山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五講直線平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)案含解析

PAGE1-第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一直線與平面垂直(1)直線與平面垂直①定義：若直線l與平面α內(nèi)的__隨意__一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．②判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條__相交__直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)．即：a?α，__b?α__，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α．③性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線__平行__.即：a⊥α，b⊥α?__a∥b__．(2)直線與平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的__銳角__，叫做這條斜線和這個平面所成的角．若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為__0__，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為eq\f(π,2)．②線面角θ的范圍：θ∈[0，eq\f(π,2)]．學(xué)問點(diǎn)二平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線動身的__兩個半平面__所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上隨意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱__垂直__的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．(2)平面與平面垂直①定義：兩個平面相交，假如它們所成的二面角是__直二面角__，就說這兩個平面相互垂直．②判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．即：a?α，a⊥β?__α⊥β__．③性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于__交線__的直線與另一個平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?__a⊥β__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中錯誤的是(ABC)A．直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直，則l⊥αB．垂直于同一個平面的兩平面平行C．若α⊥β，a⊥β，則a∥αD．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直題組二走進(jìn)教材2．(多選題)(必修2P73T1)下列命題中正確的是(ABC)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β[解析]對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的．題組三考題再現(xiàn)3．(2024·課標(biāo)全國Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC[解析]∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故選C．4．(多選題)(2024·山東濰坊月結(jié)學(xué)情考試)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是(AD)A．PB⊥AE B．平面ABC⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAE D．∠PDA＝45°[解析]對于A，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故A正確．對于B，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不行能垂直，故B不正確．對于C，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點(diǎn)，從而BC與平面PAE有公共點(diǎn)，所以直線BC與平面PAE不平行，故C不正確．對于D，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故D正確．綜上A、D正確．5．(2024·中原名校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中肯定能推出m⊥β的是(C)A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β[解析]對于選項(xiàng)A，α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β，故A不成立；對于選項(xiàng)B，α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對于選項(xiàng)C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對于選項(xiàng)D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立．故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動探究考點(diǎn)一空間垂直關(guān)系的基本問題——自主練透例1(1)(2024·山東濟(jì)寧期末)設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是(C)A．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β(2)(2024·陜西漢中質(zhì)檢一)已知l，m表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，l⊥α，m?β，則有下面四個命題：①若α∥β，則l⊥m，②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.其中全部正確的命題是(A)A．①③ B．①④C．②③ D．①②③④(3)(多選題)(2024·四川成都診斷改編)已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則下列說法錯誤的是(ABD)A．若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，則m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，則m⊥n[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1n⊥β,m∥n))?m⊥β,m∥α))?α⊥β.故選C．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2l⊥α,α∥β))?l⊥β,m?β))?l⊥m，①對；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,l⊥α))?m⊥α,m?β))?α⊥β，③對；由圖可知②④錯．故選A．(3)由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n相交，或m與n異面，故A錯誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯誤，故選A、B、D．名師點(diǎn)撥?解決空間中線面、面面垂直的問題有以下三種方法：(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論．(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長方體)作出推斷，或借助筆、紙、桌面進(jìn)行演示，留意能平移或旋轉(zhuǎn)的線，讓其動動再推斷．(3)否定命題時只需舉一個反例即可．〔變式訓(xùn)練1〕(2024·東北三省三校模擬)已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直線，則m⊥α的一個充分條是(C)A．m⊥n，n?α B．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥β D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n[解析]對于答案A：m⊥n，n?α，得出m與α是相交的或是垂直的，故A錯；答案B：m∥β，α⊥β，得出m與α是相交的、平行的都可，故B錯；答案C：n⊥α，n⊥β，得出α∥β，再m⊥β得出m⊥α，故C正確．考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究角度1線、面垂直的判定例2(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．[解析](1)因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3)．連接OB，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足為H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°．所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5)．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5)．角度2線、面垂直的性質(zhì)例3(2024·湖北武漢調(diào)研測試)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠DAB＝eq\f(π,3)，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝eq\f(\r(10),2)．(1)證明：PB⊥BC；(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．[解析](1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接PH，HB，BD．∵底面ABCD是邊長為1的菱形，∴AD＝AB＝1，∵∠DAB＝eq\f(π,3)，∴△ABD是等邊三角形．∴BH＝eq\f(\r(3),2)，BH⊥AD．∵PA＝PD，H為AD的中點(diǎn)，∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，∴AD⊥平面PHB，又PB?平面PHB，∴AD⊥PB，又AD∥BC，∴PB⊥BC．(2)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC．∴AD∥平面PBC．∴點(diǎn)A與點(diǎn)H到平面PBC的距離相等．由(1)知AD⊥平面PHB．∴BC⊥平面PHB，又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PHB．過點(diǎn)H作HM⊥PB于M．由平面PHB∩平面PBC＝PB，知HM的長即點(diǎn)H到平面PBC的距離．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH?平面PAD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，又BH?平面ABCD，∴PH⊥BH．PH＝eq\r(PA2－AH2)＝eq\f(3,2)，BH＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\r(PH2＋BH2)＝eq\r(3)，∴HM＝eq\f(PH·BH,PB)＝eq\f(\f(3,2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(3,4)．名師點(diǎn)撥?(1)解決直線、平面垂直問題的常用方法：①利用線面垂直的定義；②利用線面垂直的判定定理；③利用線面垂直的性質(zhì)；④利用面面垂直的判定定理；⑤利用面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·全國Ⅱ)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1①證明：BE⊥平面EB1C1②若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C(2)(角度2)(2024·新疆烏魯木齊診斷)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\r(2)，AB＝AA1＝2，E是棱CC1的中點(diǎn)．①求證：A1B⊥AE；②求點(diǎn)A1到平面ABE的距離．[解析](1)由已知得B1C1⊥平面ABB1ABE?平面ABB1A1，故B1C1⊥又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6．作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF所以，四棱錐E－BB1C1C的體積V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18．(2)①證明：如圖，取A1B的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵三棱柱ABC－A1B1C1∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB又∵E是CC1的中點(diǎn)，且A1C1＝BC∴A1E＝BE，∴A1B⊥EF．又∵AB＝AA1，∴A1B⊥AF．又AF∩EF＝F，∴A1B⊥平面AEF．又AE?平面AEF，∴A1B⊥AE．②V三棱錐A1－ABE＝V三棱錐B－A1AE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(2,3)，設(shè)A1到平面ABE的距離為h，則eq\f(1,3)S△ABE·h＝eq\f(2,3)，由已知得AE＝BE＝eq\r(3)，∴S△ABE＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，∴h＝eq\r(2)．即A1到平面ABE的距離為eq\r(2)．考點(diǎn)三空間兩個平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研例4(2024·河北省衡水中學(xué)模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1．(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3)，因?yàn)镻C＝2，BC＝1，PB＝eq\r(3)，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；因?yàn)椤螦BC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．(2)在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)E，如圖所示：由(1)知BC⊥平面PAB，因?yàn)锽C?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD，又PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，因?yàn)樵赗t△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2)；因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，所以四棱錐P－ABCD的體積為VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)．名師點(diǎn)撥?(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)在已知面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．(3)〔變式訓(xùn)練3〕(2024·湖北省武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分別為線段PC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．[解析](1)∵PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，∴PN⊥AD，∵底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD，∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB．(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r(3)，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，∵PM＝eq\f(1,2)PC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f(1,2)VC－PNB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(1,2)．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升立體幾何中的折疊問題例5(2024·全國統(tǒng)一診斷卷)在五邊形ABCDF中，E是邊DF上的點(diǎn)，AF∥BE∥CD，BC∥DF，BC⊥CD，AB＝BC＝eq\r(2)，AF＝EF＝1，BE＝CD＝2，如圖1，將四邊形AFEB沿BE折起，使平面AFEB⊥平面BCDE，將△BCD沿BD折起，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，重合的點(diǎn)記為M，如圖2．(1)連接EM，證明：平面BDM⊥平面DEM；(2)求點(diǎn)E到平面BDM的距離．[解析](1)證明：因?yàn)镋M＝eq\r(MF2＋EF2)＝eq\r(2)，MB＝eq\r(2)，BE＝2，所以EM2＋MB2＝BE2，所以MB⊥EM．又因?yàn)锽C⊥CD，即MB⊥MD，EM∩MD＝M，EM?平面DEM，MD?平面DEM，所以MB⊥平面DEM．因?yàn)镸B?平面BDM，所以平面BDM⊥平面DEM．(2)易知∠BED＝90°，所以S△BED＝eq\f(1,2)BE·ED＝eq\r(2)．又MF∥BE，BE?平面BED，MF?平面BED，所以MF∥平面BED．因?yàn)槠矫鍮EFM⊥平面BED，平面BEFM∩平面BED＝BE，EF⊥BE，所以EF⊥平面BED，所以EF是三棱錐M－BED的高．所以VM－BED＝eq\f(1,3)S△BED·EF＝eq\f(\r(2),3)．又易知△BMD是直角三角形，S△BMD＝eq\f(1,2)BM·MD＝eq\r(2)．設(shè)點(diǎn)E到平面BDM的距離為h，則VE－BDM＝eq\f(1,3)×eq\r(2)h，因?yàn)閂M－BED＝VE－BDM，所以eq\f(\r(2),3)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)h，得h＝1，即點(diǎn)E到平面BDM的距離為1．名師點(diǎn)撥?證明折疊問題中的平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生改變．對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于改變的關(guān)系則要在立體圖形中解決．〔變式訓(xùn)練4〕(2024·湖北八市聯(lián)考)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且