畫法幾何及工程制圖教案

《畫法幾何及工程制圖》

講稿與教案

數(shù)理與軟件工程學(xué)院

緒論

主要內(nèi)容課程性質(zhì)、主要任務(wù)、學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)方法

教學(xué)目的了解本門課程的重要性和學(xué)習(xí)內(nèi)容

學(xué)時(shí)分配1學(xué)時(shí)

重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)方法

教學(xué)方式多媒體教學(xué)。

教學(xué)手段

1.準(zhǔn)備兩張建筑施工圖、零件裝配圖作為展示用，加深

學(xué)生對(duì)本門課程內(nèi)容的了解。

2.進(jìn)入學(xué)校主頁(yè)，點(diǎn)擊網(wǎng)絡(luò)課程，登錄eYouCT即可找

到“工程圖學(xué)”網(wǎng)絡(luò)課程。這是學(xué)好本門課程最佳的輔助方

式，是工程圖學(xué)教研室自主研制的網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)課件。

其它說(shuō)明3.逐一點(diǎn)名，相互溝通，為后續(xù)教學(xué)互動(dòng)打下基礎(chǔ)。

4.指定課代表。

5.安排學(xué)生到二教一樓制圖模型室購(gòu)買《工程制圖基

礎(chǔ)》教材一套，每套21元；購(gòu)買繪圖儀器，每套21元；領(lǐng)

取圖板、丁字尺等繪圖工具。由班干部、課代表負(fù)責(zé)統(tǒng)一收

齊費(fèi)用，統(tǒng)一購(gòu)買、統(tǒng)一領(lǐng)取。

課程名稱：畫法兒何及工程制圖。

課程性質(zhì)：是工科專業(yè)的一門技術(shù)基礎(chǔ)課。

畫法兒何是研究在平面上用圖形表示形體和解決空間兒何問(wèn)題的理論和方

法的學(xué)科。畫法兒何是機(jī)械制圖的投影理論基礎(chǔ)，它應(yīng)用投影的方法研究多面

正投影圖、軸測(cè)圖、透視圖和標(biāo)高投影圖的繪制原理，其中多面正投影圖是主

要研究?jī)?nèi)容。畫法兒何的內(nèi)容還包含投影變換、截交線、相貫線和展開圖等。

1103年，在中國(guó)宋代李誡所著的《營(yíng)造法式》一書中的建筑圖基本上符合

兒何規(guī)則，但在當(dāng)時(shí)尚未形成畫法的理論。

1799年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)表了《畫法兒何》一書，提出用多面正投影圖

表達(dá)空間形體。這為畫法幾何奠定了理論基礎(chǔ)。以后的各國(guó)學(xué)者又在投影變換、

軸測(cè)圖，以及其他方面不斷提出新的理論和方法，使這門學(xué)科日趨完善。

我們知道，任何建筑物及其構(gòu)件的形狀、大小和做法，都不是用普通語(yǔ)言

或文字能表達(dá)清楚的。必須按照一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)定畫出它們的圖樣，作為施工、

交流的依據(jù)，作為表達(dá)設(shè)計(jì)師構(gòu)思的手段。因此，工程圖樣被喻為工程界的語(yǔ)

言，是工程技術(shù)部門的一項(xiàng)重要的技術(shù)文件。

本門課程和工程測(cè)量被認(rèn)為是工程技術(shù)人員的兩大技能。

主要任務(wù)：

1.學(xué)習(xí)投影法的基本理論和應(yīng)用；

2.培養(yǎng)學(xué)生空間幾何問(wèn)題的圖解能力；

3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和空間思維能力；

4.認(rèn)識(shí)國(guó)標(biāo)，應(yīng)用國(guó)標(biāo)；

5.培養(yǎng)學(xué)生閱讀、繪制工程圖樣的技能；

6.培養(yǎng)學(xué)生的工程意識(shí)，養(yǎng)成認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度和一絲不茍的工作作風(fēng)。

學(xué)習(xí)方法：

首先要多看、多想、多比劃，盡快建立空間概念；

其次要知道本門課程就是從點(diǎn)、到線、到面、再到體，一環(huán)扣一環(huán)，逐步

深入。因此，每一節(jié)課、每一章節(jié)內(nèi)容都應(yīng)該很好地掌握，否則后續(xù)章節(jié)就無(wú)

法學(xué)習(xí)。

再者，就是要勤做練習(xí)、快做練習(xí)。課后如果不及時(shí)完成作業(yè)，將會(huì)大大

降低學(xué)習(xí)效率。

另外，要用好網(wǎng)絡(luò)課程。

需要說(shuō)明的是，學(xué)好任何一門課程，都沒(méi)有捷徑可走，都要付出艱辛的努

力。

本課程與立體幾何的區(qū)別與聯(lián)系：

由于該課程解決的是空間問(wèn)題，因此立體幾何學(xué)的好與差，對(duì)這門課程肯

定有影響。但只要同學(xué)們掌握了學(xué)習(xí)方法，認(rèn)真刻苦，也是完全可以掌握本學(xué)

科知識(shí)的?！读Ⅲw兒何》是在立體上解決一些平面兒何問(wèn)題，而《畫法兒何》則

是將立體進(jìn)行投影，在平面上解決空間問(wèn)題。

第一章制圖的基本規(guī)定

主要內(nèi)容圖幅、標(biāo)題欄、尺寸、字體、比例的基本規(guī)定

教學(xué)目的掌握制圖國(guó)標(biāo)，規(guī)范制圖行為

學(xué)時(shí)分配2學(xué)時(shí)

重點(diǎn)與難點(diǎn)尺寸標(biāo)注、比例的概念

教學(xué)方式多媒體教學(xué)。

教學(xué)手段

學(xué)生容易出現(xiàn)的圓弧中半徑與直徑的標(biāo)注

問(wèn)題

作業(yè)及思考題P7~P9所有習(xí)題

§1.1國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)

為了便于指導(dǎo)生產(chǎn)和進(jìn)行技術(shù)交流，必須對(duì)圖樣的表達(dá)方法、尺寸標(biāo)準(zhǔn)、

所采用的符號(hào)等，制定出統(tǒng)一的規(guī)定。這個(gè)規(guī)定就是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)稱國(guó)標(biāo)）。

國(guó)標(biāo)符號(hào)說(shuō)明：

GB——強(qiáng)制性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)

GB/T——推薦性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)

GB/Z——指導(dǎo)性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)

GBJ建筑國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)

具體如：

GB/T14689-1993——1993年制定的圖紙幅面推薦性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；

GB/T14690-1993——1993年制定的比例推薦性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；

GB/T14691-1993——1993年制定的字體推薦性國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；

GBJ1-1986——房屋建筑制圖統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

§1.2圖紙幅面及圖框

一、圖紙幅面（簡(jiǎn)稱圖幅）

圖幅——繪圖所采用的圖紙幅面，是為了合理使用圖紙，便于管理，裝訂而規(guī)定的。我

們應(yīng)優(yōu)先采用下表所列的尺寸（GB/T14689-1993）o

幅面代號(hào)AOAlA2A3A4

B*L841X1189594X841420X594297X420210X297

e2010

c105

a25

表中尺寸單位為mm。L（長(zhǎng)邊）=VlB（短邊）。

A1號(hào)幅面為A0號(hào)幅面的對(duì)裁，A2號(hào)幅面為A1號(hào)幅面的對(duì)裁，依此類推。

圖紙有模式和立式兩種。A4只用立式。為了縮微復(fù)制，需畫對(duì)中標(biāo)志。圖紙必須按圖幅

大小裁，且要畫圖框線。

若有必要，可按國(guó)標(biāo)的規(guī)定加長(zhǎng)圖紙長(zhǎng)度。

二、圖框格式

圖框格式分為不留裝訂邊和留裝訂邊兩種格式，但同一套圖紙只能采用一種格式。無(wú)論

哪種格式都可以采用橫式布置或立式布置。

不留裝訂邊格式：

（a）橫式

(b)立式

留裝訂邊格式:

(a)橫式

(b)立式

§1.3標(biāo)題欄、會(huì)簽欄

圖紙的標(biāo)題欄簡(jiǎn)稱圖標(biāo)，用于對(duì)工程名稱、施工單位、設(shè)計(jì)單位、圖名、圖紙編號(hào)、比

例、設(shè)計(jì)者及審核者等主要信息進(jìn)行說(shuō)明。

在我們學(xué)習(xí)階段，我們建議使用“學(xué)生用標(biāo)題欄”。具體格式和尺寸見教材或多媒體課件。

當(dāng)設(shè)計(jì)人員較多時(shí)，需要在左側(cè)上方圖框線外畫出會(huì)簽欄，分欄數(shù)根據(jù)需要而定。

§1.4圖線

圖形是由圖線組成的，為了表示圖中不同的內(nèi)容，便于識(shí)圖，并且能分清主次，必須使

用不同的線型和不同粗細(xì)的圖線。每種線條則代表不同的用途和意義。

一、圖線的型式、寬度及用途

圖線有：實(shí)線、虛線、點(diǎn)劃線、折斷線、波浪線等型式。

每種線型有三種不同的線寬。具體見下表：

名稱線型線寬一般用途

實(shí)粗b主要可見輪廓線

中0.5b可見輪廓線

線細(xì)0.35b可見輪廓線、圖例線等

虛粗b見有關(guān)專業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)

中0.5b不可見輪廓線

線細(xì)0.35b不可見輪廓線、圖例線等

點(diǎn)粗b見有關(guān)專業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)

劃中0.5b見有關(guān)專業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)

線細(xì)0.35b中心線、對(duì)稱線等

雙粗b見有關(guān)專業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)

百

2中0.5b見有關(guān)專業(yè)制圖標(biāo)準(zhǔn)

線細(xì)0.35b假想輪廓線、成型前原始輪廓線

折斷線0.35b斷開界線

波浪線0.35b斷開界線

線寬b是指圖線的粗度。它應(yīng)從0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1.0、1.4、2.0（mm）線

寬系列中選用?？梢钥闯觯合乱患?jí)約是上一級(jí)的四倍。

配套使用的線寬——為線寬組。它應(yīng)根據(jù)圖形的復(fù)雜程度（線條的密集程度）、繪圖比例

的大小，按下表所列線寬組選用。

線寬比線寬號(hào)1(mm)

b2.01.41.00.70.50.35

0.5b1.00.70.50.350.250.18

0.35b0.70.50.350.250.18

（注：講清楚合理選用線寬組的重要性）

圖紙的圖框線、圖標(biāo)線的要求詳見P6表l-5o

二、各種線型的畫法

（對(duì)以下要求舉實(shí)例進(jìn)行講解）

Lb選定后，則同一張圖中，同類線型寬度應(yīng)保持一致。

2.虛線、點(diǎn)劃線、雙點(diǎn)劃線的線段長(zhǎng)度和間隔，同類線應(yīng)保持一致，且起止兩端應(yīng)為線

段，而不是點(diǎn)（一橫）。

3.點(diǎn)劃線、雙點(diǎn)劃線在較小圖形中繪制有困難時(shí)，可用細(xì)實(shí)線代替。當(dāng)點(diǎn)劃線作為軸線

或中心線時(shí)，應(yīng)超出圖形輪廓2?3mm。

4.虛線、點(diǎn)劃線自身相交或與其它圖線交接時(shí)，均應(yīng)為線段交接。當(dāng)虛線為實(shí)線的延長(zhǎng)

線時(shí)，應(yīng)留有間隔。

§1.5字體

這里的字體是指漢字、數(shù)字及符號(hào)，其高度尺寸系列為：L8,2.5,3.5,5,7,10,14,

20mm,而字高即為字體的字號(hào)，漢字的最小字號(hào)是3.5號(hào)。可以看出，字高按正的比率遞增。

工程圖樣中的漢字要求使用長(zhǎng)仿宋體，并應(yīng)采用國(guó)務(wù)院正式公布推行的《漢字簡(jiǎn)化方案》

中規(guī)定的簡(jiǎn)化字，其字高與字寬的比例為1：V2o

一、漢字書寫

漢字應(yīng)打格書寫，基本筆畫寫法如下：

漢字仿宋體色畫形式舉例

基本要領(lǐng)：

注意起筆運(yùn)筆收筆橫筆互平豎筆挺直

注意搭配結(jié)構(gòu)勻稱規(guī)定字號(hào)格內(nèi)書寫

選定字樣書寫端正書寫筆畫粗細(xì)一致

單字排列整齊清潔字組間隔字字均勻

二、數(shù)字及字母

數(shù)字及字母均可寫成直體或斜體（向右傾斜75°較常用）。一般字體筆畫寬度為字高的十

分之一（窄體字十四分之一，不常用）。

注意：

1.工程圖樣上書寫的漢字，不應(yīng)小于3.5號(hào)，數(shù)字及字母不應(yīng)小于2.5號(hào)。

2.當(dāng)阿拉伯?dāng)?shù)字、字母或羅馬數(shù)字同漢字并列書寫時(shí)，其字高應(yīng)比漢字小一號(hào)。

3.當(dāng)字母單獨(dú)用作代號(hào)或符號(hào)時(shí)，不使用I、Z、0三個(gè)字母，以免同阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、

0相混淆。

4.數(shù)字與字母在書寫時(shí)，無(wú)需一一打格，初期繪圖可用細(xì)實(shí)線打上兩條字高控制導(dǎo)線。

§1.6比例

比例——指圖形與實(shí)物相對(duì)應(yīng)的線性尺寸之比，如1：100,2：1等。1：100的含義就

是圖紙上1個(gè)單位代表實(shí)際的100個(gè)單位。國(guó)標(biāo)對(duì)比例的規(guī)定見教材P11。

比值大于1的為放大比例，比值小于1的為縮小比例。

若整張圖同一比例，可將其寫在標(biāo)題欄中。若一圖紙上各圖形比例不同，則應(yīng)將所用比

例注寫在圖形下方圖名的右側(cè)。

圖紙上標(biāo)注的數(shù)字均為物體的實(shí)際數(shù)字，與比例無(wú)關(guān)。

§1.7尺寸標(biāo)注

在工程圖中，除了按比例畫出物體的形狀外，還必須標(biāo)注各部分的實(shí)際尺寸，以便使用。

一個(gè)完整的尺寸由尺寸線、尺寸界線、尺寸起止符、尺寸數(shù)字等四部分組成。

一、尺寸線：

1、細(xì)實(shí)線

2、①尺寸線畫在兩尺寸界線之間，長(zhǎng)度不宜超出尺寸界線（新國(guó)標(biāo)）。應(yīng)與被標(biāo)注的長(zhǎng)

度方向平行。

②互相平行的尺寸線，應(yīng)從被注圖樣的輪廓線由近向遠(yuǎn)整齊排列，小尺寸在里，大尺

寸在外。

③距圖形輪廓線最近的一排尺寸線，它們之間的距離不宜小于10mm。平行排列的尺寸

線間距，宜為7—10mm。同一張圖紙上，間距大小應(yīng)保持一致。

3、輪廓線、軸線、中心線、尺寸界線及它們的延長(zhǎng)線，一律不準(zhǔn)用來(lái)作尺寸線。

二、尺寸界線：

用細(xì)實(shí)線繪制。

由圖形輪廓線，軸線或中心線處引出，但引出端應(yīng)留有2mm以上間隔，另一端超出尺寸

線2~3mm。一般與被注長(zhǎng)度垂直。

標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的幾種特殊情況：

1.必要時(shí)，圖樣輪廓線、中心線可作尺寸界線。

2.標(biāo)注直徑、半徑的尺寸界線，由圓弧輪廓線代替。

3.尺寸界線與被注長(zhǎng)度不垂直時(shí)的畫法。

4.標(biāo)注角度的尺寸界線沿徑向引出。

5.標(biāo)注弧度時(shí)的尺寸界線畫法。

6.標(biāo)注軸測(cè)圖尺寸時(shí)，尺寸界線平行于相應(yīng)的軸測(cè)軸。

三、尺寸起止符號(hào)：

尺寸線與尺寸界線的相交點(diǎn)是尺寸的起止點(diǎn)。在起止點(diǎn)上必須畫出尺寸起止符號(hào)。國(guó)標(biāo)

規(guī)定有三種型式：(1)45°中粗斜短線；⑵尺寸箭頭；⑶小圓點(diǎn)。

1、在建筑圖中，圖樣上的線性尺寸常用45°角中粗斜短線，其線型為中粗，傾斜方向與

尺寸界線成順時(shí)針45°角，長(zhǎng)度為2-3mm,兩端伸出長(zhǎng)度各為一半。圖1T9(a)。

2、在機(jī)械圖中，必須用箭頭表示。在土建圖中，標(biāo)注直徑、半徑、角度、弧長(zhǎng)等，起止

符用箭頭表示。圖1-19(b)0

--------------

I

(4-5)b

b—粗實(shí)線線寬

圖2

3、當(dāng)相鄰尺寸界線間隔很小時(shí)，起止符采用小圓點(diǎn)。在軸測(cè)圖上，規(guī)定線性尺寸起止符

用小圓點(diǎn)表示。圖1-19(c)o

中七1.4b

圖3

四、尺寸數(shù)字：

(采用3.5號(hào)字注寫。)

一般標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，見書P14。

注意：

1、寫數(shù)字前先在尺寸線上方或左方打好字高的上下稿線，字底的下稿線距尺寸線0.5mm。

2、標(biāo)注水平尺寸時(shí)，無(wú)論是在圖形上方或下方，數(shù)字均應(yīng)注在尺寸線上方，字頭向上。

3、標(biāo)注豎直尺寸時(shí)，無(wú)論是在圖形右側(cè)或左側(cè)，數(shù)字均應(yīng)注在尺寸線左側(cè)，字頭向左。

五、尺寸的排列：

見書P15。圖1-23、圖l-24o

六、半徑、直徑、球及角度、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)的尺寸標(biāo)注。

a）半徑、直徑、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、角度等的注法舉例b）直徑的另一種注

半徑、直徑、球的尺寸注法

第二章制圖的基本技能

主要內(nèi)容繪圖工具與儀器、幾何作圖、繪圖方法

教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生基本繪圖技能

學(xué)時(shí)分配3學(xué)時(shí)(其中學(xué)生課內(nèi)繪圖2學(xué)時(shí))

重點(diǎn)與難點(diǎn)平面圖形尺寸分析、繪圖方法

教學(xué)方式普通教學(xué)。

教學(xué)手段

學(xué)生容易出現(xiàn)的定型、定位、總體尺寸的區(qū)別與聯(lián)系

問(wèn)題繪制第一張圖時(shí)的布圖

P10?P12所有習(xí)題

作業(yè)及思考題

繪圖T01基本練習(xí)(A3)

其它說(shuō)明因在普通教室上課，故將此講課與下一講對(duì)調(diào)

§2.1繪圖儀器、工具及其使用方法

圖板、丁字尺、三角板、圖板、比例尺、擦圖片、曲線板、圓規(guī)、分規(guī)、點(diǎn)圓規(guī)、鴨嘴

筆、接長(zhǎng)桿等繪圖儀器和工具的使用。

重點(diǎn)關(guān)注比例尺和鉛筆：

比例尺——把實(shí)際尺寸，按比例縮小或放大。

比例尺上刻有不同的比例，可直接在圖紙上量取物體的實(shí)際尺寸。

常用比例尺有：

百分比例尺：1:100、1:200、1:250、1:300,1:400、1:500。

千分比例尺：1:1000、1:1250、1:1500,1:2000、1:2500、1:5000。

比例尺上刻注數(shù)字單位為米。

應(yīng)注意：比例尺只能用來(lái)量度尺寸，不能用來(lái)畫線。

鉛筆

B——軟。H-硬。常用3H、2H、HB、Bo

削鉛筆時(shí)，保留符號(hào)。削成錐形或鏟形。

鉛芯露出6-8mm。其余25-30mm。

使用鉛筆時(shí)，用力要均勻，長(zhǎng)線應(yīng)一邊畫一邊旋轉(zhuǎn)鉛筆。

圖4

§2.2幾何作圖

（作簡(jiǎn)要提示，安排自學(xué)）

一、幾種基本作圖

（-）平行線。

（_）垂直線。

（三）平分線段。

（四）等分線段。

（五）分線段成定比。

（六）線段的斜度和錐度。

二、多邊形

三、圓弧連接

直線與圓弧或圓弧與圓弧的*涉連接——相切。連接點(diǎn)就是切點(diǎn)。

1.直線與圓弧連接。

2.直線與兩圓弧連接。

3.圓弧與兩直線連接。

4.圓弧與直線及圓弧連接。

5.圓弧與兩圓弧連接。

§2.3平面圖形的尺寸分析及圖畫步驟

一、尺寸分析

按作用分：定形、定位尺寸。由于各幾何圖形和線段間的相對(duì)位置關(guān)系，在標(biāo)尺寸時(shí)，須引入尺寸基準(zhǔn)。

（一）尺寸基準(zhǔn)

尺寸基準(zhǔn)是標(biāo)注尺寸的出發(fā)點(diǎn)，常用的基準(zhǔn)是對(duì)稱圖形的中心線，較大圖的軸線，較長(zhǎng)的水平或豎直

線。

（二）定形尺寸

定形尺寸——確定形狀和大小的尺寸。

（三）定位尺寸

定位尺寸——確定相對(duì)位置的尺寸。

二、線段分析

（-）已知線段

定形定位尺寸已知。

（二）中間線段

定形尺寸已知，定位尺寸只知一個(gè)方向。

（三）連接線段

只知定形尺寸。

三、繪圖步驟、方法

（簡(jiǎn)單講解，自學(xué)）

§2.4繪圖的方法和步驟

（自學(xué)）

一、用儀器畫圖

1.繪圖前的準(zhǔn)備工作：

⑴、牢記國(guó)標(biāo)。了解所繪圖樣的內(nèi)容和要求。

⑵、準(zhǔn)備好繪圖所用的所有儀器、工具。

⑶、固定圖紙。

2.畫底稿：

⑴、用2H鉛筆畫底稿。先畫圖框、標(biāo)題欄，定出比例，再根據(jù)圖形及尺寸標(biāo)注所需范圍，

自行布置，使各個(gè)圖形勻稱，布置在圖幅內(nèi)。

⑵、先畫圖形的對(duì)稱軸線，中心線和主要圖線，再畫各個(gè)細(xì)部，最后畫尺寸界線和尺寸

線。將圖中應(yīng)寫的字先輕輕打出格子。（底稿上的虛線、點(diǎn)劃線段及間隔長(zhǎng)度要合乎標(biāo)準(zhǔn)。）

⑶、底稿畫完后，檢查，擦去不必要的線條。

3.描深：

（圖紙上墊上干凈的稿紙，保持圖紙干凈。）

用HB或B鉛筆，對(duì)細(xì)實(shí)線、點(diǎn)劃線用H或2H。

加深次序?yàn)椋合惹笾薄⑾葘?shí)后虛、先粗后細(xì)。

加深完后再寫數(shù)字和文字。

二、描圖和復(fù)制

描圖筆、描圖紙，描圖順序與鉛筆描深的順序相同。（蘭圖）

三、徒手作圖

實(shí)際工作中，如選擇或配置視圖，建筑或機(jī)械上的局部修改或修理，調(diào)研中收集資料等。

往往需徒手作圖。（基本技能。）

徒手作圖（畫草圖）。特點(diǎn)：圖紙不必固定，目測(cè)實(shí)物，遵從投影關(guān)系。

效果：圖紙盡量符合標(biāo)準(zhǔn)，比例恰當(dāng)，完整清晰。

要畫好草圖：掌握技巧，勤學(xué)苦練。

技巧:P22-P23o

第三章投影理論及點(diǎn)的投影

點(diǎn)在二面、三面投影體系中的投影

主要內(nèi)容

投影變換概念及點(diǎn)的投影變換

教學(xué)目的掌握投影規(guī)律

學(xué)時(shí)分配2學(xué)時(shí)

重點(diǎn)：點(diǎn)在三面投影體系中的投影

重點(diǎn)與難點(diǎn)

難點(diǎn)：點(diǎn)在四個(gè)分角中的投影

教學(xué)方式多媒體教學(xué)。

教學(xué)手段

1.對(duì)特殊點(diǎn)，如：0Y軸上的點(diǎn)、水平投影面上的點(diǎn)、冊(cè)立

學(xué)生容易出現(xiàn)的

投影面上的點(diǎn)，其側(cè)投影應(yīng)在OYH上，還是在OYw上。

問(wèn)題

2.換面法中坐標(biāo)關(guān)系。

P151-P153所有習(xí)題

作業(yè)及思考題

其它說(shuō)明

§3.1投影(projection)概念

在日常生活中，常見到投影的現(xiàn)象。例如，在電燈與桌面間放一塊三角板，則在桌面上

會(huì)出現(xiàn)三角板的影子。在陽(yáng)光的照射下，地面上會(huì)出現(xiàn)人、樹，以及各種建筑物的影子。這

些現(xiàn)象就是投影的現(xiàn)象。

投影中心(centerofprojection)------點(diǎn)光源S。

投射線(投影線)——投下影子的光線。從投影中心發(fā)出的射線。

投影面(projectionplane)------獲得投影的平面。

投影(projection)——通過(guò)投射線將物體投射到投影面上所得到的圖形。

投影法(projectionmethod)——由投影中心或投射線把物體投射到投影面上，從而得出

其投影的方法。

投影法有中心投影(centralprojection)和平行投影(paralellprojection)兩種。

一、中心投影法:

投影線在有限遠(yuǎn)處相交于一點(diǎn)（投影中心）的投影法稱為中心投影法。所得投影稱為中

心投影。

如人的視覺、照相、放電影等，具有中心投影的性質(zhì)。主要應(yīng)用于繪制建筑物富有逼真

感的立體圖，也稱透視圖。

二、平行投影法

投影線在有限遠(yuǎn)處相交于一點(diǎn)（投影中心）的投影法稱為平行投影法。所得投影稱為平

行投影。

［正投影法——投射線，投影面。

平行投影法1

斜投影法——投射線傾斜于投影面。

（a）斜投影法（b）斜投影法

平行投影法

工程制圖中多采用平行投影法，尤其是正投影法。

三、平行投影的基本特性

1）同素性

一般情況下點(diǎn)的投影仍為點(diǎn)，線段的投影仍為線段。

2）從屬性

點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)的投影一定在該線段的同面投影上。點(diǎn)M在線段AB上，那么點(diǎn)M的投

影m也一定在線段AB的投影ab上。

3）平行性

空間兩直線平行,其同面投影亦平行?？臻g直線AB〃CD,其投影ab〃cd。

4）定比性

點(diǎn)分線段之比，投影后保持不變。即AM：MB=am：mb,上圖所示。

空間兩平行線之比，等于其投影之比。

5）積聚性

當(dāng)直線或平面平行于投影方向時(shí)，則直線的投影積聚為點(diǎn)，平面的投影積聚為直線，稱

積聚性。

6）實(shí)形性（度量性或可量性）

當(dāng)直線或平面平行于投影面時(shí)，則直線的投影反映實(shí)長(zhǎng)，平面的投影反映實(shí)形。

7）類似性

直線或平面圖形傾斜于投影面時(shí)，直線的投影變短了；而平面圖形變成小于原圖形的類

似形，稱類似性。

平行投影的積聚性平行投影的實(shí)形性平行投影的類似性

四、工程上常用的幾種投影圖

1.多面正投影圖：

優(yōu)點(diǎn)：作圖方便，便于度量，應(yīng)用最廣。

缺點(diǎn)：直觀性不強(qiáng)，缺乏投影知識(shí)的人不易看懂。

2.軸測(cè)投影圖：

平行投影的利。只需一個(gè)投影面，同時(shí)反映空間形體的三維。

優(yōu)點(diǎn)：直觀性強(qiáng)。在一定條件下也能直接度量。

缺點(diǎn)：繪制較費(fèi)時(shí)。表示物體形狀不完全。一般作正投影圖的輔助圖樣。

3.透視投影圖：

優(yōu)點(diǎn)：圖形十分逼真。

缺點(diǎn)：不能度量，繪制復(fù)雜。

4.標(biāo)高投影圖：

正投影的一種。主要用來(lái)表示地形。

采用地面等高線的水平投影，并在上面標(biāo)注出高度的圖示法。

§3.2點(diǎn)的二面投影（two-planeprojectionofpoint）

一、二面投影體系的建立及點(diǎn)的二面投影

點(diǎn)是形體最基本的元素。在兒何學(xué)中無(wú)大小、薄厚、寬窄，只占有位置。空間點(diǎn)用大寫

字母表示，投影點(diǎn)用小寫字母表示。

設(shè)立一個(gè)投影面P,則Al、A2、A3點(diǎn)在投影面P上的正投影是唯一的。但反過(guò)來(lái)，

若知道了點(diǎn)的一個(gè)投影，卻不能確定點(diǎn)的空間位置（缺少一個(gè)坐標(biāo)）。因此要確定一個(gè)點(diǎn)的空

間位置，只有一個(gè)投影是不夠的。

現(xiàn)設(shè)立兩個(gè)互相垂直的投影面正立投影面V（也稱正面或V面）、水平投影面H（也稱水

平面或H面），從而構(gòu)成二投影面體系。V面和H面的交線0X稱為投影軸。

A點(diǎn)的在V面上的投影稱為A點(diǎn)的正面投影或A點(diǎn)的正投影、A點(diǎn)的V投影，用a，表示。

A點(diǎn)的在H面上的投影稱為A點(diǎn)的水平投影或A點(diǎn)的H投影，用a表示。

我們需要把這種空間關(guān)系在一種圖紙上（一個(gè)平面上）表達(dá)出來(lái)。保持V面不動(dòng)，H面

繞0X軸向下旋轉(zhuǎn)90°直至與V面重合，從而得到點(diǎn)的二面投影圖。為簡(jiǎn)便起見，投影圖中投

影面的邊框不必畫出。

在點(diǎn)的二面投影體系中，X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均能體現(xiàn)，故點(diǎn)的二面投影就唯一確立了點(diǎn)

在空間的相對(duì)位置（相對(duì)二面投影體系）。

X------------------------------o

圖4

容易得出點(diǎn)在二面投影體系中的投影規(guī)律：

1?點(diǎn)的兩投影的連線，投影軸。證明。

2.投影點(diǎn)到投影軸的距離，反映該空間點(diǎn)到另一投影面的距離。

二、點(diǎn)在四個(gè)象角中的投影

平面本身是可以無(wú)限延長(zhǎng)的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它們把空間

分為四個(gè)部分——四個(gè)象限或象角。分別用I、II、III、IV標(biāo)記。

畫投影圖時(shí)仍然保持V面不動(dòng)，前H面向下旋轉(zhuǎn)與下V重合，后H面向上旋轉(zhuǎn)與上V重

合，只畫0X軸，不必注投影面標(biāo)記，也不用畫邊框。

B

1.在四個(gè)象角內(nèi)的點(diǎn)。

(1)A點(diǎn)在I象角內(nèi)。其正面投影a'在OX軸上方，水平投影a在OX軸下方。

（2）B點(diǎn)在n象角內(nèi)。H面之上，V面之后。正投影b'在OX軸上方，水平投影b也

在0X軸上方。

（3）C點(diǎn)在第III象角內(nèi)。其正投影c'在0X下方，水平投影c在0X上方。

（4）D點(diǎn)在IV象角內(nèi)。其二投影d、d，都在0X軸上方。

2.在投影面上、投影軸上的點(diǎn)。

3.綜上所述，從投影圖中點(diǎn)的投影與0X軸的相對(duì)位置，可判斷空間點(diǎn)在投影面體系中所

處位置，反之亦然。

（1）在投影圖中，點(diǎn)的水平投影位于0X軸下方，則該點(diǎn)必位于V面之前；反之則在V

面之后。

（2）點(diǎn)的正面投影位于0X軸上方，則該點(diǎn)必位于H面之上；反之則在H面之下。

（3）若點(diǎn)有一個(gè)投影位于0X軸上，則該點(diǎn)必在投影面上。

§3.3三投影面體系及點(diǎn)的三投影

由兩投影面體系，能否唯一確定形體的形狀和大小呢？不一定！

舉例如下：如圖，根據(jù)這一V-H兩面投影可同時(shí)做出立方體、三棱柱和四分之一圓柱等。

因此需設(shè)立三投影面體系。

、三投影面體系：

設(shè)立一個(gè)同時(shí)垂直于H面和V面的第三投影面W面——側(cè)立投影面（也稱側(cè)面或W面）。

H面與W面交于0丫軸。V與W交于0Z投影軸。三投影軸交點(diǎn)為原點(diǎn)，以0標(biāo)記。

與兩投影面體系一樣，在三投影面體系中，投影面展開時(shí)，保持V面不動(dòng)，假想將0Y軸

剪開，H面繞0X軸向下旋轉(zhuǎn)與V面重合，W面繞0Z軸向右旋轉(zhuǎn)與V面重合。而0Y軸展開后

分為兩條，在H面上的標(biāo)為0丫“，在W面上的標(biāo)為0%。

Z

X0Yw

YH

二、點(diǎn)的三投影：

將A點(diǎn)向W面投影，其投影稱為A點(diǎn)的側(cè)面投影或側(cè)投影、W投影，用a”標(biāo)記。

點(diǎn)在三面投影體系中，投影規(guī)律不變。

(1)點(diǎn)的投影連線，投影軸。

(2)投影點(diǎn)到投影軸之距=空間點(diǎn)到另■?個(gè)投影面之距。

注：“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等?！?/p>

三、由點(diǎn)的兩個(gè)投影作第三個(gè)投影

已知點(diǎn)A的兩投影a、a，,作出其第三投影a”

已知點(diǎn)的正面投影和其側(cè)面投影，求其水平投影

已知點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影，求作正面投影

四、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

zz

XA=aay=aaz=axO=Aa',是空間點(diǎn)A到W面的距離。

/z

YA=aax=a'az=ayO=Aa,是空間點(diǎn)A到V面的距離。

z/

ZA=a/ax=aay=azO=Aa,是空間點(diǎn)A到H面的距離。

Y

例3已知空間點(diǎn)D的坐標(biāo)(20,15,10)，試作其投影圖。

五、特殊位置點(diǎn)的投影

舉例---講解。

§3.4兩點(diǎn)的相對(duì)位置

一、一般情況

空間兩個(gè)點(diǎn)具有前后、左右、上下位置關(guān)系。

二、特殊情況

重影點(diǎn)：當(dāng)空間兩點(diǎn)的連線，某個(gè)投影面時(shí)，它們?cè)谠撁嫔系耐队爸睾稀?/p>

由于重影，有可見與不可見問(wèn)題，不可見用（）將投影括起來(lái)。

注意:重影點(diǎn)是相對(duì)于投影面而言的

例1：已知點(diǎn)4的兩投影。和"，以及點(diǎn)8在點(diǎn)/的右方10mm、上方8mm、前方6mm,

試確定點(diǎn)B的投影。

4'。

之X0

10

a

例2:已知A、B、C、D的投影圖，判斷其相對(duì)位置

§3.5投影變換（projectiontransformation）概述及點(diǎn)的投影變換

一、概述

投影變換就是通過(guò)改變空間兒何元素對(duì)投影面的相對(duì)位置，從而簡(jiǎn)化求解問(wèn)題的?種方

法。

1、投影變換的方法

（1）旋轉(zhuǎn)法——投影體系不動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)空間幾何要素。

（2）換面法——保持空間兒何要素位置不動(dòng)，設(shè)立新的投影面代替舊的投影面，使新

投影面處于有利于解題的位置,求出新投影的方法。

本課程僅介紹換面法。

2、建立新投影面的原則

①新設(shè)立投影面必須，保留投影面，以組成新的正投影面體系，利用正投影規(guī)律作圖。

②新投影面對(duì)兒何元素必須處于有利于圖解的位置。如平行或垂直等。

3、投影面的展開

二、點(diǎn)的換面

在Vi/H中，A(aJ,a)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，所以將VI展開與H面共面，a】'a，O|X|

且a1'-*O|Xi=A-*H=a'-*OX=ZASP

<1)新投影和保留投影的連線垂直于新軸；

〈2〉新投影到新軸的距離等于被代替的舊投影到舊軸的距離。

舉例講解點(diǎn)的一次、二次、三次換面。

第四章直線的投影

一般位置線、特殊位置線的投影、兩直線的相對(duì)位置

主要內(nèi)容

直角三角形法、換面法

學(xué)時(shí)分配4學(xué)時(shí)

重點(diǎn)：直角三角形法、換面法、

重點(diǎn)與難點(diǎn)

難點(diǎn)：垂直問(wèn)題

教學(xué)方式多媒體教學(xué)與普通教學(xué)相結(jié)合。

教學(xué)手段

學(xué)生容易出現(xiàn)的直線對(duì)投影面的傾角的真正含義；

問(wèn)題把長(zhǎng)度的投影規(guī)律應(yīng)用在角度的投影上

P155-P158所有習(xí)題

作業(yè)及思考題

其它說(shuō)明

§4.1直線的投影(projectionofline)

直線的投影一般情況下仍為直線。

兩點(diǎn)決定一條直線，確定了直線上兩點(diǎn)的投影也就確定了直線的投影。即直線上兩點(diǎn)的

同面投影的連線就是直線的投影。

§4.2一般位置線

一、投影特性

一般位置線——與三個(gè)投影面既不垂直也不平行的直線。

不具有積聚性和度量性，而且各個(gè)投影與投影軸的夾角不能反映直線對(duì)投影面的傾

角a、0、Yo

對(duì)于一般位置線，我們主要解決其實(shí)長(zhǎng)和傾角。所采用的方法有兩種：直角三角形

法、換面法。

二、直角三角形法

直角三角形中四個(gè)要素：知二求二

例1、已知ab、a',且a=30°,求a'b'。

例2、已知E(e,e')，求作直線EF實(shí)長(zhǎng)為30mm且F點(diǎn)在Z軸上

例3、已知AB兩點(diǎn)，在H面上求作一點(diǎn)C,使得aAc=30°,aBC=45°?

§4.3特殊位置線

一、投影面平行線(parellelline)

水平線(horizontalline)

a=0,B=實(shí)長(zhǎng)投影與OX軸的夾角、丫=實(shí)長(zhǎng)投影與OYH的夾角。

正平線(frontalline)

。=實(shí)長(zhǎng)投影與OX軸的夾角，B=0、Y=實(shí)長(zhǎng)投影與OZ的夾角。

側(cè)平線(profileline)

a=實(shí)長(zhǎng)投影與OYw軸的夾角，6=實(shí)長(zhǎng)投影與OZ的夾角、Y=0o

二、投影面垂直線(perpendicularline)

正垂線(horizontal-profileline)

XYw

鉛垂線(verticalline)

a=0°,8=0°,Y=90°o

§4.4直線上的點(diǎn)

一、直線上的點(diǎn)（從屬性、定比性）

求做直線上的點(diǎn)：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。

判斷：對(duì)于一般位置線，點(diǎn)的投影在直線的同名投影上，則點(diǎn)在直線上。對(duì)于特殊位置

線，視給定的投影，還需應(yīng)用定比性。如：給出正面與水平投影的側(cè)平線、給出正面、側(cè)面

投影的水平線、給出水平、側(cè)面投影的正平線等。

定比分點(diǎn)：做法。

例1、已知側(cè)平線AB的兩投影和直線上S點(diǎn)的正面投影s，，求其水平投影s.

例2、已知直線AB的水平投影ab和A點(diǎn)的正面投影a',且AB=20mm,試求直線AB的正面投

影a'b'；在直線AB上取一點(diǎn)C,使AC=15mm,求C點(diǎn)的兩投影。

§4.5兩直線的相對(duì)位置

平行（parallel）、相交(intersection)>交叉(skew)

1.兩直線平行

Q，0?一T

-1

求做：兩直線平行，其同名投影均平行

判斷：對(duì)一般位置線，兩直線同名投影都平行，則兩直線平行。特殊位置線還需

應(yīng)用定比法或作第三投影。

應(yīng)用：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)求作直線平行于已知直線

（2）根據(jù)兩直線投影判斷它們?cè)诳臻g是否平行?

例4、給定兩條側(cè)平線的正面投影和水平投影，判斷之

2.兩直線相交

兩直線相交，其同名投影必相交，且投影的交點(diǎn)正是空間同一點(diǎn)的投影（即符合點(diǎn)的投

影規(guī)律）。判斷時(shí)，若其中--條線為特殊位置線，視情況還需應(yīng)用定比法或作第三投影。

例5如圖，A3為一般位置直線、8為側(cè)平線，試判別這兩條直線是否相交？

3.兩直線交叉

重影點(diǎn)的確定與判別。

4.相交、交叉的特殊情況—垂直

直角定理：二直線垂直相交（或交叉），其中有一條直線為投影面平行線，則二直線在所

平行的投影面上的投影仍垂直。

直角定理逆定理：二直線之一為某投影面平行線，且二直線在該投影面上的投影垂直，

則空間兩直線垂直。

下列直線互相垂直:

例6已知矩形的邊N8為水平線，試完成圖中矩形的兩面投影。

例7求作交叉二直線（其中之一為垂直線）的公垂線。

例8完成等腰直角三角形Z8C的兩面投影（直角邊BC在水平線MN上）。

§4.6直線的換面（詳細(xì)講解直線的一次、二次、三次換面。）

1.把一般位置直線變換為投影面的平行線

可以求出直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角。

求直線的實(shí)長(zhǎng)利傾角B

2.把投影面平行線變換為投影面垂直線

主要解決于直線有關(guān)的度量問(wèn)題（兩直線間的距離）和定位問(wèn)題（求線血交點(diǎn)）。

3.直線的二次換面

把?般位置直線變換成投影面的垂直線，只經(jīng)過(guò)一次換面是不能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榇怪庇谝话阄恢弥本€的平

面是?般位置平面，它與原來(lái)的兩個(gè)投影面均不垂直，不能構(gòu)成正投影體系，所以必須經(jīng)過(guò)兩次換面。第

一次，將一般位置直線變換為新投影體系中的投影面平行線；第二次，將投影面平行線變換成另一投影體

系中的投影面垂直線。

圖

§4.7直線的跡點(diǎn)

直線與投影面的交點(diǎn)稱為直線的跡點(diǎn)。

M水平跡點(diǎn)

N------正面跡點(diǎn)

S——側(cè)面跡點(diǎn)

特性：1,跡點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，跡點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。

2,跡點(diǎn)是投影面上的點(diǎn)，故跡點(diǎn)的一個(gè)投影必在投影軸上。

因此：直線的投影和投影軸的交點(diǎn)就是直線相應(yīng)跡點(diǎn)的一個(gè)投影，另一投影可根據(jù)直線

上的點(diǎn)的投影規(guī)律作出。

第五章平面的投影

平面的投影、平面上的點(diǎn)和線

主要內(nèi)容

最大斜度線、平面的換面

學(xué)時(shí)分配4學(xué)時(shí)

重點(diǎn)：最大斜度線、換面法、

重點(diǎn)與難點(diǎn)

難點(diǎn)：最大斜度線

教學(xué)方式多媒體教學(xué)與普通教學(xué)相結(jié)合。

教學(xué)手段

學(xué)生容易出現(xiàn)的不能正確理解最大斜度線的真正含義；

問(wèn)題

P159-P162所有習(xí)題

作業(yè)及思考題

其它說(shuō)明

§5.1平面的表示

1.用平面的幾何元素的投影表示

2、一點(diǎn)一直線——AB、C

3、相交二直線——AB、AC

4、平行二直線——AB與CD

5、平面圖形ABC

2.用跡線(trace)來(lái)表示平面

(1)跡線的概念

水平跡線---PH(horizontaltrace)

正面跡線---Pv(frontaltrace)

側(cè)面跡線---Pw(profiletrace)

(2)跡線的投影特點(diǎn)和畫法

跡線是投影面內(nèi)的直線。

畫法：只畫出與跡線本身重合的那個(gè)投影，并加以標(biāo)記，其余兩投影在相應(yīng)的投影軸上,

不畫出并省略標(biāo)記。

§5.2平面對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特征

一般位置面

與三投影面均傾斜a、B、丫，a-一坡度，三面投影具有類似性。

垂直于某一個(gè)投影面，分鉛垂面(verticalplane)^正垂面(horizontal-profileplane)>側(cè)

垂面(frontalhorizontalplane),反映a、8、yo積聚投影可用跡線PH或P”表示。

平行于某一個(gè)投影面(必然垂直于另外兩個(gè)投影面)，分水平面(horizontalplane)、正平

面(frontalplane)>側(cè)平面(profileplane)。

4

§5.3平面上的點(diǎn)和線

一、平面上的點(diǎn)和線

點(diǎn)在面上，點(diǎn)在面內(nèi)的線上。反之亦然。

直線在平面上，直線過(guò)面內(nèi)二已知點(diǎn)或過(guò)面內(nèi)一點(diǎn)且平行于面內(nèi)一直線。反之亦然。

例1△ABC,EdAB,FdAC,則EFd平面ABC?

例2CD〃EF,則CDW平面ABC?--------點(diǎn)一方向

例3給定M(m,m'),AABC,判斷MS平面ABC?

例4給定AABC和k',且KG平面ABC,求k

例5補(bǔ)全平面圖形的正面投影。

例6給定aABC,在其上作一條水平線且距H面20mm。

二、過(guò)點(diǎn)、過(guò)線作平面

1.過(guò)點(diǎn)作面

1）過(guò)已知點(diǎn)作一個(gè)水平面

2）過(guò)已知點(diǎn)作一個(gè)正垂面且a=30°

2.過(guò)線作面

例7AB是水平線，過(guò)AB作水平面P,作鉛垂面Q

例8CD是鉛垂線，過(guò)CD作鉛垂面R且丫=45°

三、平面內(nèi)的投影面平行線

§5.4最大斜度線法求平面的傾角

給定平面內(nèi)垂直于該平面內(nèi)投影面平行線的直線稱為該平面的最大斜度線。其中，垂直

于水平線的直線稱為對(duì)〃面的最大斜度線，垂直于正平線的直線稱為對(duì)憶面的最大斜度線，

垂直于側(cè)平線的直線稱為對(duì)沙面的最大斜度線。對(duì)〃面的最大斜度線也稱最大坡度線（一小

球在平面上的自由滾動(dòng)路線）。

1、空間分析：

2、作圖要點(diǎn)：1）在平面內(nèi)作某投影面的平行線

2）過(guò)面內(nèi)任一點(diǎn)在面內(nèi)作平行線的垂線

3）該垂線即為該投影面的最大斜度線

4）求該最大斜度線對(duì)該投影面的傾角=平面的傾角

2、投影圖上完成過(guò)程

討論：1）一條最大斜度線能求出a、B、

2）最大斜度線給定，平面確定否？

例9已知直線EF是某一平面對(duì)H面的最

線，求該平面的B

§5.5平面的換面

一、將一般位置平面變換為投影面垂直面

空間分析：如果將平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面就變換成了新投影面的垂直面。

投影作圖：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影

面的垂直面。

例已知?般位置平面4%的兩投影，試求該平面對(duì)〃面的傾角。。

解欲求一般位置平面44B。對(duì)〃面的傾角a,應(yīng)當(dāng)保留〃面，用匕面替換片面，建立V./H新投影體系，

是平面成為新投影面％的垂直面。

求平面ABC的a角

二、把投影面垂直面變換為投影面平行面

試求鉛垂面//5C的實(shí)形。

三、平面的三次換面

。2

第六章直線、平面的相對(duì)位置關(guān)系

直線與平面、平面與平面的平行、相交、垂直

主要內(nèi)容

點(diǎn)、線、面綜合問(wèn)題

學(xué)時(shí)分配4學(xué)時(shí)

重點(diǎn)：換面法求解

重點(diǎn)與難點(diǎn)

難點(diǎn)：綜合問(wèn)題空間分析

教學(xué)方式多媒體教學(xué)與普通教學(xué)相結(jié)合。

教學(xué)手段

學(xué)生容易出現(xiàn)的垂直問(wèn)題

問(wèn)題

P163、P164、P167、P169

作業(yè)及思考題

其它說(shuō)明

§6.1平行關(guān)系

1.直線與平面平行

幾何條件：如果平面外的一直線和這個(gè)平面上的任一直線平行，則此直線平行于該平面，反之亦然。

?作一直線與平面平行（圖6-1）

?判定線面平行（圖6-2）

圖6-3圖6-4

例1過(guò)點(diǎn)K作一水平線，使之平行于AABC（圖6-3）

例2過(guò)點(diǎn)K作一鉛垂面（用跡線表示），使之平行于直線AB（圖6-4）

2.平面與平面平行

幾何條件：如果一平面上的兩條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直線，則此兩平面平行。

?作兩平面平行（圖6-6）

?判定兩平面平行（圖6-7）

圖6-5

(圖6-7)

§6.2相交關(guān)系

?線面相交——求交點(diǎn)，判斷可見性（交點(diǎn)是可見與不可見的分界點(diǎn)）

?面面相交——求交線，判斷可見性（交線是可見與不可見的分界線）

一、利用積聚性求交點(diǎn)、交線

例1試求直線AB與平面P的交點(diǎn)（圖6—8）

(a)(b)

圖6—8

例2試求直線EF與AABC的交點(diǎn)(圖6—9a、圖6—先)

作圖步驟(1)過(guò)k在aabc上作輔助線ado

(2)作ad的正面投影a'd'。

(3)求交點(diǎn)的正面投影k'。

(4)判斷可見性。

圖6—9b

例3試求平面ABC與平面P的交線（圖6—10a、圖6—10b、圖6—lOc）

圖5—9a圖5—9b

圖5—9c

例4試求平面ABC與平面DEF的交線(圖6—11)

（圖6—11）

二、利用輔助平面法求交點(diǎn)、交線

當(dāng)直線、平面均為一般位置時(shí)，其交點(diǎn)、交線不能直接求出，須通過(guò)輔助平面法求解。

1.用輔助平面法求交點(diǎn)

作圖步驟（圖6-12）

（1）過(guò)已知宜線做一輔助平面，如平面P（為便于作圖，常用特殊位置平面）；

（2）求出輔助平面與已知平面的輔助交線，如直線CD;

（3）求出輔助交線與已知直線的交點(diǎn)，如K點(diǎn)，即為所求交點(diǎn)。

圖6-12

例1試求直線AB與平面EFG的交點(diǎn)（圖6—13）。

圖6—13

例2求出直線AB與平面CDEF（CD//EF）的交點(diǎn)（圖6—14）。

D

X0

圖6—14

2.用輔助平面法求交線

例3試求平面ABC與平面DEF的交點(diǎn)（圖6—15）。

例4求出AB與平面CDEF的交點(diǎn)（圖6—16）。

§6.3垂直關(guān)系

一、直線與平面垂直

幾何條件：如果一直線垂直于平面上的兩條相交直線，則此直線垂直于該平面。

反之，如果一直線垂直于一平面，則此直線垂直于該平面上的一切直線。

平面上的水平線和正平線為兩條相交直線，這樣，我們可以利用直角投影原理作一直線垂直于一平面,

或判定一直線是否垂直一平面。

過(guò)點(diǎn)A作平面與直線AD垂直（圖6-17）；過(guò)點(diǎn)C作平面ABC的垂線CD（圖6—18）o

圖6—18

例1試求點(diǎn)K到4ABC平面的距離（圖6—19）

作圖步驟作垂線f求交點(diǎn)（垂足）f完成距離投影f求實(shí)長(zhǎng)

圖6-19

例2試過(guò)A點(diǎn)作一條直線，使其與直線BC垂直相交（圖6—20）

分析：過(guò)A點(diǎn)與直線BC垂直的線有無(wú)數(shù)條，形成軌跡（集合），這個(gè)軌跡就是過(guò)點(diǎn)A與BC垂直的

平面。所求直線必在此平面內(nèi)，就是該平面與直線BC的交點(diǎn)和點(diǎn)A