812向量數(shù)量積的運算律課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1.2向量數(shù)量積的運算律課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握向量數(shù)量積的運算律.2.能根據(jù)運算律解決一些向量數(shù)量積的運算問題.3.培養(yǎng)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)向量數(shù)量積的運算律1.實數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律,向量的數(shù)量積運算中,是否也有類似的性質(zhì)?提示:有.2.向量數(shù)量積的運算律:(1)交換律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;(3)數(shù)乘向量結(jié)合律:對任意實數(shù)λ,有λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).A.-25 B.25 C.-24 D.24答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)無論a,b是何向量,a·b與b·a必相等.(

)(2)|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b).(

)(3)(a·b)·c=a·(b·c).(

)√√×合作探究釋疑解惑探究一向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用【例1】

已知a與b的夾角θ=150°,且|a|=3,|b|=4,求(a+b)·(a-2b).分析:根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可.解:(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos

θ-2|b|2=9-3×4×cos

150°-2×42=-23+6.在本例中,求|a+2b|的值.根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.【變式訓(xùn)練1】

已知|a|=4,|b|=5,且向量a與b的夾角為60°,則(2a+3b)·(3a-2b)=

.

解析:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5×-6×25=-4.答案:-4探究二與向量的模有關(guān)的問題【例2】

已知向量a,b滿足|a|=12,|b|=15,|a+b|=25,求|a-b|.解:|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=625,即2a·b=625-144-225=256,1.求向量的模問題一般轉(zhuǎn)化為求向量的模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應(yīng)用a2=|a|2,勿忘記開方.2.a·a=a2=|a|2或|a|=,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練2】

已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為60°,|ka-2b|=13,求k的值.解:∵|a|=3,|b|=4,<a,b>=60°,∴a·b=|a||b|cos

60°=3×4×=6.|ka-2b|2=k2a2-4ka·b+4b2=132,即9k2-24k+64=169,∴9k2-24k-105=0,探究三兩向量的夾角和垂直問題【例3】

已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為(

)解析:∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos<a,b>=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos<a,b>=0,答案:C求兩向量a,b夾角的關(guān)鍵是求得a·b和|a||b|,從而得到cos<a,b>的值,最后求出<a,b>.解決此類問題時,應(yīng)注意向量夾角的范圍.【變式訓(xùn)練3】

已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b與ka-b互相垂直,則k的值為(

)解析:∵3a+2b與ka-b互相垂直,∴(3a+2b)·(ka-b)=0,∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.∵a⊥b,∴a·b=0,又|a|=2,|b|=3,∴12k-18=0,k=.答案:B思想方法轉(zhuǎn)化思想在證明問題中的應(yīng)用【典例】

求證:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.分析:將問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決.將線段長度的問題轉(zhuǎn)化為向量模的問題,從而開闊了解題思路,收到了事半功倍的效果.【變式訓(xùn)練】

已知在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相互平分,且AC⊥BD,求證:四邊形ABCD是菱形.隨堂練習(xí)1.下列說法正確的是(

)A.|a·b|=|a||b|B.a·b≠0?|a|+|b|≠0C.a·b=0?|a||b|=0D.(a+b)·c=a·c+b·c答案:D2.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°解析:∵(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos<a,b>+|b|2=0,又|a|=|b|,∴cos<a,b>=-,∴<a,b>=120°.答案:C3.(多選題)對任意向量a,b,下列關(guān)系式中恒成立的是(

)A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:ACD答案:15.已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,則|a|=

.

答案:36.已知a,b滿足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2