41單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義溫故知新弧度制弧度概念弧度與角度的換算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)單位圓中正、余弦函數(shù)的定義結(jié)合單位圓說(shuō)出它們的基本性質(zhì).（重點(diǎn)）2.能利用正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）課文精講在初中，我們借助直角三角形學(xué)習(xí)了銳角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).下面我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，利用單位圓(以后常設(shè)單位圓的圓心在原點(diǎn))進(jìn)一步研究銳角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù).銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)課文精講如圖，對(duì)于銳角α，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u，v)，故u是由銳角α唯一確定的，v也是由銳角α唯一確定的.過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)課文精講由此可知，對(duì)于銳角α來(lái)說(shuō)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v是該角的正弦函數(shù)值，記作v=sinα；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u是該角的余弦函數(shù)值，記作u=cosα.銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)課文精講如圖，給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u，v)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.仿照上述銳角三角函數(shù)的定義，把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值，仍記作v=sinα；把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值，仍記作u=cosα.任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)課文精講如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα、余弦u=cosα分別是以角α的大小為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，其值域?yàn)閷?shí)數(shù)的子集合.這樣定義的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就與高中引入的函數(shù)概念一致了.任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)典型例題例1：已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，

y).求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)數(shù)值.解：先考慮角α的終邊不在坐標(biāo)軸上的情形.如圖.設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，且OP=1.當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，容易驗(yàn)證上述等式仍然成立.設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，則課文精講其中典型例題例2：在單位圓中，(1)畫(huà)出角α；(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.思考交流在單位圓中，畫(huà)出下列各特珠角，求各角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(u，v)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入表中:課文精講α0v=sinαu=cosα

課文精講απ2πv=sinαu=cosα

課文精講觀察此表格中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)v=sinα和u=cosα的變化有什么特點(diǎn)嗎？在區(qū)間[0，]和[，2π]上，v=sinα的值逐漸增加，u=cosα的值逐漸減小，在區(qū)間[，π]和[π，]上，v=sinα的值逐漸減小，u=cosα的值逐漸增加.綜合練習(xí)若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5a，-12a)(a＜0)，則sinα=_____.

綜合練習(xí)

6本課小結(jié)單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的基本性質(zhì)銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)與弦函數(shù)§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握單位圓中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.2.掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.1.通過(guò)從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣,提高數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過(guò)三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1:銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中,把銳角α的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊放在x軸的正半軸上,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)(如圖),則v=sin

α,u=cos

α.[思考]單位圓上任意一點(diǎn)P(u,v)的坐標(biāo)滿(mǎn)足u2+v2=1,從這個(gè)事實(shí)出發(fā),你能得到什么結(jié)論?方法總結(jié)(1)在一般的直角三角形中,銳角α的正弦值為該角的對(duì)邊與三角形的斜邊之比,余弦值為該角的鄰邊與三角形的斜邊之比;(2)在單位圓中,根據(jù)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)可直接寫(xiě)出銳角的正弦值和余弦值.探究點(diǎn)二任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)知識(shí)點(diǎn)2:任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)(1)單位圓中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義在平面直角坐標(biāo)系中,把任意角α的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)、始邊放在x軸的正半軸上,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),則把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值,記作v=sinα;把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值,記作u=cosα(如圖).(2)角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(