數(shù)學(xué)建模的主要步驟 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修+第一冊

§1走近數(shù)學(xué)建?！?數(shù)學(xué)建模的主要步驟第八章數(shù)學(xué)建模活動(一)1．什么是數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述)，即用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程等)來描述(表述、模擬)所研究的客觀現(xiàn)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律．2．什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐.即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解．?dāng)?shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，就一定要用數(shù)學(xué)語言、方法去近似地刻畫該實(shí)際問題，這種刻畫的數(shù)學(xué)表述就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程.數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段(計(jì)算、證明等)來求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起了一個(gè)高潮.數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中，是培養(yǎng)和提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一．3．?dāng)?shù)學(xué)建模的主要步驟數(shù)學(xué)建模活動的基本過程如下：從包湯圓說起通常，1公斤面，1公斤餡，包100個(gè)湯圓今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應(yīng)該包小一些，還是包大一些將這些餡仍用1公斤面包完呢？問題的本質(zhì)就是利用同樣面積的湯圓皮包更多的餡，湯圓包大一些時(shí)，湯圓的個(gè)數(shù)就會減少，湯圓包小一些時(shí)，湯圓的個(gè)數(shù)就會增多，也就是可以將問題轉(zhuǎn)化為：總表面積一定的n個(gè)球體，當(dāng)n取多少的時(shí)候可以使得所有球體的總體積最大。在解決這個(gè)問題的時(shí)候，可以把問題進(jìn)一步抽象到把得到的總體積與n=1時(shí)的情況比較問題分析1、皮的厚度一樣2、湯圓的形狀一樣假設(shè)SVsvsvsv…V和nv哪個(gè)大？定性分析當(dāng)n=1時(shí)，大球體，表面積為S的一個(gè)皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個(gè)皮，每個(gè)表面積為s，包成體積為v湯圓建立模型

S=ns

求解模型由上式可以得到結(jié)論，球體個(gè)數(shù)少，即n值越小，所有球體的體積和最大，所以應(yīng)該是把湯圓包大一點(diǎn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹仙顚?shí)際？(2)問題分析問題：10萬元資金存儲n(n＝1,2,3,4,5,6)年后獲收益最大的存款策略？當(dāng)n＝1時(shí)，存1年定期；當(dāng)n＝2時(shí)，存2年定期；當(dāng)n＝3時(shí)，存3年定期；當(dāng)n＝4時(shí)，存3年定期1次，1年定期1次；當(dāng)n＝5時(shí)，存3年定期1次，2年定期1次；當(dāng)n＝6時(shí)，存3年定期2次．(3)模型假設(shè)假設(shè)：①存款期限內(nèi)利率不變；②利息按復(fù)利計(jì)算．(4)模型建立設(shè)存款數(shù)x(元)，收益y(元)，則存期收益y存入款數(shù)一年期二年期三年期x1.5%x2×2.1%x＝4.2%x3×2.75%x＝8.25%x定期存款年限越長，利率越大．10萬元資金存儲6年后獲收益最大的存款策略：存3年定期2次．6年后的本息和：10×(1＋3×2.75%)2＝11.71806(萬元)，收益：y＝11.71806－10＝1.71806(萬元)＝17180.6(元)．檢驗(yàn)?zāi)Ｐ痛嬉荒甓ㄆ诹?0×(1＋1.5%)

6＝10.93443(萬元)收益：10.934432-10=0.93443（萬元）=9344.3（元）存兩年定期三次10×(1＋2×2.1%)3＝11.31366(萬元)收益：11.31366-10=1.31366（萬元）=13136.6（元）17180.6元>131336.6元>9344.3元如果先存一定定期，再存兩年定期，最后存三年定期呢？5．?dāng)?shù)學(xué)建模的重要意義(1)在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地．在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機(jī)械、電機(jī)、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題(如大型水壩的應(yīng)力計(jì)算，中長期天氣預(yù)報(bào)等)迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段．(2)在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具．無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段．?dāng)?shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一．(3)數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地．隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生．在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地．馬克思說過，一門科學(xué)只有成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時(shí)期．教材分析數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有對數(shù)學(xué)建模的課時(shí)和內(nèi)容做具體安排，只是建議將數(shù)學(xué)建模穿插在相關(guān)模塊的教學(xué)中。而“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”一節(jié)只是通過六個(gè)例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，為以后的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐打基礎(chǔ)，還未能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)建模的真實(shí)全過程。本節(jié)課通過一個(gè)較為真實(shí)的數(shù)學(xué)建模案例，彌補(bǔ)教材的這一不足學(xué)情分析高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)知識教學(xué)目標(biāo)1、初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)概念2、掌握數(shù)學(xué)建模的基本步驟3、經(jīng)歷解決實(shí)際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法4、感受數(shù)學(xué)的使用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識教學(xué)重難點(diǎn)數(shù)學(xué)建模的基本步驟教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)建模