第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題型）題型一：用向量證明線段垂直一、單選題1．（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為，它的兩條漸近線與直線的交點分別為A，B，若O是坐標原點，，且的面積為，則雙曲線C的焦距為（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】直線過右焦點，，得，求出漸近線的斜率，得到關(guān)系，利用二倍角正切公式，求出，進而將用表示，結(jié)合面積求出，在中，得出、關(guān)系，求出即可.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，則直線）過右焦點，由，得，直線的斜率為，所以，在中，，，，在中，，所以，所以，故選：A．2．（2022秋·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若O為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】由平面向量的線性運算，把給定的等式轉(zhuǎn)化為用含的邊的向量等式，再由模的意義即可得解.【詳解】中，因與均為非零向量，則，即，是直角三角形.故選：B3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則O一定為△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】利用向量的等式關(guān)系，轉(zhuǎn)化成，利用向量加減法運算化簡得到，即證，再同理證得，即得是的垂心．【詳解】由得：，即，故，故，，又，，，即，同理，即，所以是的垂心．故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于將模的平方轉(zhuǎn)化成向量的平方，進行向量的靈活運算，才能證得垂直關(guān)系，突破難點.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】C【分析】，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當時，即，點在的角平分線上，同理證明即可求解.【詳解】，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當時，即，點在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當時，即，點在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當時，即，點在的角平分線上，故是的內(nèi)心.故選：C.二、多選題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點在△所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的垂心；B．若，則點為△的內(nèi)心；C．若，則點為△的外心；D．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的重心.【答案】BC【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；B、C分別假設(shè)為△的內(nèi)心、外心，利用向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即可；D由，根據(jù)數(shù)量積的運算律及向量數(shù)量積的幾何意義求的值，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；【詳解】A：由正弦定理知，而，所以，即動點的軌跡一定經(jīng)過△的重心，故錯誤.B：若為△的內(nèi)心，如下圖示：，同理，，，∴，，故正確；C：若為△的外心，分別為的中點，則，而，同理，又，故，正確；D：由，故，即，動點的軌跡一定經(jīng)過△的垂心，錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用已知等量關(guān)系，結(jié)合向量的運算律、數(shù)量積的值判斷向量過三角形的何種心，或假設(shè)為△的內(nèi)心、外心，再應(yīng)用幾何圖形中相關(guān)線段所表示的向量，結(jié)合向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運算律，判斷條件是否成立.6．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【分析】以E為原點建立平面直角坐標系，寫出所有點的坐標求解即可.【詳解】由題E為AB中點，則，以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點，，所以選項B正確；，所以選項C正確；因為，，所以選項A錯誤；，，在方向上的投影為，所以選項D正確.故選：BCD【點睛】此題考查平面向量基本運算，可以選取一組基底表示出所求向量的關(guān)系，對于特殊圖形可以考慮在適當位置建立直角坐標系，利于計算.三、填空題7．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線與拋物線交于P，Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線，交拋物線于點A，若，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)得出，聯(lián)立方程根據(jù)韋達定理求出點A的坐標，即可根據(jù)垂直得到的斜率乘積為-1，列出式子代入求解即可.【詳解】聯(lián)立方程組，消去y得：，設(shè)，，則，，則點A的橫坐標，則縱坐標為，即點A的坐標為，，，，，，即，，，，即，解得或（舍）故答案為：2.四、解答題8．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，直線，點到直線的距離為，若點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為零的直線與交于兩點，設(shè)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點，由點線距離、兩點距離建立方程，化簡整理即可；（2）設(shè)直線的方程為，可得，聯(lián)立直線m及的方程，結(jié)合韋達定理通過證明垂直即可（1）設(shè)點，則，由得：，兩邊平方整理得，則所求曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，因為直線與交于兩點，故，此時，所以，而.又，所以所以.9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當m＝5，且直線l垂直于x軸時，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當點P在直線l上時，求實數(shù)m，使得AM⊥AN.【答案】（1）證明見解析；（2）m＝6.【分析】（1）由題設(shè)可得M(5,)，N(5,－)，利用向量數(shù)量積的坐標表示求，即可證△AMN為直角三角形；（2）由題意，設(shè)l：y＝2(x－m)，，聯(lián)立拋物線方程應(yīng)用韋達定理求y1＋y2、y1y2，再由垂直知，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示得到關(guān)于m的方程，即可求得使AM⊥AN成立的m值.【詳解】（1）證明：由題意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，不妨取M(5,)，N(5,－)，則，∴，∴AM⊥AN，即△AMN為直角三角形，得證．（2）由題意，四邊形OAPB為平行四邊形，則kBP＝kOA＝2，設(shè)直線l：y＝2(x－m)，，聯(lián)立，得y2－2y－4m＝0，由題意，判別式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，∵AM⊥AN，則，又，∴，化簡得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，∴，解得m＝6，故m＝6時，有AM⊥AN.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.【答案】證明見解析【分析】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有·＝·，根據(jù)數(shù)量積的運算律，線段的位置、數(shù)量關(guān)系可得·＝0，即可證結(jié)論.【詳解】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.11．（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃﹦狱cP到定點F(0，1)的距離比它到直線的距離小1，設(shè)動點P的軌跡為曲線C，過點F的直線交曲線C于A、B兩個不同的點，過點A、B分別作曲線C的切線，且二者相交于點M．(1)求曲線C的方程；(2)求證：；(3)求△ABM的面積的最小值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)4．【分析】（1）利用定義判斷出曲線為拋物線；（2）設(shè)出點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)分別求出過點的切線方程，求出交點的坐標為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達定理算出，從而得到，利用向量可以計算，所以；（3）利用焦半徑公式和點到直線的距離可以求得，從而求得面積的最小值為．【詳解】（1）解：由已知，動點在直線上方，條件可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離等于它到直線距離，∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為．（2）證：設(shè)直線的方程為：，由得：，設(shè)，則，．由得：，，∴直線的方程為：①，直線的方程為：②，①－②消y得：，即，

將代入①得：，，故，，．（3）解：由（2）知，點到的距離，，，∴當時，的面積有最小值4．【點睛】形如的拋物線，考慮其切線時可以利用導(dǎo)數(shù)去討論．題型二：用向量解決夾角問題一、單選題1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，已知，且，點滿足，，則的面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】運用正弦定理和余弦定理將角統(tǒng)一成邊，再利用向量的數(shù)量積運算和三角形的面積公式結(jié)合求解.【詳解】由，可得，即.又，所以．因為，所以點為的重心，所以，所以，兩邊平方得．因為，所以，于是，所以，的面積為.因為的面積是面積的倍.故的面積為．【點睛】本題關(guān)鍵在于運用向量的平方可以轉(zhuǎn)化到向量的夾角的關(guān)系，再與三角形的面積公式相結(jié)合求解，屬于難度題.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分、必要性的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及鈍角三角形的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可知答案.【詳解】由，即，又，所以，不能推出△為鈍角三角形，充分性不成立；△為鈍角三角形時，若，則，不能推出，必要性不成立.所以“”是“△為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D二、填空題3．（2021秋·山東泰安·高三校考階段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】先求出與的坐標，再根據(jù)與夾角是銳角，則它們的數(shù)量積為正值，且它們不共線，求出實數(shù)的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問題，以及數(shù)量積的坐標表示，向量平行的條件等．條件的等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為______．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積計算向量夾角的余弦值.【詳解】解：由題意得：，即，，均為單位向量，即故答案為：三、解答題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分別在和，求得和，結(jié)合和互補，求得，再在中，求得，即可求解；解法2、由題意，求得，根據(jù)，結(jié)合的面積為面積的，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解；又由，所以．解法2、由，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，與互補，則，解得，在中，由余弦定理，得，因為，所以．解法2、由題意可得，，由AM為邊BC上的中線，則，兩邊同時平方得，，故，因為M為BC邊中點，則的面積為面積的，所以，即，化簡得，．（2）解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因為BN為邊AC上的中線，所以，，，即．所以．題型三：用向量解決線段的長度問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得，根據(jù)余弦定理即可求得，結(jié)合中線的向量表達即可求得中線長度.【詳解】因為，故可得，根據(jù)余弦定理可得，故，不妨取中點為，故，故.即邊上的中線長為.故選：.2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{xn}的各項都為正數(shù)且x1=1．△ABC內(nèi)的點Pn（n∈N*）均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2：1，若+xn+1+（2xn+1）=，則x4的值為A．15 B．17 C．29 D．31【答案】A【分析】將條件變形為，設(shè)，畫出圖形后利用三角形面積的關(guān)系得到數(shù)列遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列得答案．【詳解】由，得，設(shè)，延長至B1，使，則與的面積相等，以線段為鄰邊作出平行四邊形，如圖，則，∴，∴，又，∴，則，即，∴，∴數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴，∴．故選A．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造平行四邊形，從形的角度考慮向量問題，然后根據(jù)三角形的面積得到數(shù)列的遞推公式，進而求得通項公式．題目有一定的難度，考查分析問題、解決問題和轉(zhuǎn)化能力，較好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)．3．（2021·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知共面向量滿足，且.若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】作出平面向量的幾何表示，用表示出即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，，，以，為鄰邊作平行四邊形，由題意可知，，，，，過作，則的最小值為，設(shè)，，則，，故選：B．二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點G是的重心．過點G的直線l與線段AB交于點D，與線段AC交于點E．設(shè)，，則__________；與周長之比的取值范圍為__________．【答案】

3

【分析】連接AG并延長，交BC于F，可得，變形可得，根據(jù)D、G、E三點共線，即可得答案；設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，可得，根據(jù)余弦定理，可求得表達式，代入可得，根據(jù)的范圍，可得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的范圍，即可得答案.【詳解】連接AG并延長，交BC于F，如圖所示由題意得，F(xiàn)為BC中點，所以，又G為重心，所以，所以，即，因為D、G、E三點共線，所以，即.設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，則，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由題意得，所以，又，所以，又，所以，因為，所以，令，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以與周長之比的取值范圍為【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運算法則，三點共線定理等知識，并靈活應(yīng)用，難點在于將周長比轉(zhuǎn)化為的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得答案，屬中檔題.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動點，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點，則的最小值為_____.【答案】【解析】根據(jù)條件便可得到，然后兩邊平方即可得出，而由條件，代入上式即可得出，從而配方即可求出的最小值，進而得出的最小值．【詳解】解：；，，代入上式得：；；時，取最小值；的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法．三、解答題6．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)校考期末）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個角，，的對邊分別是，，，而且滿足.(1)求角的值；(2)若，，邊AB上的中點為D，求CD的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)的關(guān)系可求解；（2）由題意可得，再兩邊平方運用向量知識可求解.(1)由正弦定理及余弦定理有，又因為，∴.(2)∵CD是AB邊上的中線，∴∴.∴.8．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.(1)求內(nèi)角；(2)點是邊上的中點，已知，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得面積的最大值.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理得，因為，所以，于是有，所以，即，因為，所以，所以，即.（2）因為點是邊上的中點，所以，對上式兩邊平分得：，因為，所以，即，而，有，所以，當且僅當時，等號成立.因此.即面積的最大值為.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，，，邊上一點，這里異于．由引邊的垂線是垂足，再由引邊的垂線是垂足，又由引邊的垂線是垂足．同樣的操作連續(xù)進行，得到點，，．設(shè)，如圖所示.（1）求的值；（2）某同學(xué)對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：，問該同學(xué)這個結(jié)論是否正確并說明理由；（3）用和表示．【答案】（1）（2）結(jié)論正確，證明見解析；（3），．【分析】（1），根據(jù)向量數(shù)量積公式，求出，即可求解；（2）只需在中，求出，判斷是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根據(jù)已知得出，進而求出，即可得到；（3）由已知可得，，分別通過，，，將用表示，結(jié)合，得到遞推關(guān)系，進而求出的通項公式.【詳解】（1）∵，∴．∴．（2）該同學(xué)的結(jié)論正確，證明如下：由（1）及已知，得，，．由余弦定理知．又，則．∴．即．（3）由已知．∵，∴．∴．即，也即．∴，，是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，∴，．【點睛】本題以三角形為背景，考查了向量的幾何運算及向量與數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計算求解能力，綜合性較強，屬于較難題．題型四：向量與幾何最值一、單選題1．（2022秋·山東煙臺·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運算得出，從而可求出答案.【詳解】因為點C為的中點，，所以，所以，因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個動，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，可以表示出的坐標，再設(shè)點，即可用與表示出，即可求出答案.【詳解】建立如圖所示坐標系，則點，設(shè)點，且，則

故當時，有最大值為13故選：A.3．（2023·山東濰坊·?？家荒＃┮阎矫嫦蛄繚M足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標系，設(shè)，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點M在內(nèi)，判斷出當M與O重合時，最??；當M與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．【詳解】因為是內(nèi)一點，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當M與O重合時，最小，此時所以，即當M與C重合時，最大，此時所以，即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即所以選B【點睛】本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題．二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為0【答案】BCD【分析】以為原點建立如圖所示的直角坐標系，得，，設(shè)，則，求出，利用的范圍可判斷A；求出、的坐標，由，利用的范圍可判斷B；設(shè)，可得，求出、，由，利用、、，的范圍可判斷CD.【詳解】以為原點建立如圖所示的直角坐標系，所以，，設(shè)，則，，，所以，因為，所以，所以，所以，的最小值為，故A錯誤；，，所以，因為，所以，所以，所以，，的最小值為，故B正確；設(shè)，又，所以，可得，，，所以，其中，又，所以，所以，，，，所以，的最小值為0，故CD正確.故選：BCD.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心【答案】ACD【分析】A利用三角形相似及數(shù)量積的幾何意義判斷：B構(gòu)建直角坐標系，由向量數(shù)量積的坐標表示列式求最值；C由已知得，進而可知與中點共線，結(jié)合外心的性質(zhì)有垂直平分即可判斷；D將等式兩側(cè)同時點乘并化簡得，即可判斷.【詳解】A：如下圖，，則為垂心，易知：，所以，則，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：，同理，所以，正確；B：構(gòu)建以中點為原點的直角坐標系，則，若，所以，，由，則，當時的最小值為，錯誤；C：由題設(shè)，則，所以，若為中點，則，故，故共線，又，即垂直平分，所以，正確；D：由題設(shè)，，則，所以，若為中點，則，故，所以的軌跡經(jīng)過的外心，正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：A根據(jù)垂心性質(zhì)，三角形相似關(guān)系、數(shù)量積的幾何意義得到；B構(gòu)建直角坐標系，應(yīng)用數(shù)量積的坐標表示列式判斷；C、D根據(jù)外心的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合化簡題設(shè)向量的線性關(guān)系式判斷.三、雙空題7．（2022秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考期末）菱形中，，點E，F(xiàn)分別是線段上的動點（包括端點），，則___________，的最小值為___________.【答案】

0

##-0.25【分析】建立坐標系，用坐標表示向量，第一個空利用向量數(shù)量積坐標公式進行相應(yīng)計算，第二個空設(shè)出，表達出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值，再結(jié)合求出最小值.【詳解】以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，故，，，，設(shè)，則，，則，，，；因為，所以，，故當時，取得最小值為，因為，所以當，即時，最小，最小值為故答案為：0，【點睛】建立坐標系，解決平面向量相關(guān)的取值范圍或共線等問題是非常好用的.四、填空題8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，即可求出各頂點的坐標，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標計算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．9．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，若點，則的最大值為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意求出點A、B的坐標，由平面向量的坐標表示和向量的幾何意義寫出的表達式，利用三角函數(shù)的值域即可求出的最大值.【詳解】由題意知，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，則，又，所以，有，則，其中，當時，取得最大值，且最大值為.故答案為：10．（2022秋·遼寧大連·高三育明高中?？计谥校┮阎蛄颗c的夾角為，，，向量的夾角為，，則的最大值是___________.【答案】25【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)正弦定理可求出.記線段的中點為M，的中點，在中，可求出，從而可求出，然后在中，根據(jù)余弦定理求出，從而可求出.【詳解】如圖，作圓P，使得，且點O在優(yōu)弧上，點C滿足，則，符合題意.記線段的中點為M，在中，由正弦定理，得，取的中點，連接，在中，，，所以，所以，在中，由余弦定理，得，且，因為，，所以，所以，當且僅當點P在線段上時，等號成立所以的最大值是.故答案為：.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點，，B，C為圓O上任意兩點，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的有界性得到取值范圍.【詳解】如圖，連接，設(shè)為和的夾角．則，且，，由，當時，有最小值；當時，有最大值為10．所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】向量的數(shù)量積問題，通常處理思路：（1）建立平面直角坐標系，利用坐標進行求解；（2）利用向量基本定理對向量進行轉(zhuǎn)化求解；（3）利用極化恒等式求解12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，若對于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為________.【答案】##【分析】設(shè)出向量，根據(jù)題干條件得到關(guān)于的不等式問題，由根的判別式得到不等關(guān)系，求出，從而求出的模的最大值.【詳解】設(shè)，，滿足，即滿足①，都存在，使得恒成立，即存在，使得②，由①②可知：存在，使得成立即，即，化簡得：③，即③式恒成立，則必須滿足，解得：，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】有關(guān)于向量模長的取值問題或最值問題，坐標化處理是一種重要方法和思路，結(jié)合題目特征，合理設(shè)出向量，利用向量的坐標運算公式，二次函數(shù)根的分布或基本不等式，導(dǎo)函數(shù)等進行求解.題型五：向量在物理中的應(yīng)用一、單選題1．（2021·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）渭河某處南北兩岸平行，如圖所示.某艘游船從南岸碼頭出發(fā)北航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為，河水流速度的大小為.設(shè)速度與速度的夾角為，北岸的點在碼頭的正北方向.那么該游船航行到達北岸的位置應(yīng)（

）A．在東側(cè) B．在西側(cè)C．恰好與重合 D．無法確定【答案】A【解析】建立如圖如示的坐標系，則，從而可求出的值，進而可得游船的位置【詳解】解：建立如圖如示的坐標系，由題意可得，所以，說明船有軸正方向的速度，即向東的速度，所以該游船航行到達北岸的位置應(yīng)在東側(cè)，故選：A2．（2020·山東濟南·統(tǒng)考一模）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A．63 B．69 C．75 D．81【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形法則得到該學(xué)生的體重,利用余弦定理即可求出得解.【詳解】如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B【點睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為（

）A．6 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長公式，進行計算即可．【詳解】由題意知F3＝－(F1＋F2)，所以∴|F3|＝2.故選：C.4．（2021·全國·高三專題練習(xí)）空間作用在同一點的三個力兩兩夾角為，大小分別為，設(shè)它們的合力為，則（

）A．，且與夾角余弦為B．，且與夾角余弦為C．，且與夾角余弦為D．，且與夾角余弦為【答案】C【分析】設(shè)三個力對應(yīng)的向量分別為、、，以、、為過同一個頂點的三條棱，作平行六面體如圖，再以平面為平面，為原點、為軸建立如圖空間直角坐標系．分別算出點、、的坐標，運用向量的加法法則，可得，，．最后利用向量模的公式算出，并且利用向量夾角公式算出與夾角余弦，即得解.【詳解】設(shè)向量，，以、、為過同一個頂點的三條棱，作平行六面體，如圖所示則可得向量，以平面為平面，為原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示可得，0，，，1，，，3，設(shè)，，，可得，解之得，，．，，，結(jié)合，1，，，3，，可得，，設(shè)與所成的角為，可得即與所成角的余弦之值為.故選：C．【點睛】方法點睛：求向量的夾角常用的公式：，要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.二、多選題5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情境（如圖）假設(shè)行李包所受重力均為，兩個拉力分別為，若與的夾角為，則以下結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的范圍為C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】根據(jù)與的夾角為，結(jié)合受力分析圖象，逐一檢驗答案，得出選項．【詳解】根據(jù)受力分析，如圖所示：對于A，當行李包處于平衡狀態(tài)時，，正確；對于B，當時，沒有向上的分力，錯誤；對于C，當時，，正確；對于D，當時，，正確；故選：ACD6．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在水流速度為的河水中，一艘船以的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（

）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為【答案】BD【分析】根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向量的平行四邊形法則計算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夾角.【詳解】設(shè)船的實際航行速度為，水流速度為，船的航行速度為，根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：，設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為，所以，所以，故選：BD.三、填空題7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.【答案】N【分析】物體處于平衡狀態(tài)，則重力沿斜面上的分量與方向相反，大小相同，即可求值.【詳解】由題設(shè)，N，故答案為：N.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．【答案】【分析】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0，然后可算出答案.【詳解】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0所以，所以故答案為：四、解答題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為和物體，另在兩滑輪中間的一段繩子的點O處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計）．求證：（1）為定值；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)物體在水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為零列方程組，再根據(jù)正弦定理及二倍角的正弦公式可證結(jié)論成立；（2）根據(jù)，將（1）中的兩個方程兩邊平方相加，再由不等式知識可證結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，得即在中，由正弦定理，得．將代入①，得，即．，，得．，即．（2）證明：由，得．將①②兩邊平方相加，得.，．．【點睛】本題考查了向量在物理中的應(yīng)用，考查了正弦定理，考查了二倍角的正弦公式，屬于中檔題.題型六：向量中的新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量與，規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．長方體的體積【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定義逐項分析即得.【詳解】解法一：同時與，垂直；，，三個向量構(gòu)成右手系，且，所以選項A錯誤；根據(jù)右手系知：與反向，所以，故選項B錯誤；因為，且與同向共線；又因為，且與同向共線，，與同向共線，所以，且與同向共線，，故選項C正確；因為長方體的體積為．又因為由右手系知向量方向垂直底面向上，與反向，所以，故選項D錯誤；故選：C．解法二：如圖建立空間直角坐標系：，，，則，所以選項A錯誤；，則，故選項D錯誤；，故選項B錯誤；，則，，，則．所以，故選項C正確；故選：C．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量數(shù)量積定義可構(gòu)造方程求得，由此可得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故選：D.二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點P，當時，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（

）A．線段A，B的中點的廣義坐標為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則D．若向量垂直于向量，則【答案】AC【分析】由題目給的定義結(jié)合向量的線性運算、向量的模長、向量的平行及垂直依次判斷4個選項即可.【詳解】根據(jù)題意得，設(shè)A，B的中點為，則，故線段A，B的中點的廣義坐標為，A正確；，故，當向量，是相互垂直的單位向量時，A，B兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；與平行，當與存在時，結(jié)論顯然成立，當與都不為時，設(shè)，則，即，，，所以，故C正確；，當