《數(shù)學(xué)（第8版 上冊(cè)）》 課件 第4章 三角函數(shù)

三角函數(shù)第4章123目錄4.1角的概念的推廣4.2任意角的三角比4.3三角比的誘導(dǎo)公式4.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4.5正弦型函數(shù)124學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解任意角的概念，會(huì)在直角坐標(biāo)系中作任意角.2.理解弧度制是用實(shí)數(shù)表示角的一種制度，會(huì)進(jìn)行角度與弧度的換算.3.會(huì)用三角比的定義和同角三角比的關(guān)系來(lái)求已知角的正弦、余弦和正切的值；會(huì)用計(jì)算器求任意角的三角比的值.4.會(huì)利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角比的值化為銳角的三角比的值.5.會(huì)用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它們的性質(zhì)；會(huì)用描點(diǎn)法作正切函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它的性質(zhì).6.能通過(guò)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，并能用其解釋一些自然現(xiàn)象.1254.1角的概念的推廣126實(shí)例考察（1）如圖a所示，公園里的摩天輪，選定一個(gè)機(jī)械臂的起始位置作為始邊，如果機(jī)械臂從這個(gè)起始位置旋轉(zhuǎn)一周，就說(shuō)它轉(zhuǎn)過(guò)了360°，那么當(dāng)它轉(zhuǎn)過(guò)一周半或者轉(zhuǎn)過(guò)兩周時(shí)，它轉(zhuǎn)過(guò)了多少度呢？（2）如圖b所示，如果時(shí)鐘快了2h，應(yīng)該如何校準(zhǔn)？

校準(zhǔn)過(guò)程中分針相對(duì)起始位置轉(zhuǎn)過(guò)了多少度？

如果時(shí)鐘慢了2h呢？1274.1.1角的概念的推廣我們規(guī)定：

按上述規(guī)定，我們就把角的概念推廣到了任意角.128例如，摩天輪的機(jī)械臂轉(zhuǎn)過(guò)一周半轉(zhuǎn)了540°，轉(zhuǎn)過(guò)兩周轉(zhuǎn)了720°；時(shí)針快2h，分針校準(zhǔn)時(shí)旋轉(zhuǎn)-720°，慢2h，分針校準(zhǔn)時(shí)旋轉(zhuǎn)720°.為了能準(zhǔn)確地表示一個(gè)角，我們?cè)诋?huà)角的時(shí)候，不僅要表示出旋轉(zhuǎn)方向，而且要把形成這個(gè)角的旋轉(zhuǎn)過(guò)程表示出來(lái).例如，在下圖中，正角α=600°，負(fù)角β=-60°.1294.1.2象限角與終邊相同的角為了方便，我們常把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行討論.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O

為角的頂點(diǎn)，讓角的始邊與x

軸的正半軸重合，這時(shí)角的終邊落在坐標(biāo)系中的第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果一個(gè)角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.例如，在下圖中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角與-180°角不是象限角.130131

在0°~360°范圍內(nèi)，各象限角的范圍如圖所示.132

在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出30°，390°，750°，-330°角，如圖所示.133

從上圖可以看出，390°，750°，-330°角的終邊都與30°角的終邊相同.我們把它們稱(chēng)為與30°角終邊相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°.134135這樣我們可以得到與30°角終邊相同的角（含30°角在內(nèi)）的一般表達(dá)式β=30°+k·360°，k∈Z.4.1.3弧度制在初中，我們把圓周分成360等份，每一份稱(chēng)為1度的弧，1度的弧所對(duì)的圓心角稱(chēng)為1度（1°）的角.我們還知道1°=60'，1'=60″.這種度量角的單位制稱(chēng)為角度制.在數(shù)學(xué)和工程實(shí)際中還常用另一種度量角的單位制———弧度制.我們規(guī)定：136如圖所示，AB

弧的長(zhǎng)度等于圓O

的半徑r，則AB

弧所對(duì)的圓心角為1rad的角.根據(jù)以上規(guī)定，在半徑為r的圓中，長(zhǎng)度為l的圓弧所對(duì)的圓心角α的大小是rad，即由于圓周的長(zhǎng)度是2πr，在弧度制下它所對(duì)的圓心角的大小是因?yàn)閳A周角用角度表示為360°，所以可得出360°=2πrad.137由此可得到度與弧度的換算公式：角的弧度數(shù)用實(shí)數(shù)表示，而且，任何一個(gè)角的弧度數(shù)必定是唯一確定的實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)也都可以看作是一個(gè)弧度數(shù)，它對(duì)應(yīng)唯一確定的一個(gè)角.因此，角（弧度制表示）的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖所示.1384.2任意角的三角比139實(shí)例考察在上一節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們推廣了角的概念，并介紹了在直角坐標(biāo)系中研究角的方法，這種方法是否也能使銳角三角比的概念推廣到任意角的三角比呢？下面我們來(lái)考察在直角坐標(biāo)系中的銳角三角比.在直角三角形中

如圖所示，在直角三角形OPM

中，∠M

是直角.銳角α的對(duì)邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，則有140在直角坐標(biāo)系中

如圖所示，在銳角α的終邊上任取一點(diǎn)P（原點(diǎn)除外)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為

M，這樣就得到了直角三角形OPM.設(shè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)為

(x，y)，則角α的對(duì)邊MP

的長(zhǎng)是y，鄰邊OM

的長(zhǎng)是x，斜邊OP的長(zhǎng)是r.其中r=(r>0).由此，得到1414.2.1任意角的三角比在直角坐標(biāo)系中，銳角三角比可以用其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義.這種方法同樣適用于定義任意角的三角比.如圖所示，在任意角α的終邊上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（x，y），OP=r，則142我們這樣定義三角比：如圖所示，由相似三角形的性質(zhì)，可知比值（x≠0）只依賴(lài)于角α的大小，與點(diǎn)P

在角α的終邊上的位置無(wú)關(guān).必須指出，當(dāng)α=+kπ（k∈Z）時(shí)，點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)x=0，此時(shí)tanα沒(méi)有意義.除此以外，對(duì)于每一個(gè)確定的角α，三個(gè)三角比都有意義.143下面給出了一些特殊角的三角比的值，記住它們對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題會(huì)有很大幫助.1444.2.2三角比值的符號(hào)我們知道，角α的終邊上點(diǎn)P

坐標(biāo)值的符號(hào)決定了角α的三角比值的符號(hào)，各三角比值在各個(gè)象限的符號(hào)列表如下：145如圖所示，角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），r=OP=1.由三角比的定義，得146根據(jù)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的符號(hào)，可以確定當(dāng)角α的終邊在不同的象限時(shí)sinα，cosα與tanα的符號(hào)，如圖所示.1474.2.3利用計(jì)算器求已知角三角比的值利用計(jì)算器求已知角三角比的值時(shí)，角的大小、正負(fù)可以是任意的；角的單位可以是度，也可以是弧度.因此，在計(jì)算三角比值之前，必須先使用

鍵，把計(jì)算器調(diào)到相應(yīng)的狀態(tài).1484.2.4同角三角比的基本關(guān)系一般地，如圖所示，設(shè)P（x，y）是角α的終邊與單位圓O

的交點(diǎn)，則丨OP丨=1，sinα=y，cosα=x.因?yàn)樨璒P丨=r=，所以sin2α+cos2α=x2+y2=1.

當(dāng)α≠+kπ（k∈Z）時(shí)，由三角比的定義可得149

于是，得出同角三角比的基本關(guān)系：借助同角三角比的基本關(guān)系和三角比的定義，當(dāng)我們知道一個(gè)角的某個(gè)三角比的值時(shí)，就可求出這個(gè)角的其他的三角比的值.另外，還可以利用它們來(lái)化簡(jiǎn)同角的三角式.1504.3三角比的誘導(dǎo)公式151實(shí)例考察角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).如圖所示，在角α的終邊上取一點(diǎn)P，使OP=1，設(shè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P'（x，-y）必在角-α的終邊上，那么-α的三角比和α的三角比之間有什么聯(lián)系？

三角比的誘導(dǎo)公式可以幫你解密.152

對(duì)于任意角α，在直角坐標(biāo)系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的終邊與角α的終邊有著特殊的關(guān)系.我們可以用幾個(gè)公式表達(dá)上述關(guān)系.這些公式稱(chēng)為誘導(dǎo)公式.4.3.1有關(guān)α+2kπ（k∈Z）的誘導(dǎo)公式我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角α+2kπ（k∈Z）與角α的終邊相同.根據(jù)三角比的定義，它們的同名三角比的值相等，即

利用公式一，我們能將任意角的三角比化為[0，2π）內(nèi)的角的三角比.1534.3.2有關(guān)-α

的誘導(dǎo)公式在角α的終邊上取一點(diǎn)P，使OP=1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P'（x，-y）必在角-α

的終邊上，且OP'=1.因?yàn)閞=1，所以154由此，得到有關(guān)-α的誘導(dǎo)公式：利用公式二，我們能將任意負(fù)角的三角比轉(zhuǎn)化為正角的三角比.由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα.155

由此，得到2π-α的誘導(dǎo)公式：1564.3.3有關(guān)π±α

的誘導(dǎo)公式如圖所示，把任意角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π弧度，就得到了角π+α的終邊.從下圖中可以看出，角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).在角α的終邊上取一點(diǎn)P，使OP=1，設(shè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P'（-x，-y）必在角π+α的終邊上，且OP'=1.所以157由此，得到有關(guān)π+α的誘導(dǎo)公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα.158由此，得到有關(guān)π-α的誘導(dǎo)公式：159利用三角比的誘導(dǎo)公式將任意角的三角比化為銳角三角比，一般可按下面步驟進(jìn)行：1604.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1614.4.1正弦函數(shù)y=sinx

的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx

的圖像先用描點(diǎn)法畫(huà)出y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計(jì)算器計(jì)算表中的正弦函數(shù)值（精確到0.01），并填入表中.162描點(diǎn)：以表中對(duì)應(yīng)x，y

值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描點(diǎn).連線：將所描各點(diǎn)順次用光滑曲線連接起來(lái)，即完成所畫(huà)的圖像.如上圖b所示為用計(jì)算機(jī)軟件繪制的正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請(qǐng)照此核對(duì)你畫(huà)的圖像.163正弦函數(shù)的定義域是R，因此我們需要將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向兩邊擴(kuò)展.現(xiàn)在，我們?cè)倮谩懊椟c(diǎn)法”在同一坐標(biāo)系中繼續(xù)畫(huà)出正弦函數(shù)

y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像（即下圖中y軸左側(cè)的曲線）.164從上圖可以看到，正弦函數(shù)在區(qū)間[-2π，0]和[0，2π]上的圖像形狀完全相同，只是位置不同.因此，y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像，可以看作是把y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左平移2π個(gè)單位得到的.事實(shí)上，由于終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.正弦函數(shù)y=sinx

在區(qū)間…，[-6π，-4π]，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…上的圖像，都與它在區(qū)間[0，2π]上的圖像形狀完全一樣，只是位置不同.我們把正弦函數(shù)y=sinx

在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個(gè)單位，就能得到正弦函數(shù)

y=sinx（x∈R）的圖像.165我們把正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像稱(chēng)為正弦曲線.由y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個(gè)點(diǎn)在確定圖像形狀時(shí)起著關(guān)鍵作用：這五個(gè)點(diǎn)描出后，正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像形狀就基本上確定了.今后，當(dāng)對(duì)精確度要求不高時(shí)，我們只需描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用光滑的曲線順次連接它們就可得到正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖像.像這樣畫(huà)正弦函數(shù)圖像的方法稱(chēng)為五點(diǎn)法作圖.166正弦函數(shù)y=sinx

的性質(zhì)（1）定義域：正弦函數(shù)y=sinx的定義域是R.（2）值域：正弦函數(shù)y=sinx的值域是[-1，1].通過(guò)分析正弦函數(shù)的圖像可知：當(dāng)x=+2kπ（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)y=sinx

取得最大值1，即

ymax=1；當(dāng)

x=+2kπ（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)y=sinx取得最小值-1，即ymax=-1.（3）周期性：一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x）.那么，函數(shù)f（x）就稱(chēng)為周期函數(shù).非零常數(shù)T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期.167我們知道，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有sin（2kπ+x）=sinx（k∈Z），所以正弦函數(shù)y=sinx

是一個(gè)周期函數(shù)，并且…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…都是它的周期.我們把所有周期中最小的正數(shù)2π稱(chēng)為正弦函數(shù)y=sinx

的最小正周期.今后，如果不特別說(shuō)明，函數(shù)的周期均指最小正周期.因此，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，周期T=2π.函數(shù)的周期性在圖像上的反映是同一形狀的圖形重復(fù)出現(xiàn).因此，周期函數(shù)一般只要畫(huà)一個(gè)周期的圖像就可以了.（4）奇偶性：因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù).168（5）單調(diào)性：觀察正弦曲線在一個(gè)周期

上的圖像：當(dāng)x由

增大到

時(shí)，曲線逐漸上升，函數(shù)y=sinx的值由-1增大到1；當(dāng)x

由

增大到

時(shí)，曲線逐漸下降，函數(shù)y=sinx的值由1減小到-1.因此，正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間

上單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減.（6）與x軸的交點(diǎn)：當(dāng)x=kπ（k∈Z）時(shí)，y=sinx=0.因此，正弦函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=kπ（k∈Z）.1694.4.2余弦函數(shù)y=cosx

的圖像與性質(zhì)余弦函數(shù)y=cosx

的圖像

先用描點(diǎn)法畫(huà)出y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計(jì)算器計(jì)算表中的余弦函數(shù)值，并填入表中（精確到0.01）.描點(diǎn)：以表中對(duì)應(yīng)x，y

值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描點(diǎn).170連線：將所描各點(diǎn)順次用光滑曲線連接起來(lái)，即完成所畫(huà)圖像.如上圖b所示為用計(jì)算機(jī)軟件繪制的余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請(qǐng)照此核對(duì)你畫(huà)的圖像.171因?yàn)橛嘞液瘮?shù)y=cosx的定義域是R，而且終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos（2kπ+x）=cosx，k∈Z.所以，與畫(huà)正弦函數(shù)的圖像類(lèi)似，我們同樣可以把余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個(gè)單位，從而得到余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像.172余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像稱(chēng)為余弦曲線.由y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個(gè)點(diǎn)在確定圖像形狀時(shí)起著關(guān)鍵作用：因此，y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像也能用五點(diǎn)法畫(huà)出.173余弦函數(shù)y=cosx

的性質(zhì)

（1）定義域：余弦函數(shù)y=cosx的定義域是R.（2）值域：余弦函數(shù)y=cosx的值域是[-1，1].同時(shí)，通過(guò)分析余弦函數(shù)的圖像可知：當(dāng)x=2kπ（k∈Z）時(shí)，余弦函數(shù)y=cosx

取得最大值1，即ymax=1；當(dāng)x=（2k+1）π（k∈Z）時(shí)，余弦函數(shù)y=cosx取得最小值-1，即ymin=-1.（3）周期性：從余弦曲線可以看出，余弦函數(shù)具有周期性，因此，余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)，周期T=2π.（4）奇偶性：余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).174（5）單調(diào)性：觀察余弦曲線在一個(gè)周期[0，2π]上的圖像，當(dāng)x由0增大到π時(shí)，曲線逐漸下降，函數(shù)y=cosx的值由1減小到-1；當(dāng)x由π增大到2π時(shí)，曲線逐漸上升，函數(shù)y=cosx的值由-1增大到1.因此，余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[π，2π]上單調(diào)遞增.（6）與x軸的交點(diǎn)：當(dāng)x=kπ+（k∈Z）時(shí)，y=cosx=0，因此，余弦函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1754.4.3正切函數(shù)y=tanx

的圖像與性質(zhì)正切函數(shù)y=tanx

的圖像用描點(diǎn)法畫(huà)出正切函數(shù)

y=tanx

在區(qū)間

上的圖像.列表：用計(jì)算器計(jì)算表中的正切函數(shù)值（精確到0.01），并填入表中.176

描點(diǎn)：以表中對(duì)應(yīng)x，y值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描點(diǎn).177連線：將所描各點(diǎn)順次用光滑曲線連接起來(lái)，即完成所畫(huà)的圖像.如上圖b所示為用計(jì)算機(jī)軟件繪制的正切函數(shù)在區(qū)間

上的圖像.請(qǐng)照此核對(duì)你畫(huà)的圖像.

觀察上圖，我們發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)

y=tanx

在區(qū)間

上的圖像和在區(qū)間

上的圖像完全相同，只是位置不同.因此，y=tanx在區(qū)間

上的圖像，可以看作是把y=tanx在區(qū)間

上的圖像向右平移π個(gè)單位得到的.178事實(shí)上，由于tan（kπ+x）=tanx（x∈Z），因此，我們只要把正切函數(shù)y=tanx在x∈上的圖像向左、右分別平移π，2π，3π，…個(gè)單位，就能得到正切函數(shù)的圖像，即正切曲線，如圖所示.179正切函數(shù)y=tanx

的性質(zhì)

（1）定義域：正切函數(shù)y=tanx的定義域是（2）值域：由正切曲線可知，函數(shù)y=tanx的值域?yàn)?/p>