備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題11概率統(tǒng)計(jì)含解析

易錯(cuò)點(diǎn)11概率統(tǒng)計(jì)—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題【典例分析】例1（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生寵愛(ài)足球或游泳，60%的學(xué)生寵愛(ài)足球，82%的學(xué)生寵愛(ài)游泳，則該中學(xué)既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C.46% D.42%【答案】C【解析】【分析】記“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，則“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球或游泳”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，然后依據(jù)積事務(wù)的概率公式可得結(jié)果.【詳解】記“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，則“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球或游泳”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，則，，，所以所以該中學(xué)既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了積事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.例2（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）為加強(qiáng)環(huán)境愛(ài)護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710（1）估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中濃度不超過(guò)，且濃度不超過(guò)”的概率；（2）依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）依據(jù)（2）中的列聯(lián)表，推斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0.0500.0100.00138416.63510.828【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）有.【解析】【分析】（1）依據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）依據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計(jì)算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計(jì)641680101020合計(jì)7426100（3）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因?yàn)橐罁?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)1．重復(fù)計(jì)算或漏算導(dǎo)致錯(cuò)誤【例1】4名考生在三道選做題中任選一道進(jìn)行做答，則這三道題都有人選做的概率為()A． B． C． D．【錯(cuò)解一】4名考生任選一題，有種選法。每題都有人做，則先讓3個(gè)人每人做一題，共種方法，再讓第4個(gè)人從三個(gè)題目中選一個(gè)即種，共種選法。所求概率為，選C【錯(cuò)解二】4名考生任選一題，有種選法。每題都有人做，則先從4人中選3人，每人做一題，共種，再讓剩下的一人從三個(gè)題種選一個(gè)即種，共種。所求概率為，無(wú)答案?！惧e(cuò)因】第一種做法在計(jì)算的過(guò)程漏掉了“先選的三個(gè)人也可以有兩個(gè)人同時(shí)做同一個(gè)題”這種狀況；其次種做法在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算．【正解】4個(gè)人做三道題目，每題至少一人，則必有一個(gè)題目有兩個(gè)人做，因此要先將四個(gè)人分成三組，然后再排列，方法數(shù)為，所求概率為．選A易錯(cuò)點(diǎn)2．超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆【例2】為了解今年某校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員學(xué)生的體重狀況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前組的頻率之比為，其中其次組的頻數(shù)為．（1）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；（2）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)表示體重超過(guò)公斤的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【錯(cuò)解】由題知，體重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，隨機(jī)變量聽(tīng)從超幾何分布，全部可能的取值為0,1,2,3，則,,則【錯(cuò)因】（1）對(duì)隨機(jī)變量的含義不清晰，不能區(qū)分超幾何分布與二項(xiàng)分布；（2）對(duì)于何時(shí)可以樣本的頻率代替總體的概率不清晰；【糾錯(cuò)提示】（1）超幾何分布的本質(zhì)是“不放回抽樣”，是一種古典概型，而二項(xiàng)分布的隨機(jī)試驗(yàn)是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”，強(qiáng)調(diào)每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同，可認(rèn)為是“有放回抽樣”．本題中，“若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中（人數(shù)很多）任選三人”，特殊強(qiáng)調(diào)人數(shù)很多，意味著試驗(yàn)可以看做是“有放回抽樣”，所以是一個(gè)二項(xiàng)分布；（2）本題明確要求“以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)”，其意思是：用頻率來(lái)代替概率，即16個(gè)人中每個(gè)人的體重超過(guò)60公斤的概率是，也是說(shuō)，全省每個(gè)學(xué)生的體重超過(guò)60公斤的概率為．【正解】（1）設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為,前三小組的頻率分別為，則由條件可得：，解得，又因?yàn)椋剩桑?）可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60公斤的概率為，故聽(tīng)從二項(xiàng)分布，∴隨機(jī)變量的分布列為：0123則，或．易錯(cuò)點(diǎn)3．幾何概型與古典概型混淆【例3】心理學(xué)家分析發(fā)覺(jué)視覺(jué)和空間實(shí)力與訓(xùn)練時(shí)間有關(guān)，某數(shù)學(xué)愛(ài)好小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，進(jìn)行了對(duì)比試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．【錯(cuò)解】設(shè)事務(wù)為“乙比甲先做完此道題”，由題意知，甲完成該題所用的時(shí)間可以是5,6,7分鐘，共3種狀況，乙可以是6,7,8分鐘，共3種狀況，所以，一共有個(gè)基本時(shí)間。其中甲用7分鐘，乙用6分鐘時(shí)，事務(wù)發(fā)生。則【錯(cuò)因】誤認(rèn)為時(shí)間是離散度的，將其看成了一個(gè)古典概型【糾錯(cuò)提示】時(shí)間是一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量，在求解時(shí)應(yīng)建立幾何概率模型．【正解】（1）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為分鐘，則基本領(lǐng)件滿意的區(qū)域?yàn)?如圖所示)，設(shè)事務(wù)為“乙比甲先做完此道題”則滿意的區(qū)域?yàn)椋嘤蓭缀胃判?，即乙比甲先解答完的概率為．易錯(cuò)點(diǎn)4．遺忘回來(lái)直線過(guò)樣本中心致錯(cuò)平均氣溫（°C）181310－1用電量（度）25353763【例4】某單位為了了解用電量（度）與當(dāng)天平均氣溫（°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的當(dāng)天平均氣溫與用電量（如右表）．由數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法得線性回來(lái)方程，則___．【錯(cuò)解】將點(diǎn)帶入，得，所以【錯(cuò)因】不理解回來(lái)直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，隨意帶入數(shù)據(jù)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．【糾錯(cuò)提示】求出樣本的中心點(diǎn)，代入回來(lái)方程，即可求得．【正解】解析：，，樣本中心為，回來(lái)直線經(jīng)過(guò)樣本中心，所以．易錯(cuò)點(diǎn)5．對(duì)正態(tài)分布的性質(zhì)及意義不熟識(shí)致錯(cuò)【例5】設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，若，則．【錯(cuò)解】由，所以，得【錯(cuò)因】（1）對(duì)正態(tài)分布中的的意義不清；（2）對(duì)正態(tài)分布的性質(zhì)及意義不熟識(shí)．【糾錯(cuò)提示】由題意與關(guān)于對(duì)稱，，解得．【正解】由，由正態(tài)分布的性質(zhì)知，與關(guān)于對(duì)稱，，解得【變式練習(xí)】1．“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別名.如圖是折扇的示意圖，為的中點(diǎn)，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自扇面（扇環(huán)）部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，圓心角為，則整個(gè)折扇的面積為，扇面的面積為，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記此點(diǎn)取自扇面（扇環(huán)）部分為事務(wù)，則依據(jù)幾何概型的概率公式得故選：2．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）11分制乒乓球競(jìng)賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競(jìng)賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競(jìng)賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束．（1）求P（X＝2）；（2）求事務(wù)“X＝4且甲獲勝”的概率．【解答】解：（1）設(shè)雙方10：10平后的第k個(gè)球甲獲勝為事務(wù)Ak（k＝1，2，3，…），則P（X＝2）＝P（A1A2）+P（A1＝P（A1）P（A2）+P（A1）P（A＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲獲勝）＝P（A1A2A3A4）+P（A＝P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（A2）P（A3）P（A＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．3．（2024?天津）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23．假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響，且任一同學(xué)每天到校狀況（Ⅰ）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)M為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．【解答】解：（I）甲上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為23故X～B（3，23從而P（X＝k）=C3k所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P1272949827隨機(jī)變量X的期望E（X）＝3×2（II）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y，則Y～B（3，23且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由題意知{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}與{Y＝1}，{X＝2}與{Y＝0}相互獨(dú)立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）=4．2024年國(guó)慶節(jié)假期期間，某商場(chǎng)為駕馭假期期間顧客購(gòu)買商品人次，統(tǒng)計(jì)了10月1日7：00﹣23：00這一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買商品人次，統(tǒng)計(jì)發(fā)覺(jué)這一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買商品共5000人次顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段7：00?11：00，11：00?15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求該天顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的中位數(shù)t與平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）由頻率分布直方圖可以近似認(rèn)為國(guó)慶節(jié)假期期間該商場(chǎng)顧客購(gòu)買商品時(shí)刻聽(tīng)從正態(tài)分布N（μ，δ2），其中μ近似為x，δ＝3.6，估計(jì)2024年國(guó)慶節(jié)假期期間（10月1日﹣10月7日）該商場(chǎng)顧客在12：12﹣19：24之間購(gòu)買商品的總?cè)舜危ńY(jié)果保留整數(shù)）；（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場(chǎng)依據(jù)題中的4個(gè)時(shí)間段分組，采納分層抽樣的方法從這5000個(gè)樣本中隨機(jī)抽取10個(gè)樣本（假設(shè)這10個(gè)樣本為10個(gè)不同顧客）作為幸運(yùn)客戶，再?gòu)倪@10個(gè)幸運(yùn)客戶中隨機(jī)抽取4人每人嘉獎(jiǎng)500元購(gòu)物券，其他幸運(yùn)客戶每人嘉獎(jiǎng)200元購(gòu)物券，記獲得500元購(gòu)物券的4人中在15：00﹣19：00之間購(gòu)買商品的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)：若T～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．【解答】解：（1）依據(jù)題意，中位數(shù)t∈（15，19），由4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，得t＝16，x=（2）由題意可得，商場(chǎng)顧客購(gòu)買商品時(shí)刻聽(tīng)從正態(tài)分布N（15.8，3.62），μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，所以2024年國(guó)慶節(jié)假期期間，商場(chǎng)顧客在12：12﹣19：24之間購(gòu)買商品的概率為P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，所以人數(shù)為5000×0.6827×7≈23895；（3）依據(jù)題意X可能取值為0，1，2，3，4，P（X＝0）=C64C104=P（X＝2）=C62C42C104=37，X的分布列如下X01234P18341E（X）＝0×114+1×5．在貫徹中共中心、國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中，某單位在某市定點(diǎn)幫扶某村100戶貧困戶．為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對(duì)這100戶村民的年收入狀況、危舊房狀況、患病狀況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)x．將指標(biāo)x依據(jù)[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定若0≤x＜0.6，則認(rèn)定該戶為“肯定貧困戶”，否則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”；當(dāng)0≤x＜0.2時(shí)，認(rèn)定該戶為“亟待幫住戶”．工作組又對(duì)這100戶家庭的受教化水平進(jìn)行評(píng)測(cè)，家庭受教化水平記為“良好”與“不好”兩種．（1）完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為肯定貧困戶數(shù)與受教化水平不好有關(guān)：受教化水平良好受教化水平不好總計(jì)肯定貧困戶2相對(duì)貧困戶52總計(jì)100（2）上級(jí)部門為了調(diào)查這個(gè)村的特困戶分布狀況，在貧困指標(biāo)處于[0，0.4）的貧困戶中，隨機(jī)選取兩戶，用X表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（K2≥k0）0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024【解答】解：（1）由如圖所示的頻率分布直方圖可得0≤x＜0.6的概率p1＝（0.25+0.50+0.75）×0.2＝0.3，所以100戶家庭的“肯定貧困戶”由100×0.3＝30，由（1）的表可得“受教化水平不好”的由30﹣2＝28，由題意可得“相對(duì)貧困戶”由100﹣30＝70，由表可得“受教化水平良好的”有70﹣52＝18，所以表的值為下表：；因?yàn)閗2=100(2×52-18×28所以有95%的把握認(rèn)為肯定貧困戶數(shù)與受教化水平不好有關(guān)；（2）由題意可得100戶家庭中由“亟待幫住戶”有100×0.25×0.2＝5戶，[0，0.4）的貧困戶有：100×（0.25+0.5）×0.2＝15，由題意可得隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，p（x＝0）=C102?C50C152=37，所以X的分布列為：，所以數(shù)學(xué)期望EX＝0?37+1?106．近幾年一種新穎 水果深受廣闊消費(fèi)者的寵愛(ài)，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰慧才智，把這種露天種植的新穎 水果搬到了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益．依據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新穎 水果的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x13467y56.577.58y與x可用回來(lái)方程y^=b?lgx+（Ⅰ）若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新穎 水果的價(jià)格為150元/箱，試預(yù)料該新穎 水果100箱的利潤(rùn)是多少元．（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本）（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，10月份的連續(xù)16天中該農(nóng)戶每天為甲地可配送的該新穎 水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這16天的狀況來(lái)估計(jì)相應(yīng)的概率．一個(gè)運(yùn)輸戶擬購(gòu)置n輛小貨車特地運(yùn)輸該農(nóng)戶為甲地配送的該新穎 水果，一輛貨車每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該新穎 水果，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．試比較n＝3和n＝4時(shí)此項(xiàng)業(yè)務(wù)每天的利潤(rùn)平均值的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)與公式：設(shè)t＝lgx，則tyi=15i=150.546.81.530.45線性回來(lái)直線y^=b?lgx+【解答】解：（Ⅰ）依據(jù)題意，b?所以a?所以y?=3.4又t＝lgx，所以y?=3.4所以x＝10時(shí)，y?即該新穎 水果100箱的成本為8364元，故該新穎 水果100箱的利潤(rùn)15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）依據(jù)頻率分布直方圖，可知該農(nóng)戶每天可配送的該新穎 水果的箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)[40，80）[80，120）[120，160）[160，200]P1111設(shè)該運(yùn)輸戶購(gòu)3輛車和購(gòu)4輛車時(shí)每天的利潤(rùn)分別為Y1，Y2元．則Y1的可能取值為1500，800，100，其分布列為：Y11500800100P511故E（Y1）=5Y2的可能取值為2000，1300，600，﹣100，其分布列為：Y220001300600﹣100P1111故E（Y2）=1故$E（{Y}_{2}），即購(gòu)置3輛小貨車的利潤(rùn)平均值大于購(gòu)置4輛小貨車的利潤(rùn)平均值．7．郴州某超市安排按月訂購(gòu)一種飲料，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶6元，售價(jià)每瓶8元，未售出的飲料降價(jià)處理，以每瓶3元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)安排，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（Ⅰ）求六月份這種飲料一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（Ⅱ）設(shè)六月份一天銷售這種飲料的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種飲料一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解答】解：（Ⅰ）易知需求量X可取200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4則分布列為：X200300500P1225（Ⅱ）①當(dāng)n≤200時(shí)，Y＝n（8﹣6）＝2n，此時(shí)Ymax＝400，當(dāng)n＝200時(shí)取得．②當(dāng)200＜n≤300時(shí)，Y=45?2n+15[200×2+（此時(shí)Ymax＝500，當(dāng)n＝300時(shí)取到，③當(dāng)300＜n≤500時(shí)，Y=15[200×2+（n﹣200）?（﹣3）]+25[300×2+（n﹣300）?（﹣3）]此時(shí)Y＜500．④當(dāng)n≥500時(shí)，易知Y肯定小于③的狀況．綜上所述，當(dāng)n＝300時(shí)，Y取到最大值為500．【真題演練】1．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽試驗(yàn)，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回來(lái)方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來(lái)方程類型的是A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象旁邊，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回來(lái)方程類型的是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要視察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.2．【2024年高考全國(guó)II卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報(bào)名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數(shù)為，設(shè)須要志愿者x名，，,故須要志愿者名.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國(guó)III卷理數(shù)】在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4．【2024年高考山東】某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生寵愛(ài)足球或游泳，60%的學(xué)生寵愛(ài)足球，82%的學(xué)生寵愛(ài)游泳，則該中學(xué)既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【解析】記“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，則“該中學(xué)學(xué)生寵愛(ài)足球或游泳”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳”為事務(wù)，則，，，所以所以該中學(xué)既寵愛(ài)足球又寵愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了積事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.5．【2024年高考山東】信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)新定義“信息熵”的理解和運(yùn)用，考查分析、思索和解決問(wèn)題的實(shí)力，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.6．【2024年高考江蘇】已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是▲．【答案】2【解析】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．7．【2024年高考江蘇】將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】依據(jù)題意可得基本領(lǐng)件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本領(lǐng)件有，，，共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．8．【2024年高考天津】從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【解析】依據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用，屬于中等題.9.【2024年高考天津】已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_(kāi)________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_(kāi)________．【答案】【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，以及利用對(duì)立事務(wù)求概率，屬于基礎(chǔ)題.10．【2024年高考浙江】盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______，_______．【答案】，【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事務(wù)為第一次拿紅球或第一次拿綠球，其次次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、互斥事務(wù)概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.11．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；競(jìng)賽前抽簽確定首先競(jìng)賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)競(jìng)賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)競(jìng)賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人接著競(jìng)賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競(jìng)賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先競(jìng)賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)競(jìng)賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【解析】（1）甲連勝四場(chǎng)的概率為．（2）依據(jù)賽制，至少須要進(jìn)行四場(chǎng)競(jìng)賽，至多須要進(jìn)行五場(chǎng)競(jìng)賽．競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種狀況：甲連勝四場(chǎng)的概率為；乙連勝四場(chǎng)的概率為；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為．所以須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率為．（3）丙最終獲勝，有兩種狀況：競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為．競(jìng)賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從其次場(chǎng)起先的四場(chǎng)競(jìng)賽依據(jù)丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種狀況：勝輸贏勝，輸贏空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，，．因此丙最終獲勝的概率為．12．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更精確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【解析】（1）由已知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12000．（2）樣本的相關(guān)系數(shù)．（3）分層抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更精確的估計(jì)．13．【2024年高考全國(guó)III卷理數(shù)】某學(xué)生愛(ài)好小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園熬煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：熬煉人次熬煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表，推斷是否有