廣東省東莞市2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省東莞市2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不相等的非零實數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．2．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．363．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．4．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標準方程為（）A． B． C． D．5．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．6．復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則等于（）A． B． C． D．7．為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種8．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．9．已知集合，，則()A． B． C． D．10．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．411．若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．12．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點到準線的距離為．14．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．15．設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則_________16．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.18．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．19．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動點在點右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動點，滿足，求直線的斜率范圍.20．（12分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知奇函數(shù)的定義域為，且當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項的和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數(shù)，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.2、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.3、B【解析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.4、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標準方程為：y2＝2x．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道容易題.10、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項.【詳解】已知對于命題，由得，所以命題為假命題；關(guān)于命題，函數(shù)，當時，，當即時，取等號，當時，函數(shù)沒有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個數(shù)為1個.故選：A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運用基本不等式時，滿足所需的條件，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.12、D【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質(zhì)．14、【解析】

設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯(lián)立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式，考查了學(xué)生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.15、1【解析】

令，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，令，可得，所以.故答案為：1.【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進而可得.【詳解】當r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當時，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由題意得到關(guān)于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，由當時，有極大值，則，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，則，令，即，解得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)取得極小值，極小值為.當時，有極大值3.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程，進一步利用點到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系．【詳解】直線為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為．圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為，轉(zhuǎn)換為標準形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、（1）1；（2）【解析】

（1）根據(jù)點到焦點的距離為2，利用拋物線的定義得，再根據(jù)點在拋物線上有，列方程組求解，（2）設(shè)，根據(jù)，再由，求得，當，即時，直線斜率不存在；當時，，令，利用導(dǎo)數(shù)求解，【詳解】（1）因為點到焦點的距離為2，即點到準線的距離為2，得，又，解得，所以拋物線方程為（2）設(shè)，由由，則當，即時，直線斜率不存在；當時，令，所以在上分別遞減則【點睛】本題主要考查拋物線定義及方程的應(yīng)用，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題，20、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點的橫坐標，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設(shè)與交點的橫坐標為，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.試題解析：（1）對求導(dǎo)得．設(shè)直線與曲線切于點，則，解得，所以的值為1．（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號，對函數(shù)求導(dǎo)得．當時，恒成立．當時，，從而．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當變化時，變化情況列表如下：

3

0

極小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②當時，，當時，在上恒成立，綜合①②知，當時，函數(shù)為增函數(shù)．故實數(shù)的取值范圍是考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中，和切線有關(guān)的題目非常多，我們只要把握住關(guān)鍵點：一個是切點，一個是斜率，切點即在原來函數(shù)圖象上，也在切線上；斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點，列方程組，就能解決.本題第二問我們采用分層推進的策略，先求得的表達式，然后再求得的表達式，我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個工具來求的取值范圍了.21、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式，進而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，故；當時，，，則；故.（2）令，解得，畫出