函數(shù)的應用（一）練習 高一上學期數(shù)學人教B版（2019）必修第一冊

3.3函數(shù)的應用（一）練習高一上學期數(shù)學人教B版（2019）必修第一冊一、單選題1．假設在某次交通事故中，測得肇事汽車的剎車距離大于，肇事汽車在該路段的限速為．根據(jù)經驗，在該路段的剎車距離（單位：）與剎車前的速度（單位：）之間的關系為，下面的表格記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)：（單位：km/h）10…（單位：m）…對于以下兩個結論：①若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為；②可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛．其中正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立2．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．3．放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設初始質量為，質量與時間（單位：天）的函數(shù)關系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質量衰減一半所用時間）約為50天，那么質量為的鍶89經過30天衰減后質量約變?yōu)椋?/p>

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．某市環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進行調查研究后發(fā)現(xiàn)，一天中環(huán)境污染指數(shù)與時刻（時）的關系為，其中是與氣象有關的參數(shù)，且．如果以每天的最大值為當天的環(huán)境污染指數(shù)，并記為，若規(guī)定為環(huán)境污染指數(shù)不超標，則該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．某公司引進新的生產設備投入生產，新設備生產的產品可獲得的總利潤（單位：百萬元）與新設備運行的時間（單位：年，）滿足，當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間（

）A． B． C． D．二、多選題7．高斯是德國的天才數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”的美譽．以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函數(shù)y=x，其中不超過實數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作x．如，，，記函數(shù)，則（）A． B．的值域為C．在0,3上有3個零點 D．，方程有兩個實根8．已知集合，定義集合A到B的函數(shù)除以3的余數(shù)，下列說法正確的是（

）A．B．，C．，D．函數(shù)的圖像與的圖像有且僅有一個交點三、填空題9．已知，則.10．已知函數(shù)，有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是.11．已知函數(shù)，且，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．12．函數(shù)的零點個數(shù)為.四、解答題13．某手作特產店擬舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量萬份與年促銷投入費用萬元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.已知店內生產該產品的固定投入（設備等）為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入4萬元，店家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（每件產品年平均成本按元來計算），按需生產，生產出的產品恰好被全部售出.(1)將該產品的年利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù)；(2)該店家的促銷投入費用為多少萬元時，利潤最大？最大利潤是多少？14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．(1)求函數(shù)解析式，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求不等式的解集；(3)寫出關于x的方程可能的解的個數(shù)，并求方程有最多解時m的取值范圍．15．弗里熱是年巴黎奧運會和殘奧會的吉祥物．企業(yè)結合市場部的調研報告，決定設計限量款周邊并在年月進行銷售．經產品評估，生產此限量款周邊的固定成本為萬元，每生產（單位：千件）限量款周邊，需可變成本萬元，其中，．市場調研可知，當生產千件限量款周邊時，可變成本為10萬元．(1)求生產萬件限量款周邊所需的平均成本；(2)已知每千件周邊定價萬元，且銷路暢通供不應求．當產量為多少千件時，企業(yè)所獲得的利潤最大?最大利潤是多少?16．某技術公司計劃購買成本為500萬元的先進設備，用于生產某大型電子實驗機器，需要投入成本（單位：萬元）與年產量（單位：臺）的函數(shù)關系式為.據(jù)市場調查，每臺大型電子實驗機器的平均估價為300萬元，且依據(jù)目前市場的需求狀態(tài)所有大型電子實驗機器均能售完.(1)求年利潤關于年產量的函數(shù)關系式；（利潤=銷售額-投入成本-固定成本）(2)試求出年利潤的最大值以及利潤最大時的年產量.參考答案：題號12345678答案CBBBBBABDABD1．C【分析】先根據(jù)題意建立方程求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調性驗證臨界值，即可分別求解．【詳解】由題意可得，則，即，對稱軸在軸左側，知該函數(shù)在0,+∞上單調遞增，又，，，若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為，①不成立；又的最小正整數(shù)的值為，可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛，②成立．故選：C．2．B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)圖像趨勢即可判斷.【詳解】函數(shù)定義域為，且，所以圖像關于原點對稱，排除A、C；當從正向無限趨近于0時，也正向無限趨近于零；所以排除D；故選：B.3．B【分析】根據(jù)時，代入函數(shù)關系式中，可得的值，進而代入求解即可．【詳解】由題意，鍶89半衰期（質量衰減一半所用的時間）所用時間為50天，即，則，所以質量為的鍶89經過30天衰減后，質量大約為；故選：B．4．B【分析】對分類討論，結合函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】解：，①當時，其圖象如圖1函數(shù)的圖象與直線的公共點只有1個，不符合題意．②當時，其圖象如如圖2函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個時，，解得；③當時，其圖象如如圖3，結合圖象，不符合題意．綜上所述：實數(shù)的取值范圍是：．故選：B5．B【分析】換元得到，根據(jù)單調性結合端點值得到，求出的取值范圍.【詳解】，設，當時，，當且僅當，即時，等號成立，故，當時，，所以，其中在上單調遞減，在上單調遞增，有，，，所以即，當時，，當時，，當時，，所以該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標時，的取值范圍為．故選：B．6．B【分析】由已知可得，當和時分別求得最大值，即可求解.【詳解】由題意，新設備生產的產品可獲得的年平均利潤，當時，，當且僅當時，等號成立，則，所以當時，取得最大值，且最大值為，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為，故當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間.故選：.7．ABD【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的概念，分段可作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確;對于B，當時，；當時，；當時，，依次類推，可得函數(shù)的圖象如下:

所以函數(shù)的值域為，故B正確;對于C，根據(jù)圖象，在0,3上，只有，即在0,3上有2個零點，故C錯；對D，，函數(shù)與的圖象有兩個交點，如上圖:所以，方程有兩個實根，故D正確.故選：ABD8．ABD【分析】由函數(shù)的新定義可得A正確；設，由函數(shù)新定義可得B正確，C錯誤；令，求解整數(shù)解驗證可得D正確.【詳解】對于A，由題意可得，所以，又故A正確；對于B，，設，則，所以，，所有取值情況如下表：由列表結合定義可知，當時，；當時，；綜上所述，，即，故B正確；對于C，命題“，”的否定為“，”.下面證明命題：“，”為真命題.證明：，設，則.則，所以，，所有取值情況如下表：當，，即；當，，即；綜上所述，，，得證.即命題“，，”是假命題，故C錯誤；對于D，設，設，則，設兩函數(shù)交點為，則或或.①當時，令，則，方程無解，即此時兩圖象不相交；②當時，令，即解得，或.當時，，而，即此時兩函數(shù)圖象不相交；當時，，且，故是兩函數(shù)圖象的交點；③當時，令，即，此時，解得，方程無自然數(shù)解，即此時兩函數(shù)圖象也不相交.綜上所述，是兩函數(shù)圖象的唯一交點，故D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：余數(shù)問題的常用處理方法就是按余數(shù)的不同進行分類討論，當研究兩個變量的余數(shù)時可利用表格分析求解.9．【分析】根據(jù)解析式代入求解.【詳解】.故答案為：.10．【分析】分類討論m的范圍，根據(jù)對勾函數(shù)的性質計算即可.【詳解】由題意可知：若，則均在上單調遞增，即在上單調遞增，不會有兩個零點，則不符合題意；若，，仍在上單調遞增，不會有兩個零點，則不符合題意；故，利用對勾函數(shù)的單調性知要符合題意需，而，即，時取得最小值，所以.故答案為：11．【分析】根據(jù)給定條件，按與討論，當時，分段去絕對值符號討論方程的解的情況作答.【詳解】當時，，當時，在上單調遞減，函數(shù)在上最多一個零點，不符合要求，當時，，由，得最多兩個實根，又在上遞減，且當時，，因為函數(shù)在上有三個不同的零點，因此在上有一個零點，在上有兩個零點，當時，由，解得，即，于是，當，由，得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，要使函數(shù)在上有兩個零點，必有，此時在上遞減，在遞增，因此，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以按各段零點個數(shù)和等于總的零點個數(shù)分類分段討論解決.12．1【分析】判斷函數(shù)的單調性，分類討論k的取值范圍，結合零點存在定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在上單調遞減，當時，，此時函數(shù)有1個零點；當時，，，此時函數(shù)在上有唯一零點，當時，，，此時函數(shù)在上有唯一零點，綜合可得函數(shù)的零點個數(shù)為1，故答案為：113．(1)(2)促銷投入費用為1萬元時，店家獲得最大利潤9萬元.【分析】（1）由已知求得，結合每件產品的銷售價格，可得出利潤；（2）利用基本不等式求解最大利潤即可．【詳解】（1）由已知得，當時，，則，得，故.

故每件產品的銷售價格為，故利潤.（2）因為當時，，所以，

當且僅當，即時等號成立.即促銷投入費用為1萬元時，店家獲得最大利潤9萬元.14．(1)，a的取值范圍為；(2)；(3)答案見解析．【分析】（1）利用奇函數(shù)性質求解析式，數(shù)形結合判斷單調性，結合區(qū)間單調性求參數(shù)范圍；（2）由題意有或，即可求解集；（3）問題化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)，應用分類討論求不同參數(shù)取值情況下對應交點個數(shù)，即可得結果.【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，當時，，則，則，故，其圖象大致如圖：若在區(qū)間上單調遞增，必有，得，即a的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，有或，則或，即不等式的解集為；（3）根據(jù)題意，的圖象大致如圖：方程的解的個數(shù)就是函數(shù)與直線的交點的個數(shù)，當，即時，與直線沒有交點，方程無解，當，即時，與直線有3個交點，方程有3個解，當，即或時，與直線有6個交點，方程有6個解，當，即時，與直線有4個交點，方程有4個解，當，即或時，與直線有2個交點，方程有2個解，綜上，方程可能的解的個數(shù)為0、2、3、4、6個，且當或時，方程有最多解．15．(1)萬元(2)答案見解析【分析】（1）結合題意求出即可；（2）由基本不等式求解即可；【詳解】（1）由題意可得，，解得，所以當時，平均成本為（元）.（2）設當產量為千件時，企業(yè)所獲得的利潤最大，最大利潤為，當且僅當即