函數(shù)的應(yīng)用（一）練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

3.3函數(shù)的應(yīng)用（一）練習(xí)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)一、單選題1．假設(shè)在某次交通事故中，測(cè)得肇事汽車的剎車距離大于，肇事汽車在該路段的限速為．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在該路段的剎車距離（單位：）與剎車前的速度（單位：）之間的關(guān)系為，下面的表格記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)：（單位：km/h）10…（單位：m）…對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論：①若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為；②可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛．其中正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立2．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．3．放射性核素鍶89會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時(shí)間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過(guò)30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋?/p>

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．如果以每天的最大值為當(dāng)天的環(huán)境污染指數(shù)，并記為，若規(guī)定為環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)，則該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（單位：年，）滿足，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（

）A． B． C． D．二、多選題7．高斯是德國(guó)的天才數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函數(shù)y=x，其中不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作x．如，，，記函數(shù)，則（）A． B．的值域?yàn)镃．在0,3上有3個(gè)零點(diǎn) D．，方程有兩個(gè)實(shí)根8．已知集合，定義集合A到B的函數(shù)除以3的余數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．，C．，D．函數(shù)的圖像與的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)三、填空題9．已知，則.10．已知函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．已知函數(shù)，且，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.四、解答題13．某手作特產(chǎn)店擬舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量萬(wàn)份與年促銷投入費(fèi)用萬(wàn)元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件.已知店內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入（設(shè)備等）為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入4萬(wàn)元，店家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算），按需生產(chǎn)，生產(chǎn)出的產(chǎn)品恰好被全部售出.(1)將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該店家的促銷投入費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)解析式，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求不等式的解集；(3)寫出關(guān)于x的方程可能的解的個(gè)數(shù)，并求方程有最多解時(shí)m的取值范圍．15．弗里熱是年巴黎奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物．企業(yè)結(jié)合市場(chǎng)部的調(diào)研報(bào)告，決定設(shè)計(jì)限量款周邊并在年月進(jìn)行銷售．經(jīng)產(chǎn)品評(píng)估，生產(chǎn)此限量款周邊的固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)（單位：千件）限量款周邊，需可變成本萬(wàn)元，其中，．市場(chǎng)調(diào)研可知，當(dāng)生產(chǎn)千件限量款周邊時(shí)，可變成本為10萬(wàn)元．(1)求生產(chǎn)萬(wàn)件限量款周邊所需的平均成本；(2)已知每千件周邊定價(jià)萬(wàn)元，且銷路暢通供不應(yīng)求．當(dāng)產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?16．某技術(shù)公司計(jì)劃購(gòu)買成本為500萬(wàn)元的先進(jìn)設(shè)備，用于生產(chǎn)某大型電子實(shí)驗(yàn)機(jī)器，需要投入成本（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)大型電子實(shí)驗(yàn)機(jī)器的平均估價(jià)為300萬(wàn)元，且依據(jù)目前市場(chǎng)的需求狀態(tài)所有大型電子實(shí)驗(yàn)機(jī)器均能售完.(1)求年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額-投入成本-固定成本）(2)試求出年利潤(rùn)的最大值以及利潤(rùn)最大時(shí)的年產(chǎn)量.參考答案：題號(hào)12345678答案CBBBBBABDABD1．C【分析】先根據(jù)題意建立方程求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證臨界值，即可分別求解．【詳解】由題意可得，則，即，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，知該函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，，若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為，①不成立；又的最小正整數(shù)的值為，可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛，②成立．故選：C．2．B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)圖像趨勢(shì)即可判斷.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、C；當(dāng)從正向無(wú)限趨近于0時(shí)，也正向無(wú)限趨近于零；所以排除D；故選：B.3．B【分析】根據(jù)時(shí)，代入函數(shù)關(guān)系式中，可得的值，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】由題意，鍶89半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間）所用時(shí)間為50天，即，則，所以質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過(guò)30天衰減后，質(zhì)量大約為；故選：B．4．B【分析】對(duì)分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】解：，①當(dāng)時(shí)，其圖象如圖1函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，其圖象如如圖2函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，其圖象如如圖3，結(jié)合圖象，不符合題意．綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故選：B5．B【分析】換元得到，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)值得到，求出的取值范圍.【詳解】，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)時(shí)，，所以，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，，，所以即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，的取值范圍為．故選：B．6．B【分析】由已知可得，當(dāng)和時(shí)分別求得最大值，即可求解.【詳解】由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間.故選：.7．ABD【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的概念，分段可作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確;對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，依次類推，可得函數(shù)的圖象如下:

所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確;對(duì)于C，根據(jù)圖象，在0,3上，只有，即在0,3上有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；對(duì)D，，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如上圖:所以，方程有兩個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：ABD8．ABD【分析】由函數(shù)的新定義可得A正確；設(shè)，由函數(shù)新定義可得B正確，C錯(cuò)誤；令，求解整數(shù)解驗(yàn)證可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由題意可得，所以，又故A正確；對(duì)于B，，設(shè)，則，所以，，所有取值情況如下表：由列表結(jié)合定義可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，，即，故B正確；對(duì)于C，命題“，”的否定為“，”.下面證明命題：“，”為真命題.證明：，設(shè)，則.則，所以，，所有取值情況如下表：當(dāng)，，即；當(dāng)，，即；綜上所述，，，得證.即命題“，，”是假命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，設(shè)，則，設(shè)兩函數(shù)交點(diǎn)為，則或或.①當(dāng)時(shí)，令，則，方程無(wú)解，即此時(shí)兩圖象不相交；②當(dāng)時(shí)，令，即解得，或.當(dāng)時(shí)，，而，即此時(shí)兩函數(shù)圖象不相交；當(dāng)時(shí)，，且，故是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，即，此時(shí)，解得，方程無(wú)自然數(shù)解，即此時(shí)兩函數(shù)圖象也不相交.綜上所述，是兩函數(shù)圖象的唯一交點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：余數(shù)問(wèn)題的常用處理方法就是按余數(shù)的不同進(jìn)行分類討論，當(dāng)研究?jī)蓚€(gè)變量的余數(shù)時(shí)可利用表格分析求解.9．【分析】根據(jù)解析式代入求解.【詳解】.故答案為：.10．【分析】分類討論m的范圍，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：若，則均在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，則不符合題意；若，，仍在上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，則不符合題意；故，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知要符合題意需，而，即，時(shí)取得最小值，所以.故答案為：11．【分析】根據(jù)給定條件，按與討論，當(dāng)時(shí)，分段去絕對(duì)值符號(hào)討論方程的解的情況作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，由，得最多兩個(gè)實(shí)根，又在上遞減，且當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，解得，即，于是，當(dāng)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，此時(shí)在上遞減，在遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以按各段零點(diǎn)個(gè)數(shù)和等于總的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類分段討論解決.12．1【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論k的取值范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，綜合可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故答案為：113．(1)(2)促銷投入費(fèi)用為1萬(wàn)元時(shí)，店家獲得最大利潤(rùn)9萬(wàn)元.【分析】（1）由已知求得，結(jié)合每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，可得出利潤(rùn)；（2）利用基本不等式求解最大利潤(rùn)即可．【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，，則，得，故.

故每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為，故利潤(rùn).（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即促銷投入費(fèi)用為1萬(wàn)元時(shí)，店家獲得最大利潤(rùn)9萬(wàn)元.14．(1)，a的取值范圍為；(2)；(3)答案見(jiàn)解析．【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求解析式，數(shù)形結(jié)合判斷單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性求參數(shù)范圍；（2）由題意有或，即可求解集；（3）問(wèn)題化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，應(yīng)用分類討論求不同參數(shù)取值情況下對(duì)應(yīng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，故，其圖象大致如圖：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，必有，得，即a的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，有或，則或，即不等式的解集為；（3）根據(jù)題意，的圖象大致如圖：方程的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，與直線沒(méi)有交點(diǎn)，方程無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，與直線有3個(gè)交點(diǎn)，方程有3個(gè)解，當(dāng)，即或時(shí)，與直線有6個(gè)交點(diǎn)，方程有6個(gè)解，當(dāng)，即時(shí)，與直線有4個(gè)交點(diǎn)，方程有4個(gè)解，當(dāng)，即或時(shí)，與直線有2個(gè)交點(diǎn)，方程有2個(gè)解，綜上，方程可能的解的個(gè)數(shù)為0、2、3、4、6個(gè)，且當(dāng)或時(shí)，方程有最多解．15．(1)萬(wàn)元(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合題意求出即可；（2）由基本不等式求解即可；【詳解】（1）由題意可得，，解得，所以當(dāng)時(shí)，平均成本為（元）.（2）設(shè)當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為，當(dāng)且僅當(dāng)即