吉林省遼源市2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中試題

Page16一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意要求。）1．直線與直線之間的距離是（

）A． B． C． D．1．C【分析】直接利用兩條平行線的距離公式求解即可．【詳解】∵直線不同時為0與直線不同時為0,之間的距離，∴直線與直線之間的距離．故選：C．2．已知直線：，和直線：垂直，則（

）．A． B． C．或 D．2．C【分析】根據(jù)兩直線垂直，得到方程，求出得或1.【詳解】因為直線和直線垂直，故，解得或1，經(jīng)檢驗，符合要求.故選：C3．經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．3．A【分析】根據(jù)題意，設所求直線方程為，將點代入求參數(shù)，即得方程.【詳解】令所求直線方程為，則，所以，所求直線為（或）.故選：A4．已知直線與平行，則（

）A．2 B．3 C． D．2或4．A【分析】由直線平行的條件求解即可.【詳解】因為，所以，解得或．當時，與重合．故．故選：A5．直線截圓所得的弦長為，則的值為（

）A．－1 B．1C．3 D．－35．B【分析】利用圓的性質(zhì)計算即可.【詳解】易知圓心為，半徑，而直線截圓所得的弦長為等于直徑，故直線過圓心，所以有.故選：B6．過圓與圓交點的直線方程為（

）.A． B．C． D．6．C【分析】聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再根據(jù)兩點式求出直線方程，化為一般式可得解.【詳解】聯(lián)立，解得或，所以圓與圓交點為和，所以過兩圓交點的直線方程為，即.故選：C7．若橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離為7，則到另一個焦點的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．A【分析】利用橢圓的定義列式計算得解.【詳解】橢圓的長軸長，而點到橢圓一個焦點的距離為7，所以到另一個焦點的距離為.故選：A8．已知橢圓中，長軸長為10，離心率為，則焦距為（

）A．5 B．10 C．5 D．58．A【分析】根據(jù)橢圓長軸和離心率的概念即可求解.【詳解】，所以；又因為，得，所以.故選：A.多選9．如圖，在正方體中，分別為的中點，則（

）A．B．平面C．平面D．直線與直線所成角的余弦值為多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分。）9．AD【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，由空間向量的關(guān)系判斷空間位置關(guān)系，A選項，根據(jù)得到A正確；B選項，求出平面的法向量，由得到B錯誤；C選項，根據(jù)，得到直線與直線不垂直；D選項，利用空間向量夾角余弦公式進行計算.【詳解】以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則..A選項，因為，所以，A正確.B選項，設平面的法向量為，則，令得，，故，因為，所以與不垂直，則直線與平面不平行，錯誤.C選項，若平面，則.因為，所以直線與直線不垂直，矛盾，C錯誤.D選項，，D正確.故選：AD10．關(guān)于橢圓，以下說法正確的是（

）A．長軸長為4 B．焦距為C．離心率為 D．左頂點的坐標為10．ABC【分析】根據(jù)橢圓方程確定，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由條件可知，，，那么，所以長軸長，焦距，離心率，左頂點，故ABC正確，D錯誤.故選：ABC11．已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．該圓的面積為 B．點在該圓內(nèi)C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切11．BD【分析】首先將圓的方程寫為標準方程，得出圓心坐標和半徑，對于A，根據(jù)圓的面積公式即可判斷；對于B，將點代入，判斷與的大小，即可得出結(jié)論；對于C，求出兩圓心之間的距離，判斷是否大于兩圓半徑之和；對于D，根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離是否等于半徑，即可判斷．【詳解】，可知圓心為，半徑；對于A：由圓的半徑，得該圓的面積為，故A錯誤；對于B：因為，所以點在該圓內(nèi)，故B正確；對于C：圓的圓心為，半徑為1，因為兩圓心距離為，且，所以兩圓相交，故C錯誤；對于D：圓心到直線的距離，所以直線與該圓相切，故D正確，故選：BD．12．已知圓：，直線：，則（

）A．直線在y軸上的截距為1B．直線的傾斜角為C．直線與圓有2個交點D．圓上的點到直線的最大距離為12．ABC【分析】根據(jù)截距，傾斜角的定義，判斷AB；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】A.當時，，直線在y軸上的截距為1，故A正確；B.直線的斜率為1，設直線的傾斜角為，，，所以直線的傾斜角為，故B正確；C.圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以直線與圓有2個交點，故C正確；D.根據(jù)C可知，圓上的點到直線的最大距離為，故D錯誤.故選：ABC二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為．13．【分析】根據(jù)橢圓的標準方程的形式，列出不等式組，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使方程表示焦點在軸上的橢圓，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14．若圓與圓相外切，則的值為14．2【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】圓的標準方程為：，則其圓心為，半徑為，因為圓與圓相外切，所以，解得，所以的值為2，故答案為：215．如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點．則與所成角的余弦值為．15．/【分析】建立空間直角坐標系，求得，從而利用向量的夾角公式求解.【詳解】依題意，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，則，故，所以，即與所成的角的余弦值為.故答案為：.16．圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為．16．【分析】直線和線段AB的垂直平分線的交點是圓心，圓心到A點的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點和，，AB中點為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯(lián)立方程組，解得．所以，圓心坐標為，半徑，所以，此圓的標準方程是．故答案為：三、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17.求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率。(1)；(2).17．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】將橢圓改寫為標準方程，即可確定、、及長軸、短軸的位置，進而求出(1)、(2)中橢圓的長軸、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率，并畫出橢圓的圖形.【詳解】（1）將化為標準方程為：，所以，，則，所以橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，頂點坐標為、、、，焦點坐標為和，離心率為，橢圓圖象如下：

（2）將化為標準方程為：，因為，所以橢圓的焦點落在軸上，所以，，則，所以橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，頂點坐標為、、、，焦點坐標為和，離心率為，橢圓圖象如下：

18．已知△ABC的三個頂點A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），點D為AC的中點．（1）求點D的坐標；（2）求直線BD的方程．（3）求△ABD的面積．18．(1)點D的坐標為（0，1）;(2)2x+y–1=0;(3)12.【分析】（1）利用中點坐標公式求得點的坐標.（2）利用點斜式求得直線的方程.（3）利用兩點間的距離公式求得的長度，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，再利用三角形的面積公式求得面積.【詳解】（1）設D（x，y），則，，∴點D的坐標為（0，1）．（2）∵直線BD的斜率為．∴直線BD的方程為：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．（3）∵，∴A到直線BD的距離為．∴△ABD的面積為．19．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面ABCD，，，E是PD的中點．

(1)求證：平面PAD；(2)求二面角的余弦值：(3)求B點到平面EAC的距離．19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量垂直的坐標運算，得到與；（2）分別求出平面EAC的法向量與平面ACD的法向量，利用空間向量中二面角的計算公式，求出二面角的余弦值；（3）利用空間向量中點到面的距離公式，列出計算公式，計算可得答案.【詳解】（1）因為平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，由于四邊形ABCD是矩形，所以，由此，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，因為，所以，由于，所以，由于，AD，平面PAD，所以平面PAD；（2）由（1）得，設平面ACE的法向量，，，則，即，不妨令，可得，且為平面ABC的一個法向量，于是，所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為；（3）設B點到平面ACE的距離為d，由（2）可知平面ACE的法向量，，設B點到平面EAC的距離為d，則，所以B點到平面EAC的距離為.20．已知圓，直線l過點.(1)求圓C的圓心坐標及半徑；(2)若直線l與圓C相切，求直線l的方程.20．(1)圓C的圓心坐標是，半徑為2(2)或【分析】（1）化成圓的標準方程可得答案；（2）直線l的斜率不存在時可直接得答案；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，利用點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】（1）將圓C的方程化成標準式方程得，圓C的圓心坐標是，半徑為2；（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程是，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，由圓心到直線l的距離等于圓C的半徑，可得，解得，故直線l的方程是.綜上所述，直線l的方程是或.21．如圖，在四棱錐中，平面，，，且.

(1)求證：；(2)若點M為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由勾股定理逆定理證明，進一步由已知條件證明，由線面垂直判定定理可證明平面，進而即可得證.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，設平面的法向量為，直線與平面所成角為，先后分別求出后，由公式即可求解.【詳解】（1）四邊形是直角梯形，，，又，是直角三角形，即；平面平面，又平面，平面，又平面，．（2）由（1）可知，，又平面平面，所以，所以兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則由題中線段長度可知，∴，．設平面的法向量為，則即，令，則解得，于是，?。O直線與平面所成角為，則；故直線與平面所成角的正弦值為．22．已知橢圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓交于兩