統(tǒng)計(jì)概率（解答題10種考法）（解析版）

統(tǒng)計(jì)概率（解答題10種考法）考點(diǎn)一超幾何分布【例1-1】（2022·廣東汕頭·二模）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（Ⅱ）用表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）【解析】（I）“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，則．（II）由題意所有可能的取值為：，，，.；；；．所以隨機(jī)變量的分布列為1234隨機(jī)變量的均值為．【例1-2】（2023·陜西銅川·?？家荒＃┠称放剖謾C(jī)廠為了更好地提升品牌的性能，進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷滿分為100分，現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問卷加以研究．現(xiàn)將這50份問卷按成績(jī)分成如下五組：第一組，3份；第二組，8份；第三組；第四組；第五組，4份；已知其中得分高于60分的問卷份數(shù)為20．(1)在第二組與第四組問卷中任取兩份，這兩份問卷成績(jī)得分差不低于20分的概率；(2)如果在這50份調(diào)查問卷中隨機(jī)取4份，其中及格份數(shù)記為隨機(jī)變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【解析】（1）由于成績(jī)?cè)诘膯柧頌?份，又得分高于60分的問卷份數(shù)為20，故第四組有16份問卷.由于所取兩份問卷分差不低于20分，故由題意知是在第二組與第四組中各取一人，故所求概率為．（2）由題意知隨機(jī)變量X取值為0，1，2，3，4．，X的分布列為：X01234所以期望．【例1-3】（2023廣東湛江）為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策，鼓勵(lì)民眾不開車低碳出行，某甲乙兩個(gè)單位各有200名員工，為了了解員工低碳出行的情況，統(tǒng)計(jì)了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如下：（1）若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求；（2）現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩單位中各取2天），記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為，，令，求的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案見解析.【解析】（1）由題意，解得．（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有0,1,2,3,4.的分布列為：01234∴．【例1-4】（2023云南某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個(gè)區(qū)市民接種，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種．（1）求三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率；（2）記，，三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為，求的分布列．【答案】（1）；（2）隨機(jī)變量的分布列為：12345【解析】（1）設(shè)三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同為事件，則．（2）的所有可能取值為1，2，3，4，5，則，，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為：12345考點(diǎn)二二項(xiàng)分布【例2-1】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）近年來，我國(guó)加速推行垃圾分類制度，全國(guó)垃圾分類工作取得積極進(jìn)展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類．經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請(qǐng)通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)方案一，二的滿意度平均得分分別為72.6，76.5，且方案二的措施更受居民歡迎；(2)第80百分位數(shù)為85分；(3)分布列見解析，4.【解析】（1）設(shè)A小區(qū)方案一的滿意度平均分為，則，設(shè)B小區(qū)方案二的滿意度平均分為，則，因?yàn)?，所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎；（2）因?yàn)榍?組的頻率之和為，前5組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)在第5組，設(shè)第80百分位數(shù)為x，則，解得，所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分；（3）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為，現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，則，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，，所以X的分布列為X012345P由二項(xiàng)分布知數(shù)學(xué)期望．【例2-2】（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）為調(diào)查A，B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效，藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物B的患者的康復(fù)時(shí)間，經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù)：康復(fù)時(shí)間只服用藥物A只服用藥物B7天內(nèi)康復(fù)360人160人8至14天康復(fù)228人200人14天內(nèi)未康復(fù)12人40人假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復(fù)相互獨(dú)立．(1)若一名患者只服用藥物A治療，估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率；(2)從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：(3)從只服用藥物A的患者中隨機(jī)抽取100人，用“”表示這100人中恰有k人在14天內(nèi)未康復(fù)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1(3)2【解析】（1）只服用藥物A的人數(shù)為人，且能在14天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)有人，故一名患者只服用藥物A治療，估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率為；（2）只服用藥物A的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為，只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為，其中X的可能取值為，，，，則分布列為：012數(shù)學(xué)期望為；（3）只服用藥物A的患者中，14天內(nèi)未康復(fù)的概率為，，令，即，解得：，因?yàn)?，所?考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件【例3-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【解析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【例3-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識(shí)對(duì)抗賽，組委會(huì)將參賽人員隨機(jī)分為若干組，每組均為兩名選手，每組對(duì)抗賽開始時(shí)，組委會(huì)隨機(jī)從百年黨史題庫(kù)抽取道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等比賽細(xì)則為：選手搶到試題且回答正確得分，對(duì)方選手得分選手搶到試題但回答錯(cuò)誤或沒有回答得分，對(duì)方選手得分道題目搶答完畢后得分多者獲勝已知甲、乙兩名選手被分在同一組進(jìn)行對(duì)抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨(dú)立．(1)求乙同學(xué)得分的概率(2)記為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【解析】（1）由題意，乙同學(xué)得分的基本事件有乙搶到兩題且一道正確一道錯(cuò)誤、甲乙各搶到一題都回答正確、甲搶到兩題且回答錯(cuò)誤，所以乙同學(xué)得分的概率為（2）由題意，甲同學(xué)的累計(jì)得分可能值為0，50，100，150，200，，，，，，分布列如下：所以期望．考點(diǎn)四正態(tài)分布【例4-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》，某校組織學(xué)生參加100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測(cè)試中，抽取100名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）．(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中近似為女生短跑平均成績(jī)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，，若從該校女生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)谝酝獾娜藬?shù)為Y，求．附參考數(shù)據(jù)：，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，，．【答案】(1)17.4(2)【解析】（1）估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)為:；（2）該校女生短跑成績(jī)服從正態(tài)分布,由題可知，，則，故該校女生短跑成績(jī)?cè)谝酝獾母怕蕿椋海深}意可得,,.【例4-2】（2023·江西·校聯(lián)考一模）2020年8月，體育總局和教育部聯(lián)合提出了《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》.某地區(qū)為落實(shí)該意見，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)?擲實(shí)心球?1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)中考正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級(jí)有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若，則.【答案】（1）；（2）①人；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測(cè)試時(shí)，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.答：（1）兩人得分之和不大于35分的概率為；（2）①每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)為841；②隨機(jī)變量的期望.考點(diǎn)五條件概率【例5-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）某企業(yè)因技術(shù)升級(jí)，決定從2023年起實(shí)現(xiàn)新的績(jī)效方案．方案起草后，為了解員工對(duì)新績(jī)效方案是否滿意，決定采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有三個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑球，2個(gè)白球．企業(yè)所有員工從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球．約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問卷，否則按方式Ⅱ回答問卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；方式Ⅱ：若你對(duì)新績(jī)效方案滿意，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．當(dāng)所有員工完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫○，畫×的比例．用頻率估計(jì)概率，由所學(xué)概率知識(shí)即可求得該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度的估計(jì)值．其中滿意度．(1)若該企業(yè)某部門有9名員工，用X表示其中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)若該企業(yè)的所有調(diào)查問卷中，畫“○”與畫“×”的比例為4：5，試估計(jì)該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度．【答案】(1)4(2)40%．【解析】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率為，每名員工兩次摸到的球的顏色不同的概率，由題意可得：該部門9名員工中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，所以X的數(shù)學(xué)期望．（2）記事件A為“按方式Ⅰ回答問卷”，事件B為“按方式Ⅱ回答問卷”，事件C為“在問卷中畫○”．由（1）知，，．∵，由全概率公式，則，解得，故根據(jù)調(diào)查問卷估計(jì)，該企業(yè)員工對(duì)新績(jī)效方案的滿意度為40%．【例5-2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）有研究顯示，人體內(nèi)某部位的直徑約的結(jié)節(jié)約有0.2%的可能性會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．某醫(yī)院引進(jìn)一臺(tái)檢測(cè)設(shè)備，可以通過無創(chuàng)的血液檢測(cè)，估計(jì)患者體內(nèi)直徑約的結(jié)節(jié)是否會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陽性，則提示該結(jié)節(jié)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則提示該結(jié)節(jié)不會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．這種檢測(cè)的準(zhǔn)確率為85%，即一個(gè)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陽性，一個(gè)不會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陰性．患者甲被檢查出體內(nèi)長(zhǎng)了一個(gè)直徑約的結(jié)節(jié)，他做了該項(xiàng)無創(chuàng)血液檢測(cè)．(1)求患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率；(2)若患者甲的檢查結(jié)果為陰性，求他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率（結(jié)果保留5位小數(shù)）；(3)醫(yī)院為每位參加該項(xiàng)檢查的患者繳納200元保險(xiǎn)費(fèi)，對(duì)于檢測(cè)結(jié)果為陰性，但在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者，保險(xiǎn)公司賠付該患者20萬元，若每年參加該項(xiàng)檢查的患者有1000人，請(qǐng)估計(jì)保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益．【答案】(1)0.8486；(2)0.00035；(3)13萬元.【解析】（1）記事件A：直徑約的結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，事件B：該項(xiàng)無創(chuàng)血液檢測(cè)的檢查結(jié)果為陰性，由題，，，，，，，則所以患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率為0.8486．（2），．所以患者甲的檢查結(jié)果為陰性，他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率為0.00035．（3）記參加該項(xiàng)檢查的1000位患者中，獲得20萬元賠付的有X人，，則，記保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益為Y元，，則，所以保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益估計(jì)為13萬元．考點(diǎn)六統(tǒng)計(jì)案例【例6-1】】（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“體育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，多參加體育運(yùn)動(dòng)能有效增強(qiáng)中學(xué)生的身體素質(zhì).籃球和排球是我校學(xué)生最為喜愛的兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，為調(diào)查喜愛運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目與性別之間的關(guān)系，某調(diào)研組在校內(nèi)隨機(jī)采訪男生、女生各50人，每人必須從籃球和排球中選擇最喜愛的一項(xiàng)，其中喜愛排球的歸為甲組，喜愛籃球的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員48人，其中男生18人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，填空下述列聯(lián)表：甲組乙組合計(jì)男生女生合計(jì)(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān)?(3)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)放禮品，求這3人中在甲組中的人數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中為樣本容量.參考數(shù)據(jù)：0.500.050.010.4553.8416.635【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)有95%的把握(3)分布列見解析，【解析】（1）列聯(lián)表甲組乙組合計(jì)男生183250女生302050合計(jì)4852100（2）零假設(shè)為：學(xué)生選排球還是籃球與性別無關(guān)由列聯(lián)表可得；有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).（3）按分層抽樣，甲組中女生3人，乙組中女生2人，，∴概率分布列為123數(shù)學(xué)期望.【例6-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）實(shí)施新規(guī)后，某商場(chǎng)2020年1月份至10月份的收入情況如表．月份12345678910收入(萬元)10121513161715161620并計(jì)算得，，，．（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(當(dāng)時(shí)，那么變量，有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)（2）建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入情況．(結(jié)果保留整數(shù))附：，．【答案】（1）與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合，說明答案見解析；（2），預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入為20萬元．【解析】（1）由題中數(shù)據(jù)得，，，于是得，又，從而，，所以與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合；（2）由（1）知，而，，從而得，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，從而預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入為20萬元．【例6-3】（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）為迎接年北京冬奧會(huì)，踐行“更快更高更強(qiáng)”的奧林匹克格言，落實(shí)全民健身國(guó)家戰(zhàn)略.某校高二年級(jí)發(fā)起了“發(fā)揚(yáng)奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高.(1)為了解活動(dòng)效果，該年級(jí)對(duì)開展活動(dòng)以來近個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如上圖，根據(jù)上面的散點(diǎn)圖可以認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線的附近，請(qǐng)根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)求出該年級(jí)體重超重人數(shù)與月份之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)和的最終結(jié)果精確到），并預(yù)測(cè)從開展活動(dòng)以來第幾個(gè)月份開始該年級(jí)體重超標(biāo)的人數(shù)降至人以下？月份體重超標(biāo)人數(shù)(2)在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由隊(duì)員控制，此后足球僅在、、三名隊(duì)員之間傳遞，假設(shè)每名隊(duì)員控球時(shí)傳給其他隊(duì)員的概率如下表所示：控球隊(duì)員接球隊(duì)員概率若傳球次，記隊(duì)員控球次數(shù)為，求的分布列及均值.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程：中，，；參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】(1)，第十個(gè)月(2)分布列見解析，【解析】（1）解：由得.由題意得，，所以，.所以，即關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.令，所以，解得.由于，所以，所以從第十個(gè)月開始，該年級(jí)體重超標(biāo)的人數(shù)降至人以下.（2）解：由題意得的可能取值為、、，，，，所以的分布列為所以，.考點(diǎn)七特征數(shù)做決策【例7-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“雙十一”期間，某大型商場(chǎng)舉行了“消費(fèi)領(lǐng)獎(jiǎng)”的促銷活動(dòng)，在規(guī)定的商品中，顧客消費(fèi)滿，200元（含200元）即可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方式有兩種（顧客只能選擇其中一種）.方案一：從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，黑球8個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地摸出2個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出2個(gè)紅球，享受免費(fèi)優(yōu)惠；若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，則打5折；若摸出2個(gè)黑球，則抵扣現(xiàn)金50元.(1)某顧客恰好消費(fèi)200元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付現(xiàn)金的分布列和期望；(2)若顧客消費(fèi)300元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方式更合理?【答案】(1)分布列見解析，160元(2)選擇方案二更合理【解析】（1）設(shè)實(shí)付金額為元，則可能取值為0，100，200．則，，，則的分布列為0100200∴（元）（2）若選方案一，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，實(shí)付金額為，則，由題意得，故．∴（元）若選方案二，設(shè)實(shí)付金額為，則的可能取值為0，150，250．則，，．則的分布列為0150250∴（元）∵，∴選擇方案二更合理．【例7-3】（江西省2022屆高三二輪復(fù)）某地的水果店老板記錄了過去100天A類水果的日需求量x（單位：箱），整理得到數(shù)據(jù)如下表所示.x2223242526頻數(shù)2020301812其中每箱A類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元，出售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，就將剩下的A類水果以20元每箱的價(jià)格出售給果汁加工企業(yè)，以這100天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率.(1)如果某天的進(jìn)貨量為24箱，用X表示該水果店當(dāng)天賣出A類水果所獲得的利潤(rùn)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)如果店老板計(jì)劃某天購(gòu)進(jìn)24箱或25箱的A類水果，請(qǐng)以當(dāng)天利潤(rùn)的期望作為決策依據(jù)，判斷應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱還是25箱.【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(2)應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱【解析】(1)若x=24，25，26，則，故；若x=23，則，故；若x=22，則，故，故X的分布列為X104011201200P0.20.20.6故.(2)記當(dāng)天進(jìn)貨量為25箱時(shí)賣出A類水果所獲得的利潤(rùn)為Y，若x=25，26，則，；若x=24，則，故；若x=23，則，故；若x=22，則，故，則，因?yàn)?，所以?yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱.【例7-3】（2023·福建·統(tǒng)考一模）校園師生安全重于泰山，越來越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備．某學(xué)校引進(jìn)M，N兩種類型的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED）若干，并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及方法．經(jīng)過短期的強(qiáng)化培訓(xùn)，在單位時(shí)間內(nèi)，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立．(1)現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行急救演練，假定他每次隨機(jī)等可能選擇M或N型AED進(jìn)行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；(2)為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進(jìn)行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對(duì)某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若第一次對(duì)某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進(jìn)行操作．方案乙：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇設(shè)備M”為事件A，“選擇設(shè)備N”為事件B由題意，恰在第二次操作才成功的概率，，所以恰在第二次操作才成功的概率為．（2）設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計(jì)次數(shù)分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，；；；所以方法一：；；所以方法二：方案乙選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，決策一：因?yàn)?，故方案甲更好．決策二：因?yàn)榕c差距非常小，所以兩種方案均可考點(diǎn)八統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列綜合【例8-1】（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）《奪冠》這部影片講述的是中國(guó)女排從1981年首奪世界冠軍到2016年里約奧運(yùn)會(huì)生死攸關(guān)的中巴大戰(zhàn)，詮釋了幾代女排人歷經(jīng)浮沉卻始終不屈不撓、不斷拼搏的傳奇經(jīng)歷.現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.(1)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開球的概率的大小.【答案】(1)(2)，甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率【解析】（1）在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對(duì)應(yīng)的勝負(fù)情況為：勝勝負(fù)；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝共3種情況，對(duì)應(yīng)的概率分別記為：、、，；；，所以甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率.（2）由全概率公式可得，，即.易知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故.又因?yàn)椋?而在每一個(gè)回合中，甲、乙兩隊(duì)開球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率.【例8-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動(dòng)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”（第19格），則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營(yíng)”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次：若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移到“勝利大本營(yíng)”或“微笑大本營(yíng)”時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到萬元）.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元.【解析】（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：；（2）∵，∴.（3）由題可知，遙控車移到第格有兩種可能：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，∴，∴時(shí)，，又∵，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，以上各式相加，得，∴時(shí)，，∴到達(dá)“勝利大本營(yíng)”的概率，∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，則或0，∴的期望，∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元【例8-3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.【答案】(1)；(2).【解析】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii.第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii.第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；所以..所以.（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.記事件D：進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：ii.記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：iii.記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：，則事件彼此互斥，記，所以.所以考點(diǎn)九統(tǒng)計(jì)概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合【例9-1】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）某地A，B，C，D四個(gè)商場(chǎng)均銷售同一型號(hào)的冰箱，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2022年10月份這四個(gè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)和銷售該型號(hào)冰箱的臺(tái)數(shù)如下表（單位：十臺(tái)）：A商場(chǎng)B商場(chǎng)C商場(chǎng)D商場(chǎng)購(gòu)講該型冰箱數(shù)x3456銷售該型冰箱數(shù)y2.5344.5(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)假設(shè)每臺(tái)冰箱的售價(jià)均定為4000元．若進(jìn)入A商場(chǎng)的甲、乙兩位顧客購(gòu)買這種冰箱的概率分別為p，，且甲乙是否購(gòu)買冰箱互不影響，若兩人購(gòu)買冰箱總金額的期望不超過6000元，求p的取值范圍．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)(2)【解析】（1），，，．所以，則．故y關(guān)于x的線性回歸方程為．（2）設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以，X的分布列為X012P所以，．令，即，解得，又，所以．所以p的取值范圍為．【例9-2】（2022·湖北十堰·丹江口市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某校組織校園科技文化節(jié)活動(dòng)，5名參賽選手組成一隊(duì)參與積分答題活動(dòng)，答題規(guī)則：每人答3道題，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分．若第一道題答錯(cuò)，不能繼續(xù)答題，答題結(jié)束；若第一道題答對(duì)，后2道題均需作答．5名選手積分成績(jī)之和為該隊(duì)積分成績(jī)，高三1班的“領(lǐng)航隊(duì)”的每位選手答對(duì)每道題的概率均為，且每人答每道題都是相互獨(dú)立的．(1)若“領(lǐng)航隊(duì)”中恰有3名選手答對(duì)第一道題的概率為，求的最大值和最大值點(diǎn)的值；(2)以（1）中確定的作為p的值，求“領(lǐng)航隊(duì)”積分成績(jī)的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)在處取得最大值，最大值(2)．【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故在處取得最大值，最大值．（2）“領(lǐng)航隊(duì)”的每個(gè)成員積分成績(jī)?yōu)閅，則，所以“領(lǐng)航隊(duì)”積分成績(jī)X的數(shù)學(xué)期望，每個(gè)成員積分成績(jī)Y的可能取值為，1，5，9，記第i道題目答對(duì)為事件，則，，，．Y的分布列為Y159P則，故．考點(diǎn)十新概念【例10-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【解析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)?，所以所以?ii)由已知，，又，，所以【例10-2】（2023·浙江·統(tǒng)考一模）混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽性．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）由題意可得滿足二項(xiàng)分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）記（混管中恰有1例陽性|混管檢測(cè)結(jié)果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，所以當(dāng)，時(shí)，所以，則．故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽性.【例10-3】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在與之間，試估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)1250【解析】（1）由已知，所以；（2）由已知，所以，若，則，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在與之間，則，解得，所以估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值為1250；綜上，，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值為1250.1．（2022·廣西河池·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這1000名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值：(2)為進(jìn)一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖得：.解得；（2）由頻率分布直方圖得：這1000名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽?。ㄈ耍┰谌掌骄喿x時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)拍取3人，則服從超幾何分布，其可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列為：0123.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，盒中裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，其中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球．(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個(gè)球，求兩球顏色相同的概率；(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個(gè)球，當(dāng)摸出第二個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束，或能判斷出第二個(gè)紅球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲、乙兩人摸球的總次數(shù)為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為；（2）依題意X=2，3，4，5，，X=3，就是前2個(gè)一個(gè)是紅球，一個(gè)是白球，第3個(gè)是紅球，

，X=4，就是前3個(gè)有2個(gè)白球一個(gè)紅球，第4個(gè)是紅球，或前四個(gè)全是白球，

，X=5，分為前4個(gè)球中有3個(gè)白球1個(gè)紅球，第5個(gè)是紅球，或者是前4個(gè)球中3個(gè)白球一個(gè)紅球，第5個(gè)是白球

，分布列為：X2345P數(shù)學(xué)期望；3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．4．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在2022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強(qiáng)賽中，中國(guó)男足以1勝3平6負(fù)進(jìn)9球失19球的成績(jī)慘敗出局．甲、乙足球愛好者決定加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過一輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若經(jīng)過兩輪踢球，用表示經(jīng)過第2輪踢球后甲累計(jì)得分高于乙累計(jì)得分的概率，求．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)【解析】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，相互獨(dú)立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為，則，，，所以的分布列為：01P所以.（2）根據(jù)題意，經(jīng)過第2輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的情況有三種；分別是：甲兩輪中第1輪得0分，第2輪得1分；或者甲第1輪得1分，第2輪得0分；或者甲兩輪各得1分，于是：.5．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）新冠疫情暴發(fā)以來，各級(jí)人民政府采取有效防控措施，時(shí)常采用10人一組做核酸檢測(cè)（俗稱混檢），某地在核酸檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測(cè)呈陽性，為了能找出這1例陽性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過做血清檢測(cè)，血清檢測(cè)結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染.擬采用兩種方案檢測(cè)：方案甲：將這10人逐個(gè)做血清檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測(cè)，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測(cè)的次數(shù)記為X.(1)求X的數(shù)學(xué)期望；(2)如果每次檢測(cè)的費(fèi)用相同，以檢測(cè)費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？【答案】(1)(2)選擇方案乙【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，則，，2，…，8，，所以.（2）把采用方案乙，直到能確定感染人員為止，檢測(cè)的次數(shù)記為Y，則Y可取2，3，4，5.，，，，則.設(shè)每次檢測(cè)的費(fèi)用均為，則方案甲的平均費(fèi)用為，方案乙的平均費(fèi)用為，因?yàn)?，所以?yīng)選擇方案乙.6．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┠硨W(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.7．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【解析】（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，所以甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率為．（2）X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，則，，，，，，，所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X0123456P所以．8．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，，其中.（1）若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，則當(dāng)該考生更希望通過甲大學(xué)的筆試時(shí)，求的范圍.【答案】（1）考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)恰好通過一門科目的概率分別為，；（2）.【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，則；該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，則.（2）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，報(bào)將乙大學(xué)通過的科目數(shù)為，隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，3.，，，，隨機(jī)變量的分布列：0123，因?yàn)樵摽忌Ｍㄟ^甲大學(xué)的筆試，∴，則，所以的范圍為：.9．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）北京時(shí)間2022年11月21日0時(shí)，卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)在海灣球場(chǎng)正式打響，某公司專門生產(chǎn)世界杯紀(jì)念品，今年的訂單數(shù)量再創(chuàng)新高，為回饋球迷，該公司推出了盲盒抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每位成功下單金額達(dá)500元的顧客可抽獎(jiǎng)1次．已知每次抽獎(jiǎng)抽到一等獎(jiǎng)的概率為10%，獎(jiǎng)金100元；抽到二等獎(jiǎng)的概率為30%，獎(jiǎng)金50元；其余視為不中獎(jiǎng)．假設(shè)每人每次抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)互不影響．(1)任選2名成功下單金額達(dá)500元的顧客，求這兩名顧客至少一人中獎(jiǎng)的概率；(2)任選2名成功下單金額達(dá)500元的顧客，記為他們獲得的獎(jiǎng)金總數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)0.64(2)分布列見解析，【解析】（1）任選一名成功下單金額達(dá)500的顧客，記“該顧客抽到一等獎(jiǎng)”為事件A，“該顧客抽到二等獎(jiǎng)”為事件B，“該顧客不中獎(jiǎng)”為事件C，所以，所以任選2名成功下單金額達(dá)500的顧客，這兩名顧客都不中獎(jiǎng)的概率為，所以這兩名顧客至少一人中獎(jiǎng)的概率為：；（2）的所有可能取值為，則，，，，，則的分布列為：0501001502000.360.210.060.01.10．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了促進(jìn)地方經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，國(guó)家鼓勵(lì)地方政府實(shí)行積極靈活的人才引進(jìn)政策，被引進(jìn)的人才，可享受地方的福利待遇，發(fā)放高標(biāo)準(zhǔn)的安家補(bǔ)貼費(fèi)和生活津貼．某市政府從本年度的1月份開始進(jìn)行人才招聘工作，參加報(bào)名的人員通過筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)的審查后，符合一定標(biāo)準(zhǔn)的人員才能被錄用．現(xiàn)對(duì)該市1~4月份的報(bào)名人員數(shù)和錄用人才數(shù)（單位：千人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格．月份1月份2月份3月份4月份報(bào)名人員數(shù)/千人57錄用人才數(shù)/千人(1)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)假設(shè)該市對(duì)被錄用的人才每人發(fā)放2萬元的生活津貼（i）若該市5月份報(bào)名人員數(shù)為8000人，試估計(jì)該市對(duì)5月份招聘的人才需要發(fā)放的生活津貼的總金額；（ii）假設(shè)在參加報(bào)名的人員中，小王和小李兩人被錄用的概率分別為，．若兩人的生活津貼之和的均值不超過3萬元，求的取值范圍．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為【答案】(1)(2)（i）1060萬元；（ii）【解析】（1）由題意得，，所以，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（2）（ⅰ）將代入，得，所以（萬元），故估計(jì)該市對(duì)5月份招聘的人才需要發(fā)放的生活津貼的總金額為1060萬元．（ⅱ）設(shè)小王和小李兩人中被錄用的人數(shù)為，則的可能取值為，，，則，，，所以，則，解得．又，所以，則．故的取值范圍是．11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖．x100150200300450t9065453020(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求的概率分布列；(2)令，由散點(diǎn)圖判斷與哪個(gè)更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；（，的結(jié)果精確到0.1）(3)根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額L最大？（100天銷售額L＝100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，．【答案】(1)012P(2)(3)150元/天【解析】（1）由題意，抽取兩家深入調(diào)查，可能為0，1，2.,，，∴的分布列為：012P（2）由散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)并非均勻分布在一條直線的兩側(cè)，而是大致分布在一條曲線的兩側(cè)，不符合線性回歸模型要求，∴更合適于此模型，∵∴∴回歸方程為：（3）由題意得，,在中當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取最大值，∴收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為150元/天時(shí)，100天銷售額L最大.12．（2022·北京·景山學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)0.20(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)5【解析】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝?，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大.13．（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在“十三五”期間，我國(guó)的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國(guó)830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國(guó)脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國(guó)家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對(duì)臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級(jí)，其中為一級(jí)果，為特級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測(cè)量果徑，得到頻率分布直方圖如下：(1)由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)這批采摘的臍橙按2個(gè)特級(jí)果和n（，且）個(gè)一級(jí)果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場(chǎng)．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級(jí)相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時(shí)n的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)(2)①；②；【解析】（1）由分布圖：則，在內(nèi)為優(yōu)品則（2）①②，且，因?yàn)?，且，由?duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴最大值在時(shí)取得，可求得或，因?yàn)?，所以，求?5．（2022湖南邵陽）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.（2）根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬元．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次．若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從到）若擲出反面遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營(yíng)）或第20格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值．【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）證明見解析，期望值為，約2萬元.【解析】（1）（千米）（2）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布

所以（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為,即．遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種．

①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為

②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為所以，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列

以上各式相加，得（），

獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約2萬元.16．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽擾子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽性，否則為陰性.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽性的概率為，現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣?檢測(cè)，多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中備份的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無需再檢驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：四個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：平均分成兩組，每組兩個(gè)樣本混合在一起，再分組化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測(cè)能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一?二?三中哪個(gè)最“優(yōu)”？(2)若對(duì)4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且想讓“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍.【答案】(1)方案一最優(yōu)(2)【解析】（1）方案二：記檢測(cè)次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為1，5，所以，，所以方案二檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；方案三：每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若呈陰性則檢測(cè)次數(shù)為1次，其概率為，若呈陽性則檢測(cè)次數(shù)為3次，其概率為，設(shè)方案三的檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為2，4，6，所以，，，所以方案三檢測(cè)次數(shù)Y的期望為，因?yàn)椋苑桨敢蛔顑?yōu)；（2）方案二：記檢測(cè)次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為1，5，所以，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，可得，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，方案二比方案一更“優(yōu)”.17．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）近日，某芯片研發(fā)團(tuán)隊(duì)表示已自主研發(fā)成功多維先進(jìn)封裝技術(shù)XDFOI，可以實(shí)現(xiàn)4nm手機(jī)SOC芯片的封裝，這是中國(guó)芯片技術(shù)的又一個(gè)重大突破，對(duì)中國(guó)芯片的發(fā)展具有極為重要的意義．可以說國(guó)產(chǎn)4nm先進(jìn)封裝技術(shù)的突破，激發(fā)了中國(guó)芯片的潛力，證明了知名院士倪光南所說的先進(jìn)技術(shù)是買不來的、求不來的，自主研發(fā)才是最終的出路．研發(fā)團(tuán)隊(duì)準(zhǔn)備在國(guó)內(nèi)某著名大學(xué)招募人才，準(zhǔn)備了3道測(cè)試題，答對(duì)兩道就可以被錄用，甲、乙兩人報(bào)名參加測(cè)試，他們通過每道試題的概率均為，且相互獨(dú)立，若甲選擇了全部3道試題，乙隨機(jī)選擇了其中2道試題，試回答下列問題．（所選的題全部答完后再判斷是否被錄用）(1)求甲和乙各自被錄用的概率；(2)設(shè)甲和乙中被錄用的人數(shù)為，請(qǐng)判斷是否存在唯一的值，使得？并說明理由．【答案】(1)甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為(2)不存在；理由見解析【解析】（1）由題意，設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，得，則甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，則，，，∴，，設(shè)，則．∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，，，所以不存在的值，使得.18．（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了讓幼兒園大班的小朋友嘗試以客體區(qū)分左手和右手，左肩和右肩，在游戲中提高細(xì)致觀察和辨別能力，同時(shí)能大膽地表達(dá)自己的想法，體驗(yàn)與同伴游戲的快樂，某位教師設(shè)計(jì)了一個(gè)名為【肩手左右】的游戲，方案如下：游戲準(zhǔn)備：選取甲、乙兩位小朋友面朝同一方向并排坐下進(jìn)行游戲．教師站在兩位小朋友面前出示游戲卡片．游戲卡片為兩張白色紙板，一張紙板正反兩面都打印有相同的“左”字，另一張紙板正反兩面打印有相同的“右”字．游戲進(jìn)行：一輪游戲（一輪游戲包含多次游戲直至決出勝者）開始后，教師站在參加游戲的甲、乙兩位小朋友面前出示游戲卡片并大聲報(bào)出出示的卡片上的“左”或者“右”字．兩位小朋友如果聽到“左”的指令，或者看到教師出示寫有“左”字的卡片就應(yīng)當(dāng)將左手放至右肩上并大聲喊出“停！”．小朋友如果聽到“右”的指令，或者看到教師出示寫有“右”字的卡片就應(yīng)當(dāng)將右手放至左肩上并大聲喊出“停！”．最先完成指令動(dòng)作的小朋友喊出“停！”時(shí)，兩位小朋友都應(yīng)當(dāng)停止動(dòng)作，教師根據(jù)兩位小朋友的動(dòng)作完成情況進(jìn)行評(píng)分，至此游戲完成一次．游戲評(píng)價(jià)：為了方便描述問題，約定：對(duì)于每次游戲，若甲小朋友正確完成了指令動(dòng)作且乙小朋友未完成則甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正確完成了指令動(dòng)作且甲小朋友未完成則甲得－1分，乙得1分；若甲，乙兩位小朋友都正確完成或都未正確完成指令動(dòng)作，則兩位小朋友均得0分．當(dāng)兩位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分?jǐn)?shù)多8分時(shí)，就停止本輪游戲，并判定得分高的小朋友獲勝．現(xiàn)假設(shè)“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為”，一次游戲中甲小朋友的得分記為X．(1)求X的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一輪游戲開始時(shí)都賦予4分，表示“甲小朋友的當(dāng)前累計(jì)得分為i時(shí)，本輪游戲甲小朋友最終獲勝”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）根據(jù)的值說明這種游戲方案是否能夠充分驗(yàn)證“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為0.5，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的率為0.6”的假設(shè)．【答案】(1)分布列見解析(2)（i）證明見解析（ii）這種游戲方案能夠充分驗(yàn)證“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為0.5，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的率為0.6”的假設(shè)【解析】（1）由題意知所有可能的取值為，，，，所有分布列為：01（2）（i）證明：因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，所以，整理得：，，所以，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）知所以，累加求和得，所以，所以表示甲小朋友當(dāng)前累計(jì)得分為分時(shí)，本輪游戲最終甲獲勝的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，假設(shè)一次游戲中甲小朋友完成指令動(dòng)作的概率為0.5，乙小朋友完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為0.6，本輪游戲中甲小朋友獲勝的概率，這種情況發(fā)生的概率比較小，能夠說明這種游戲方案能夠充分驗(yàn)證“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的概率為0.5，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動(dòng)作的率為0.6”的假設(shè)．19．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某公司計(jì)劃在2020年年初將100萬元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇．項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，．(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由；(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資（每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資），問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤(rùn)+本金）可以翻一番？（參考數(shù)據(jù)，）【答案】(1)建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資，理由見解析(2)大約在2023年年底總資產(chǎn)可以翻一番【解析】（1）若投資項(xiàng)目一，設(shè)獲利為萬元，則的分布列為30-15P．若投資項(xiàng)目二，設(shè)獲利為萬元，則的分布列為500-30P．．，，，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利的均值相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資．（2）假設(shè)n年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意，，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，，大約在2023年年底總資產(chǎn)可以翻一番．20．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）甲、乙兩人進(jìn)行拋擲骰子游戲，兩人輪流拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子．規(guī)定：先擲出點(diǎn)數(shù)6的獲勝，游戲結(jié)束．(1)記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為X，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結(jié)束時(shí)，X的分布列和期望；(2)已知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率．【答案】(1)分布列見解析，期望為；(2).【解析】（1）依題意，拋擲骰子一次獲勝的概率，的可能值為1，2，3，4，，，，，所以的分布列為；1234期望.（2）設(shè)甲拋擲第n次骰子且不獲勝的事件的概率為，依題意，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率，顯然當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率為.21．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）8月5日晚，2022首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”開幕式在洞庭南路歷史文化街區(qū)工業(yè)遺址公園（岳陽港工業(yè)遺址公園）舉行，舉辦2022首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”，是我市深入貫徹落實(shí)中央和省委“穩(wěn)經(jīng)濟(jì)、促消費(fèi)、激活力”要求，推出的大型文旅活動(dòng)，旨在進(jìn)一步深挖岳陽“名樓”底蘊(yùn)、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳陽”文旅IP，為加快推進(jìn)文旅融合發(fā)展拓展新維度、增添新動(dòng)力.活動(dòng)期間，某小吃店的生意異常火爆，對(duì)該店的一個(gè)服務(wù)窗口的顧客從排隊(duì)到取到食品的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：取到食品所需的時(shí)間（分）12345頻率0.050.450.350.10.05假設(shè)每個(gè)顧客取到食品所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘.從排隊(duì)的第一個(gè)顧客等待取食品開始計(jì)時(shí).(1)試估計(jì)“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開始等待取食品”的概率；(2)若隨機(jī)變量X表示“至第2分鐘末，已取到食品的顧客人數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，【解析】（1）設(shè)Y表示每個(gè)顧客取到食品所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事件“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開始等待取食品”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為3分鐘；②第一人取到食品所需的時(shí)間為3分鐘，且第二人取到食品所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為2分鐘.所以.（2）X所有可能的取值為0，1，2.對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間超過2分鐘，所以;對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為2分鐘，所以；對(duì)應(yīng)兩個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為1分鐘，所以；所以X的分布列為：0120.50.49750.0025所以22．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）為了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對(duì)，計(jì)算恰好是甲小組答對(duì)的概率．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則由題意可得，的取值有則的分布列為：所以（2）設(shè)甲乙兩組對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率分別為，兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，則一個(gè)題被甲小組搶到為事件，則，設(shè)一個(gè)題答對(duì)為事件，則該題如果被答對(duì)，恰好是甲小組答對(duì)即為23．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某校有，兩個(gè)餐廳﹐為調(diào)查學(xué)生對(duì)餐廳的滿意程度，在某次用餐時(shí)學(xué)校從餐廳隨機(jī)抽取了67人，從餐廳隨機(jī)抽取了69人，其中在，餐廳對(duì)服務(wù)不滿意的分別有15人、6人，其他人均滿意.(1)根據(jù)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為用餐學(xué)生與兩家餐廳滿意度有關(guān)聯(lián)？(2)學(xué)校對(duì)大量用餐學(xué)生進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)﹐得出如下結(jié)論：任意一名學(xué)生第一次在校用餐時(shí)等可能地選擇一家餐廳用餐，從第二次用餐起，如果前一次去了餐廳，那么本次到，餐廳的概率分別為，；如果前一次去了餐廳，那么本次到，餐廳的概率均為.求任意一名學(xué)生第3次用餐到餐廳的概率.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為用餐學(xué)生與兩家餐廳滿意度無關(guān)聯(lián).(2)【解析】（1）零假設(shè)為：用餐學(xué)生與兩家餐廳滿意度無關(guān)聯(lián)，依題意列出列聯(lián)表如下：不滿意滿意合計(jì)餐廳155267餐廳66369合計(jì)21115136，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為用餐學(xué)生與兩家餐廳滿意度無關(guān)聯(lián).（2）設(shè)事件“第次在餐廳用餐”，事件“第次在餐廳用餐”，其中，由題意與互斥，且，，；，，由全概率公式得，，又，，由全概率公式得.24．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）為了了解養(yǎng)殖場(chǎng)的甲、乙兩個(gè)品種成年水牛的養(yǎng)殖情況，現(xiàn)分別隨機(jī)調(diào)查5頭水牛的體高（單位：cm）如下表，請(qǐng)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.甲品種137128130133122乙品種111110109106114(1)已知甲品種中體高大于等于130cm的成年水牛以及乙品種中體高大于等于111cm的成年水牛視為“培育優(yōu)良”，現(xiàn)從甲品種的5頭水牛與乙品種的5頭水牛中各隨機(jī)抽取2頭.設(shè)隨機(jī)變量為抽得水牛中“培育優(yōu)良”的總數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與期望.(2)當(dāng)需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時(shí)候，如果兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量尺度相差大，或者數(shù)據(jù)的量綱不同，直