四川省2022年普通高校對口招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷答案

四川省2022年普通高校對口招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），第Ⅰ卷1—3頁，第Ⅱ卷3—4頁，共4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.第Ⅰ卷（共60分）注意事項(xiàng)：1.必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應(yīng)的標(biāo)號涂黑.2.第Ⅰ卷共1大題，15小題，每小題4分，共60分.一、選擇題：本大題共15小題，每小題4分，共60分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查交集的定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.【解析】，故選B.2.（）A. B. C. D.【答案】A【分析】非特殊角三角函數(shù)值的求解，可用或?qū)⒎翘厥饨寝D(zhuǎn)化為特殊角后求解.【解析】法一:；法二:.故選A.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】函數(shù)解析式中既有根式，又有分式，所以求根式和分式同時有意義的公共部分即可得出定義域.其中根式中被開方數(shù)≥0，分式中分母≠0.【解析】要使函數(shù)有意義，必須使得，所以，所以，所以函數(shù)的定義域是.故選A.4.已知平面向量，，那么（）A. B. C. D.【答案】D【分析】平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及線性運(yùn)算.【解析】因?yàn)?，，所?，故選D.5.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】因?yàn)閮芍本€垂直，所以兩直線的斜率之積，進(jìn)而得出所求直線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【解析】因?yàn)榕c直線垂直，所以設(shè)直線方程為，因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)，所以，所以，故選C.6.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】將看作是一個整體，構(gòu)造關(guān)于的一元二次不等式，解出的范圍，然后解絕對值不等式得出的范圍，即可得到不等式的解集.【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以不等式的解集是，故選A.7.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】確定焦點(diǎn)位置后，利用求解.【解析】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，所以，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選C.8.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】首先通過平方差公式，二倍角公式將進(jìn)行降冪，然后逆用得到正弦型函數(shù)，然后利用求得周期.【解析】因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期.故選D.9.函數(shù)的圖像大致是（）【答案】A【分析】首先根據(jù)奇偶性排除C、D，然后根據(jù)分段函數(shù)當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即可得出答案.【解析】因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)?，所以為偶函?shù)，圖像關(guān)于y軸對稱.排除C、D，因?yàn)楫?dāng)時，，所以在y軸右側(cè)單調(diào)遞增.排除B.故選A.10.某高校選派6名志愿者到5個社區(qū)開展法制宣傳活動，要求每個社區(qū)至少有1名志愿者，且每名志愿者只能夠去1個社區(qū)，則不同的安排方法共有（）A.600種 B.720種 C.1200種 D.1800種【答案】D【解析】首先從6名志愿者選出2人作為1個組，其他4人各自1個組，有種方法.再把5個組分配到5個社區(qū)有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得（種）安排方法.故選D.11.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.既充分又必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，①當(dāng)時，;②當(dāng)時，;③當(dāng)時，;即充分性成立;若，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，上式顯然成立，此時符合題意.所以；③當(dāng)時，上式顯然不成立，此時不符合題意，舍去.④當(dāng)時，；即必要性成立；綜上“”是“”的既充分又必要條件.故選C.12.（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【分析】通過逆用完全平方公式及運(yùn)用及等性質(zhì)即可化簡求值.【解析】故選B.13.若要得到函數(shù)的圖像，則需要將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位【答案】A【分析】①審題要清晰，看清通過哪個函數(shù)得到哪個函數(shù)；②平移規(guī)律：左加右減，上加下減.注意左加右減是在1個身上加減.【解析】，故選A.14.設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下面四個命題正確的個數(shù)是（）①若，，，則； ②若，，，則；③若，，，則； ④若，，，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】本題以空間的平行與垂直為載體，考查了命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.著重考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查了空間想象的能力.【解析】對于①，因?yàn)?，，，所以，故①正確.對于②，因?yàn)?，，直線和相當(dāng)于平面和的法向量，因?yàn)椋?，故②正確.對于③，因?yàn)椋本€和相當(dāng)于平面和的法向量，因?yàn)椋?；故③不正確.對于④，若，，直線和相當(dāng)于平面和的法向量，因?yàn)?，所以，故④正確.故選C.15.某實(shí)驗(yàn)室研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲分泌信息素后，在秒時距分泌處米的地方，信息素濃度滿足公式（其中，均為非0常數(shù)）.如果分泌信息素后，在1秒時距分泌處3米的地方，信息濃度為，在9秒時距分泌處米的地方，信息濃度為，則（）A.6 B.9 C.10 D.12【答案】B【分析】由題意構(gòu)造方程組，消元法解之即得，本題考查了，等對數(shù)的運(yùn)算法則.【解析】因?yàn)樵?秒時距分泌處3米的地方，信息濃度為，所以，化簡得①，因?yàn)樵?秒時距分泌處米的地方，信息濃度為，所以，化簡得②，聯(lián)立①②得，解得.故選B.第Ⅱ卷（共90分）注意事項(xiàng)：1.必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答.作圖時可先用鉛筆繪出，確定后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚；2.第Ⅱ卷共2大題，11小題，共90分，必須在答題卡答題區(qū)域作答.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.16．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_________．【答案】1【分析】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求得，進(jìn)而求得焦準(zhǔn)距．【解析】因?yàn)閽佄锞€為，所以，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．17．已知某高校學(xué)術(shù)報(bào)告廳共有20排座位，前2排的座位數(shù)是12，從第2排起后一排比前一排多2個座位，則該學(xué)術(shù)報(bào)告廳的座位總數(shù)是_________.【答案】582【分析】首先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出的值，然后再加上即可得到該學(xué)術(shù)報(bào)告廳的座位總數(shù).【解析】因?yàn)榍?排的座位數(shù)是12，所以，因?yàn)閺牡?排起后一排比前一排多2個座位，所以，18．在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為10，那么_________.【答案】5【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為即可求得．【解析】因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，所以的二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈南禂?shù)為10，所以，所以．19．在中，，，則_________．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義式及即可求得數(shù)量積.其中為上的投影向量.【解析】法一：；法二：．20．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)時，定義點(diǎn)的“映射點(diǎn)”為，那么點(diǎn)的“映射點(diǎn)”的坐標(biāo)是_________．【答案】【分析】根據(jù)“映射點(diǎn)”定義，帶入求值．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)的“映射點(diǎn)”為，所以點(diǎn)的“映射點(diǎn)”，所以點(diǎn)的“映射點(diǎn)”．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或主要證明過程．21．（本小題滿分10分）某車間生產(chǎn)出一批零件，質(zhì)檢小組從中抽取300個零件檢測其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為六組：，，，，，，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若把直徑在區(qū)間的零件稱為一等品，在區(qū)間，的零件稱為二等品.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，在一、二等品中抽取容量為8的樣本，再從這8個樣本中隨機(jī)抽取4個，若用表示抽取到一等品的個數(shù)，試求概率分布列．【答案】(Ⅰ)，；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）這六組數(shù)據(jù)的組距為0.02，于是有：，而，可計(jì)算出：，；（Ⅱ）在抽取的300個零件之中，根據(jù)頻率直方圖可得：其中一等品的個數(shù)為（個），其中二等品的個數(shù)為（個），采用分層抽樣法在一、二等品中抽取容量為8的樣本，可得抽取到一、二等品零件的個數(shù)分別為6個、2個，由此可得x的取值可能為：2，3，4，則，，可得概率分布列為：23422．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(Ⅰ)略（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根據(jù)構(gòu)造出后，利用定義法證明；（Ⅱ）因?yàn)?，所以要求的前?xiàng)和為，可以先分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和與數(shù)列前項(xiàng)和，然后相加即可得出.【解析】(Ⅰ)在數(shù)列中，因?yàn)?，①?dāng)時，得.②當(dāng)時，=，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)闀r，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列；（Ⅱ）由(Ⅰ)知數(shù)列的前項(xiàng)和為：，而數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為：，因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)和為．23.（本小題滿分12分）在四棱錐中，，，，，平面.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值.【解析】(Ⅰ)如圖，連接AC，作AE⊥BC，交BC于E，交BD于G，因?yàn)锳D∥BC，AD⊥CD，所以BC⊥CD，所以四邊形AECD是矩形．因?yàn)锳D=CD，所以四邊形AECD是正方形，所以AD=CD=CE=AE，∠CAE=．因?yàn)?AD=2CD=BC，AE⊥BC，所以AE=BE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠AEB=，∠BAE=，則∠BAC=+=，即AB⊥AC．因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以PA⊥AC，因?yàn)锳B⊥AC，PA∩AB=A，所以AC⊥面PAB．因?yàn)锳C面，所以平面平面．(Ⅱ)如圖，作AFBD，交BD于F，因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以PF⊥BD，所以∠PFA是二面角的平面角，因?yàn)锳E∥CD，2CE=CB，根據(jù)相似三角形定理可知GE是△BCD的中位線，所以2GE=CD，所以AG=GE=AE=AD，AE⊥AD，AF⊥BD，所以把用等面積法表示，所以，解得，因?yàn)镻A=AD，所以，因此二面角的正切值是.24.（本小題滿分12分）在中，角，，的對邊分別為，，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）證明：為定值.【解析】(Ⅰ)在中，因?yàn)?+=，所以．因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)椋?，=，，所以，因?yàn)?，，則，所以，所以，為定值.25.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)都有成立，且.（Ⅰ）求與的值；（Ⅱ）當(dāng)時，成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由.【答案】(Ⅰ)，；（Ⅱ）單調(diào)遞減.【分析】(Ⅰ)根據(jù)條件及，通過賦值法即可求出與的值.（Ⅱ）函數(shù)在在定義域上單調(diào)遞減．【解析】(Ⅰ)令，得，則；令，得，則；令，得，則，可得；令，得，則，可得；（Ⅱ）函數(shù)在在定義域上單調(diào)遞減.證明如下：令，得成立，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時，成立，為奇函數(shù).故當(dāng)時，成立;令，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，所以，所以，所以，所以，當(dāng)，且時，，故函數(shù)單調(diào)遞減．26.（本小題滿分12分）已知圓：.（Ⅰ）若直線與圓相切于點(diǎn)，求直線的方程；（Ⅱ）過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若過點(diǎn)，且與圓相切的兩條直線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(Ⅰ)當(dāng)時，的方程:;當(dāng)時，的方程:;當(dāng)時，的方程:;（Ⅱ