黑龍江省綏化市綏棱縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高二9月月考試卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.橢圓與橢圓（）A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等2.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A-2 B.1 C.3 D.43.已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.24.已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（）A. B.C. D.5.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.6.已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A B.C. D.7.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)且，則（）A B. C. D.28.如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（）A. B.C. D.二、多選選擇題：本題共3.小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正方體的棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面10.已知直線，則（）A.若，則的一個(gè)方向向量為 B.若，則或C.若，則 D.若不經(jīng)過第二象限，則11.已知是橢圓：上任意一點(diǎn)，是圓：上任意一點(diǎn)，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，則（）A.使為直角三角形的點(diǎn)共有4個(gè)B.的最大值為4C.若為鈍角，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D.當(dāng)最大時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為______．13.在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為___________.14.已知，則的最小值為______四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與直線相交于點(diǎn)，則（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線16.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動.（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程：（2）設(shè)圓C1與曲線C2的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.18.已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．19.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點(diǎn)滿足，判斷是否存在，使二面角正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高二9月月考試卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】求出兩橢圓的長軸長、短軸長、焦距以及離心率，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，所以，兩橢圓的焦距相等，長軸長不相等，短軸長不相等，離心率也不相等.故選：D.2.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A.-2 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式及斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選：B.3.已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值．【詳解】向量若，則，．故選：C．4.已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】直線在軸上的截距為，點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式方程得即.故選：B.5.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得到方程組，解得答案.【詳解】方程表示橢圓，則，解得.故選：B6.已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點(diǎn)，則，又直線的斜率為，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為.故選：A.7.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)且，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合條件即得.【詳解】橢圓得，，，設(shè)，，則，，，，，，即．故選：A．8.如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)代入方程，兩式相減得到，得到直線斜率，解得直線方程.【詳解】設(shè)交點(diǎn)分別為，，則，，兩式相減得到，即，解得.故直線方程為：，即.故選：D.二、多選選擇題：本題共3.小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正方體棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定即可判斷A；根據(jù)即可判斷BC，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，證明，最后結(jié)合線面垂直的判定即可.【詳解】對A，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；對BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是故BC錯(cuò)誤；對D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，則，則，則，又因?yàn)槠矫妫云矫?故選：AD.10.已知直線，則（）A.若，則的一個(gè)方向向量為 B.若，則或C.若，則 D.若不經(jīng)過第二象限，則【答案】ACD【解析】【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將化簡得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，故A正確；對B，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則直線的斜率，直線的斜率，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，顯然兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；對C，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則，即，解得，故C正確；對D，若不經(jīng)過第二象限，，化簡得，則，解得，故D正確；故選：ACD.11.已知是橢圓：上任意一點(diǎn)，是圓：上任意一點(diǎn)，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，則（）A.使為直角三角形的點(diǎn)共有4個(gè)B.的最大值為4C.若為鈍角，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D.當(dāng)最大時(shí)，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用圓的方程與性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理以及橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闄E圓：，所以，以為直徑的圓的方程，與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，由有：，解得，所以使點(diǎn)共有4個(gè)；使或點(diǎn)共有4個(gè)；所以共有8個(gè)點(diǎn)滿足要求，故A錯(cuò)誤；若為鈍角，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為，故C正確；由圓：有：，，設(shè)橢圓：上任意一點(diǎn)，則，所以，故的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)最大時(shí)，與圓M相切，由勾股定理有：，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為______．【答案】3【解析】【分析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案為：313.在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為___________.【答案】##0.5【解析】【分析】可通過連接，將和夾角轉(zhuǎn)化成與所成的角，然后再去求解.【詳解】如圖所示，連接、，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以和夾角就是與所成的角，而是正三角形，所以，所以，直線和夾角的余弦值為.故答案為：.14.已知，則的最小值為______【答案】【解析】【分析】由兩點(diǎn)距離公式可將轉(zhuǎn)化為到，的距離和，先求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則即為距離和的最小值，由距離公式求即可.【詳解】，設(shè)在直線上，點(diǎn)，，則，，則,如圖，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則的最小值即為線段長，設(shè)，則，解得，即，故，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與直線相交于點(diǎn)，則（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線平行得到所求直線斜率后，即可求出結(jié)果；（2）利用兩直線垂直得到所求直線的斜率后，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由解得，即，因?yàn)橹本€的斜率為，所以過點(diǎn)且平行于直線的直線的斜率為，所以直線為：，化簡得.【小問2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以點(diǎn)且垂直于直線的直線的斜率為所以直線為：，化簡得.16.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動.（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程：（2）設(shè)圓C1與曲線C2的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求出，，通過點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，轉(zhuǎn)化求解中點(diǎn)P的軌跡的方程即可；（2）將圓與圓的方程相減得，求出圓的圓心到直線的距離d，即可求解；【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，，于是有①，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動，即：②，把①代入②，得，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．【小問2詳解】將圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心為，半徑為1，且到直線的距離，則.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形邊角關(guān)系可證明相似，即可得,即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解即可.【小問1詳解】平面平面，且兩平面交于，又，平面.在中，，，.且，是等腰直角三角形，，.，，又，為等腰直角三角形，.，，又，所以，平面,平面，平面.【小問2詳解】由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.可得，，，即，.設(shè)平面法向量為，則，解得.平面的法向量為.設(shè)二面角為，所以，則.18.已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達(dá)定理及弦長公式，即可求得k的值．小問1詳解】由離心率，則，又上頂點(diǎn)，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線l：，設(shè)，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴19.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點(diǎn)滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到，，從而得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；（3）求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，所?又，，平面，所以平面.【小問2詳