為：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6個，故，因為事件，，故事件A與B互斥且對立，故A，B正確；因為,所以C與D不相互獨立，故C錯誤.因為,所以C與D不互斥，故D正確.故選:C.4．D【分析】根據(jù)互斥，對立事件的定義，以及事件的相互獨立性，即可判斷選項.【詳解】A.兩個事件是對立事件，則一定是互斥事件，故A正確；B.若事件相互獨立，則與也相互獨立，故B正確；C.若事件相互獨立，則與可以同時發(fā)生，不互斥，故C正確；D.若事件互斥，則與不能同時發(fā)生，即事件是否發(fā)生，對另一個事件是有影響的，所以兩個事件不相互獨立，故D錯誤.故選：D5．D【分析】利用獨立事件的概率公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙兩人每局獲勝的概率均為，假設(shè)兩人繼續(xù)進行比賽，甲獲取360枚金幣有：第四局甲贏，或第四局甲輸，第五局甲贏，故概率為，乙獲取360枚金幣有：第四、五局乙都贏，故概率為，則甲應(yīng)該獲得枚金幣，乙應(yīng)該獲得枚金幣，故選：D6．D【分析】由題意分析可知，后3局連續(xù)平局，第4局不是平局，前3局不是連續(xù)平局，再結(jié)合獨立事件概率公式，即可求解.【詳解】記第i次出拳是平局為事件，則，記第7次出拳后停止游戲為事件A，則，所以．故選：D．7．BC【分析】根據(jù)獨立事件概率公式，計算后，判斷的ABD；根據(jù)古典概型概率公式，判斷C.【詳解】對于A，該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為,故A錯誤；對于B，用、、分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B正確；對于C，從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，共有種方法，其中取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的包含和兩個樣本點，在概率，故C正確；對于D，易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D錯誤故選BC8．ACD【分析】根據(jù)第次不出現(xiàn)6和第次出現(xiàn)6，可得遞推關(guān)系，結(jié)合遞推關(guān)系即可求解ABD，根據(jù)得，兩式相減結(jié)合遞推關(guān)系即可求解C.【詳解】在一次試驗中，6點向上的概率為，不是6點向上的概率為，對于A，，故A正確，對于B,3次試驗中,連續(xù)出現(xiàn)2次6點向上的概率為，所以，故B不正確，若第次不出現(xiàn)6，前面次沒有連續(xù)出現(xiàn)2次6點的概率為，此時前次沒有連續(xù)出現(xiàn)2次6點的概率為，若第次出現(xiàn)6，前面次沒有連續(xù)出現(xiàn)2次6點的概率為，第不為6的概率為，此時前次沒有連續(xù)出現(xiàn)2次6點的概率為，故前次沒有連續(xù)出現(xiàn)2次6點的概率為，故D正確，對應(yīng)C，由得，相減得，所以，故C正確，故選：ACD9．，【分析】根據(jù)條件概率分別求出第次出現(xiàn)紅球、綠球情況下第n次出現(xiàn)紅球的概率，利用全概率公式計算數(shù)列的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求通項公式.【詳解】設(shè)“第次出現(xiàn)紅球”，“第次出現(xiàn)綠球”，D＝“第n次出現(xiàn)紅球”，則，，，，由全概率公式得()．即，，所以，,所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，，故答案為：，10．③④【分析】根據(jù)獨立事件的概念與性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】①：，，故事件不是獨立事件；②：事件的發(fā)生對事件有影響，故事件不是獨立事件；③：，，故事件是獨立事件；④：第一次的結(jié)果對第二次的結(jié)果不影響，故事件是獨立事件.故答案為：③④.11．/【分析】利用獨立乘法及對立事件概率求法求概率即可.【詳解】他們至少有一人命中的概率是.故答案為：12．P（AB）＝P（A）P（B）獨立與BA【分析】“事件的相互獨立性”概念填空【詳解】略13．(1)(2)不獨立，理由見解析【分析】（1）記事件摸出兩球標號互質(zhì)，列舉出樣本空間，以及事件包含的樣本點，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用獨立事件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】（1）討論摸出兩球的標號，記事件摸出兩球標號互質(zhì)，樣本空間為，共個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，，共個樣本點，故.因此，摸出兩球標號互質(zhì)的概率為.（2）樣本空間為，共個樣本點，，，，則，，所以，，所以，事件與事件不獨立.14．（1）平均分；中位數(shù)為；（2）證明見解析【分析】（1）由已知求出，利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義和公式求解即可；（2）利用相互獨立事件概率公式和和事件概率公式推導即可.【詳解】（1）由已知得，則，所以.該班學生數(shù)學成績的平均分的估計值為：，因為，，所以中位數(shù)在內(nèi)，故中位數(shù)為.（2）因為，因為事件，相互獨立，所以，所以，則，所以事件，相互獨立.15．(1)乙射擊一次擊中目標的概率為，丙射擊一次擊中目標的概率為；(2)；(3)23次.【分析】（1）利用相互獨立事件，結(jié)合已知求出乙，丙投籃一次且都命中的概率.（2）記甲、乙、丙各射擊一次恰有兩人擊中目標為事件，再相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算求解.（3）設(shè)乙射擊次，則至少有一次擊中目標的概率為，由，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)計算得解.【詳解】（1）記甲射擊一次擊中目標為事件，乙射擊一次擊中目標為事件，丙射擊一次擊中目標為事件，依題意，，，則，，解得，所以乙射擊一次擊中目標的概率為，丙射擊一次擊中目標的概率為.（2）記甲、乙、丙各射擊一次恰有兩人擊中目標為事件，則，則，所以甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標的概率.（3）設(shè)乙射擊次，則至少有一次擊中目標的概率為，由，得，兩邊取常用對數(shù)得，因此，則，所以乙至少要射擊次.16．(1)0.52(2)0.648【分析】（1）再賽2局結(jié)束這次比賽分“第三、四局甲勝”與“第三、四局乙勝”