(人教A版數(shù)學必修一講義)第5章第06講5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(知識清單+10類熱點題型講練+分層強化訓練)(學生版+解析)

第06講5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課程標準學習目標①結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。②會求正、余弦函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸及最值，及結(jié)合函數(shù)的圖象會求函數(shù)的解析式，并能求出相關的基本量。會求正、余弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，對稱點，對稱區(qū)間，會求兩類函數(shù)的最值.知識點01：函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義一般地,設函數(shù)的定義域為,如果存在一個非零常數(shù),使得對每一個,都有,且,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2.最小正周期的定義如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

知識點02：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；【即學即練1】（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)．知識點03：正弦、余弦型函數(shù)的常用周期函數(shù)最小正周期或（）或或（）無周期【即學即練2】（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列三角函數(shù)的周期．(1)，；(2)，；(3)，.知識點04：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當()時，;圖象的對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()【即學即練3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列各點中，可以作為函數(shù)圖象的對稱中心的是（

）A． B． C． D．題型01三角函數(shù)的周期問題及簡單應用【典例1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，以為最小正周期的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2024高二下·云南·學業(yè)考試）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·上?！て谀┫铝兴膫€函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的最小正周期是．題型02三角函數(shù)的奇偶性及其應用【典例1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由：(1)；(2)；(3)；(4).【典例2】（23-24高一下·上海·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．【變式1】（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）下列的函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．題型03函數(shù)奇偶性與周期性、單調(diào)性，對稱性的綜合問題【典例1】（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）已知函數(shù)，的最小正周期為，函數(shù)圖象關于點對稱，且滿足函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）同時具有下列性質(zhì)：“①對任意，恒成立；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的函數(shù)可以是（

）A． B．C． D．【典例3】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上單調(diào)，且有，則（

）A．直線是圖像的一條對稱軸B．的最小正周期為C．點是圖像的一個對稱中心D．【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若關于對稱，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）（23-24高二下·貴州貴陽·階段練習）設函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增.【變式3】（多選）（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)（，）的圖象既關于點中心對稱，也關于直線軸對稱，且在上單調(diào)，則的值可能是（

）A． B． C．2 D．題型04求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（24-25高一上·全國·課堂例題）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【典例2】（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值、最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．【變式1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知函數(shù)，.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和值域.題型05利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小【典例1】（24-25高一上·全國·課堂例題）比較大小：(1)與；(2)與．【典例2】（2024高一上·全國·專題練習）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小．(1)與；(2)與；(3)與.【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與.【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與．題型06已知三角函數(shù)的單調(diào)情況求參數(shù)問題【典例1】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，，且對任意的，都有，則初相的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高三上·廣東·階段練習）若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.題型07三角函數(shù)的對稱性【典例1】（23-24高一下·江蘇常州·期中）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則的最小值為．【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，那么的最小值為．【變式1】（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則可以為.（寫出一個符合條件的即可）【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為f(x)圖像的對稱中心.則的最小值為.題型08利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求值域或最大(小)值【典例1】（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則fx在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【典例2】（2024高三上·全國·專題練習）函數(shù)，的值域為．【變式1】（23-24高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)，且.(1)求的值；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若的值域是，求的取值范圍.【變式2】（23-24高一下·河南南陽·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在上的值域.題型09求值域（可化為一元二次函數(shù)型）【典例1】（23-24高一下·北京懷柔·期中）函數(shù)的值域為.【典例2】（24-25高一上·全國·課堂例題）求函數(shù)，的值域．【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，，當時，fx最小且最小值為．【變式2】（23-24高三上·黑龍江大慶·階段練習）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是．題型10分式型求值域或最大(小)值【典例1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域是，值域是．【典例2】（2024·河北邯鄲·二模）當時，函數(shù)的最大值為．【變式1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最大值、最小值及值域.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·山東日照·期中）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．1 D．22．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）在上，函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·北京懷柔·期末）下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·浙江·開學考試）函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，，且，，則滿足條件的實數(shù)的最小值為（

）A．506 B．507 C．508 D．5092．（23-24高一下·新疆伊犁·期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．函數(shù)圖像關于直線對稱 B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是 D．函數(shù)的值域是C綜合素養(yǎng)1．（23-24高一下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且______.從下列兩個條件中選擇一個補充在題中的橫線上，再解答.①；②，在區(qū)間上至少有2個零點.(1)求函數(shù)的解析式；(2)對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.】2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）對于三個實數(shù)a，b，k，若成立，則稱a，b具有“性質(zhì)k”.(1)，判斷x，0是否具有“性質(zhì)2”？(2)，判斷，0是否具有“性質(zhì)4”？(3)若存在及，使得成立，，1具有“性質(zhì)2”，求實數(shù)m的取值范圍.第06講5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課程標準學習目標①結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。②會求正、余弦函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸及最值，及結(jié)合函數(shù)的圖象會求函數(shù)的解析式，并能求出相關的基本量。會求正、余弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，對稱點，對稱區(qū)間，會求兩類函數(shù)的最值.知識點01：函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義一般地,設函數(shù)的定義域為,如果存在一個非零常數(shù),使得對每一個,都有,且,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2.最小正周期的定義如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

知識點02：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；【即學即練1】（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)偶函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)奇函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷.【詳解】（1），，因為，都有，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為R，因為，都有，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)；（3），，因為，都有，又，所以函數(shù)為奇函數(shù).知識點03：正弦、余弦型函數(shù)的常用周期函數(shù)最小正周期或（）或或（）無周期【即學即練2】（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列三角函數(shù)的周期．(1)，；(2)，；(3)，.【答案】(1)(2)(3)【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用周期函數(shù)的定義求解即可.【詳解】（1）因為，由周期函數(shù)的定義知，的周期為.（2）因為，由周期函數(shù)的定義知，的周期為.（3）的圖象如圖（實線部分）所示.由圖象可知，的周期為.知識點04：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當()時，;圖象的對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()【即學即練3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列各點中，可以作為函數(shù)圖象的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項驗證即可得解.【詳解】對于AC，，AC不是；對于BD，，B是，D不是.故選：B題型01三角函數(shù)的周期問題及簡單應用【典例1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，以為最小正周期的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于AD，根據(jù)圖象變換和周期公式分析判斷，對于BC，根據(jù)周期公式分析判斷.【詳解】對于A，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，故B錯誤；對于C，的最小正周期為，故C錯誤；對于D，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故D正確．故選：D．【典例2】（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)周期的定義以及奇偶性的定義判斷A；根據(jù)是奇函數(shù)，的周期為，分別判斷BD；化簡,再判斷C.【詳解】對于A,因為,所以的周期為π,因為,所以是偶函數(shù),A符合題意；對于B,是奇函數(shù)，B不合題意；對于D,的周期為，所以D不合題意；對于C,因為是偶函數(shù)，因為的周期是符合題意.故選:AC.【變式1】（2024高二下·云南·學業(yè)考試）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式運算求解.【詳解】由題意可得：函數(shù)的最小正周期是.故選：C.【變式2】（23-24高一下·上海·期末）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的奇偶性、周期性即可逐一判斷各個選項.【詳解】對于A，是以為最小正周期的奇函數(shù)，故A不符合題意；對于B，是以為最小正周期的偶函數(shù)，故B不符合題意；對于C，若，則，為偶函數(shù)，故C不符合題意；對于D，若，顯然其定義域為全體實數(shù)，且，所以是奇函數(shù)，且它的最小正周期為，故D符合題意.故選：D.【變式3】（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的最小正周期是．【答案】6【分析】利用正弦型函數(shù)的周期，結(jié)合圖形求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，顯然，即是函數(shù)的周期，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)的周期相同，所以函數(shù)的最小正周期是6.故答案為：6題型02三角函數(shù)的奇偶性及其應用【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函數(shù)；理由見解析(2)偶函數(shù)；理由見解析(3)偶函數(shù)；理由見解析(4)非奇非偶函數(shù)；理由見解析【分析】先求出函數(shù)的定義域，求出，然后利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則為奇函數(shù).（2）函數(shù)的定義域為，，則為偶函數(shù).（3）函數(shù)的定義域為，，則為偶函數(shù)（4）函數(shù)的定義域為，，所以不是奇函數(shù)，，則，則不是偶函數(shù)，所以非奇非偶函數(shù).【典例2】（23-24高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性解得，結(jié)合題中的范圍分析求解.【詳解】由題意可知：關于原點對稱，可知，且，所以.故答案為：.【變式1】（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，結(jié)合余弦函數(shù)對稱性分析求解.【詳解】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，則，則，對于選項A：令，解得，不合題意；對于選項B：令，解得，符合題意；對于選項C：令，解得，不合題意；對于選項D：令，解得，不合題意；故選：B.【變式2】（多選）（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）下列的函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】DCD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正、余弦函數(shù)的奇偶性逐項分析判斷.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，對于選項A：因為，可知不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于選項C：因為，所以是偶函數(shù)，故C正確；對于選項D：因為，所以是偶函數(shù)，故D正確；故選：BCD.題型03函數(shù)奇偶性與周期性、單調(diào)性，對稱性的綜合問題【典例1】（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）已知函數(shù)，的最小正周期為，函數(shù)圖象關于點對稱，且滿足函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期為可求出，從而可得，根據(jù)函數(shù)圖象關于點對稱可得出，根據(jù)，可得或，根據(jù)單調(diào)性，可得的值.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，，所以，解得，則，因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，解得，因為，所以或.令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，解得：，因為，所以，故，故選：D【典例2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）同時具有下列性質(zhì)：“①對任意，恒成立；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的函數(shù)可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對四個選項逐個分析判斷是否具有①②③的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由對任意，恒成立，得的周期為，對于A，的周期為，所以不符合題意，對于B，的周期為，則滿足條件①，因為，所以的圖象關于直線對稱，所以滿足條件②，由，得，因為在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以滿足條件③，所以B符合題意，對于C，的周期為，則滿足條件①，因為，所以的圖象關于直線對稱，所以滿足條件②，由，得，因為在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，所以不滿足條件③，所以C不符合題意，對于D，的周期為，則滿足條件①，因為，所以的圖象不關于直線對稱，所以不滿足條件②，所以D不符合題意，故選：B【典例3】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上單調(diào)，且有，則（

）A．直線是圖像的一條對稱軸B．的最小正周期為C．點是圖像的一個對稱中心D．【答案】ABD【分析】通過函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)得出函數(shù)的最小正周期的范圍，再通過三個函數(shù)值得出函數(shù)圖像的對稱中心和對稱軸，進而得出函數(shù)的周期，求出有關參數(shù)，再逐一判斷即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)，所以的最小正周期，又因為，所以函數(shù)的圖像關于點，即點對稱，由及，知的圖像關于直線對稱，所以的最小正周期，從而，故A，B正確；因為函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，所以，解得，又，所以，所以，所以，，故C錯誤，D正確．故選：ABD．【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若關于對稱，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦型函數(shù)的對稱性計算可得，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性計算即可得解.【詳解】關于對稱，則，，，，又，，∴，由，，得，，當時，得，即的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是．故選：D.【變式2】（多選）（23-24高二下·貴州貴陽·階段練習）設函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】DD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期，利用整體代換法即可求出函數(shù)的對稱軸和單調(diào)區(qū)間.代入驗證零點.【詳解】由周期公式知，A正確；因為不是最值，所以直線不是函數(shù)的對稱軸，B錯誤；因為，所以是函數(shù)的零點，C正確；當，則，正弦函數(shù)在區(qū)間上先增后減，故D錯誤.故選：BD【變式3】（多選）（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)（，）的圖象既關于點中心對稱，也關于直線軸對稱，且在上單調(diào)，則的值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】AB【分析】由對稱軸和對稱中心列出關系式得，利用單調(diào)性得到，進而得k=1或或，再注意驗證是否符合題意可得答案.【詳解】由題意可得則，即.因為在上單調(diào)，所以，所以，即，所以，即，解得.因為，所以k=1或或.當k=1時，，，此時在上單調(diào)遞減，故k=1符合題意；當時，，，此時在上單調(diào)遞減，故符合題意；當時，，，此時在上不單調(diào)，故不符合題意.故選：AB.題型04求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（24-25高一上·全國·課堂例題）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】，．【分析】函數(shù)可化為，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求其單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，令，又的單調(diào)遞增區(qū)間是，，∴令，，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【典例2】（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值、最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)答案見解析(2)和【分析】（1）直接利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值及取最值時的集合；（2）先通過求出的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)增區(qū)間.【詳解】（1）對于函數(shù)，當，即時，函數(shù)取得最大值；當，即時，函數(shù)取得最小值．（2），，由和可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.【變式1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)，.【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由可得,，當?shù)眉磿r，函數(shù)取得最大值，當?shù)眉磿r，函數(shù)取得最小值，即在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）∵時單調(diào)遞減，∴時單調(diào)遞減，當時，；當時，；∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，.【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知函數(shù)，.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和值域.【答案】單調(diào)增區(qū)間是和，值域為.【分析】根據(jù)整體代入法即可求單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可求值域.【詳解】，.由，，解得，.當時，；當，.又，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和由單調(diào)區(qū)間可知，當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，值域為.題型05利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小【典例1】（24-25高一上·全國·課堂例題）比較大小：(1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小即可；（2）由誘導公式可得，，再結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】（1）因為函數(shù)在上是減函數(shù)，且，所以．（2），．因為函數(shù)在上是增函數(shù)，而，所以，所以．故．【典例2】（2024高一上·全國·專題練習）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與；(3)與.【答案】(1).(2).(3).【分析】（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，比較正弦值的大?。唬?）由誘導公式有，，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（3）利用誘導公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小【詳解】（1）由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.（2），，由，有，從而，即.（3），，且在上是減函數(shù)，則，即.【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，比較正弦值的大?。唬?）由誘導公式有，，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】（1）由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.（2）由于，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，所以.【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）先應用誘導公式化簡到同一單調(diào)區(qū)間，再應用正余弦函數(shù)單調(diào)性判斷大?。弧驹斀狻浚?）∵，，又在上單調(diào)遞增，且，∴，∴．（2）∵，．又在[0,π]上單調(diào)遞減，且，∴，∴．題型06已知三角函數(shù)的單調(diào)情況求參數(shù)問題【典例1】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，，且對任意的，都有，則初相的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得，又，則，又對任意的，都有，則為函數(shù)的最小值，然后分，，時討論，即可得到初相的值.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，所以，又，則，對任意的，都有，即為函數(shù)的最小值，當時，，所以，因為，則此時不存在；當時，，所以，因為，則此時，，則，符合題意；當時，，所以，因為，則此時，，則，不符合題意.故選：D.【典例2】（23-24高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對分不同情況進行討論，得出當時不滿足條件，當或時滿足條件，當時不滿足條件，即得到所求的全部為和，從而得到答案.【詳解】若，則，故不滿足條件；若或，則對有，或.所以，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，滿足條件；若，則，故不滿足條件；若，則由可知，存在正整數(shù)滿足.此時，，從而在上存在極值點，不可能單調(diào)遞減，不滿足條件.綜上，滿足條件的有和.故選：C.【變式1】（多選）（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)余弦函數(shù)只能在半個周期內(nèi)單調(diào)可得，再通過整體法確定的取值范圍，最后求解取值范圍即可.【詳解】由題意函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可得，則．因為，所以．因為，所以．因為在上單調(diào)，所以或解得或．故選：AB.【變式2】（24-25高三上·廣東·階段練習）若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】確定，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求出的范圍可得答案.【詳解】當時，不具備單調(diào)性，當時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因為在上是單調(diào)遞增的，所以在上不可能單調(diào)遞減，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因為，所以時，，綜上所述，.故答案為：.題型07三角函數(shù)的對稱性【典例1】（23-24高一下·江蘇常州·期中）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則的最小值為．【答案】/【分析】由及得，或，結(jié)合的圖象關于點對稱，即可求出的最小值．【詳解】由的圖象關于點對稱，得，由及得，或，當時，，由得的最小值為；當φ=2π3時，，由得的最小值為；綜上所述，的最小值為；故答案為：．【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，那么的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，代入對稱中心，求得，由此最小值即可求解.【詳解】的圖象關于點對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：【變式1】（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則可以為.（寫出一個符合條件的即可）【答案】.（答案不唯一）【分析】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，只需根據(jù)三角函數(shù)圖象讓也為的對稱軸即可.【詳解】函數(shù)的圖象關于直線對稱，則只要的圖象關于直線對稱即可，所以，所以，如令，可以取.故答案為：【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為f(x)圖像的對稱中心.則的最小值為.【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時.故答案為：題型08利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求值域或最大(小)值【典例1】（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則fx在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】先由誘導公式化簡，結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出時，的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【詳解】，由得，即，當時，，畫出圖象，如下圖，由圖可知，在上遞減，所以，當時，故選：A【典例2】（2024高三上·全國·專題練習）函數(shù)，的值域為．【答案】【分析】先求出整體角的范圍，再利用余弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以．所以函數(shù)的值域為．故答案為：【變式1】（23-24高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)，且.(1)求的值；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若的值域是，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）代入最大值點化簡函數(shù)即可求參；（2）應用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可；（3）化簡得出正弦函數(shù)的值域進而確定自變量的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以,可得，所以,所以.（2）的單調(diào)增區(qū)間為.（3）因為,又因為,所以即.【變式2】（23-24高一下·河南南陽·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.（2）由的取值范圍求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1），令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），因為，所以，可得，則，即函數(shù)在上的值域為．題型09求值域（可化為一元二次函數(shù)型）【典例1】（23-24高一下·北京懷柔·期中）函數(shù)的值域為.【答案】【分析】由已知可知，，利用同角平方關系對已知函數(shù)進行化簡，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大與最小值，則值域可得.【詳解】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當，當時，；當或時，，故值域為.故答案為：【典例2】（24-25高一上·全國·課堂例題）求函數(shù)，的值域．【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合余弦函數(shù)值域性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】令，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值10；當時，函數(shù)取得最小值2，∴函數(shù)的值域為.【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，，當時，fx最小且最小值為．【答案】【分析】利用換元法令，由余弦型函數(shù)單調(diào)性可得的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】令，∴，．∵在上是減函數(shù)，∴當，即時，．故答案為：，.【變式2】（23-24高三上·黑龍江大慶·階段練習）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是．【答案】【分析】設，則問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系即可得出答案.【詳解】方程，整理可得，因為，則，設，則問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解．又方程對應的二次函數(shù)的對稱軸為，

故有，即，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：.題型10分式型求值域或最大(小)值【典例1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域是，值域是．【答案】【分析】由題意可得,易得函數(shù)的定義域,變形可得,由的范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)可得值域.【詳解】由可得,函數(shù)的定義域為,又,，所以函數(shù)的值域為；故答案為：；.【典例2】（2024·河北邯鄲·二模）當時，函數(shù)的最大值為．【答案】-4【分析】化簡函數(shù)得，再換元，利用二次函數(shù)和復合函數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】由題意得所以，當時，，設所以，所以當時，函數(shù)取最大值.所以的最大值為-4．故答案為：【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是對已知函數(shù)的化簡，由于已知函數(shù)分子分母都是“二次式”，所以可以同時除以，得到單變量函數(shù).【變式1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最大值、最小值及值域.【答案】最小值，最大值2，值域為.【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后利用三角函數(shù)的有界性和函數(shù)的單調(diào)性可求出其最值.【詳解】解：，令，則，，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得最小值，當時，函數(shù)取得最大值2，即.所以所求函數(shù)的值域為.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·山東日照·期中）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用余弦型函數(shù)的周期公式計算即得.【詳解】函數(shù)的最小正周期是.故選：D2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）在上，函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運用正弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象解題【詳解】在[0，2π]上，函數(shù)的定義域滿足，即，結(jié)合圖象，知道．故選：B.3．（23-24高一下·北京懷柔·期末）下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)周期公式和奇函數(shù)定義判斷各個選項；【詳解】對于A.周期是，A錯誤；對于B.周期是，因為是偶函數(shù)，B錯誤；對于C.周期是，因為是偶函數(shù)，C錯誤；對于D.周期是，又是奇函數(shù)，D正確；故選：D.4．（24-25高三上·浙江·開學考試）函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出相位的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解即得.【詳解】由，得，由的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，得，所以.故選：C5．（24-25高三上·湖北·階段練習）函數(shù)的一個對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)對稱中心計算求解.【詳解】令，則,當k=1時，對稱中心為：，結(jié)合選項，ABC錯誤，故選：D.二、多選題6．（23-24高一