均勻設(shè)計(jì)完整版本

第7章均勻設(shè)計(jì)均勻設(shè)計(jì)（uniformdesign）是中國數(shù)學(xué)家方開泰和王元于1981年首先提出來的，它是一種只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)類似，均勻設(shè)計(jì)也是通過一套精心設(shè)計(jì)的均勻表來安排試驗(yàn)的。由于均勻設(shè)計(jì)只考慮試驗(yàn)點(diǎn)的“均勻散布”，而不考慮“整齊可比”，因而可以大大減少試驗(yàn)次數(shù)，這是它與正交設(shè)計(jì)的最大不同之處。經(jīng)過20多年的發(fā)展和推廣，均勻設(shè)計(jì)法已廣泛應(yīng)用于化工、醫(yī)藥、生物、食品、軍事工程、電子、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域，并取得了顯著的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。均勻設(shè)計(jì)（uniformdesign）：一種只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法通過均勻表來安排試驗(yàn)應(yīng)用：試驗(yàn)因素變化范圍較大，需要取較多水平時(shí)

例如：5因素31水平的試驗(yàn)：正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)≥312＝961均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)：317.1均勻設(shè)計(jì)表7.1.1等水平均勻設(shè)計(jì)表（1）記號(hào)：

Un(rl)或Un*(rl)U——均勻表代號(hào)；n——均勻表橫行數(shù)（需要做的試驗(yàn)次數(shù)）；r——因素水平數(shù)，與n相等；l——均勻表縱列數(shù)；*——均勻性更好的表，優(yōu)先選用Un*表

D表示均勻度的偏差(discrepancy)，D↓，均勻分散性↑（2）使用表

每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都附有一個(gè)使用表根據(jù)使用表可將因素安排在適當(dāng)?shù)牧兄?，例如，上表是U7（74）的使用表，由該表可知，兩個(gè)因素時(shí)，應(yīng)選用1，3兩列來安排試驗(yàn)；當(dāng)有三個(gè)因素時(shí)，應(yīng)選用1，2，3三列……。

如果有兩個(gè)因素，若選用U7（74）的1，3列，其偏差D=0.2398，若選用U7*（74）的1，3列，相應(yīng)偏差D=0.1582，后者較小，可見光Un和Un*表都能滿足試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先用Un*表示。1.每列不同數(shù)字都只出現(xiàn)一次,即每個(gè)因素在每個(gè)水平僅做一次試驗(yàn)2.任兩個(gè)因素的試驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)在平面的格子點(diǎn)上，每行每列有且僅有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)

性質(zhì)①和②反映了試驗(yàn)安排的“均衡性”，即對(duì)各因素的每個(gè)水平是一視同仁的。

（3）等水平均勻表的特點(diǎn)1，3列1，4列1123456234567-17-2③均勻設(shè)計(jì)表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價(jià)。例如用U6（64）1、3列和1、4列的水平組合分別畫格子點(diǎn)圖，得圖7-1和圖7-2。我們看到，在圖7-1中，試驗(yàn)點(diǎn)散布得比較均勻，而圖7-2中的點(diǎn)散布并不均勻。根據(jù)U6（64）的使用表（表7-6），當(dāng)因素?cái)?shù)為2時(shí)，應(yīng)將它們排在1，3列，而不是1，4列，可見圖7-1和圖7-2也說明了根據(jù)使用表安排的試驗(yàn)，均勻性更好，均勻設(shè)計(jì)表的這一性質(zhì)和正交表是不同的。4.等水平均勻表的試驗(yàn)次數(shù)與水平數(shù)一致均勻設(shè)計(jì)：試驗(yàn)次數(shù)的增加具有“連續(xù)性”，每增加一個(gè)水平，試驗(yàn)次數(shù)增加一次。如從6水平增至7水平，試驗(yàn)次數(shù)從6增至7.，正交設(shè)計(jì)：試驗(yàn)次數(shù)的增加具有“跳躍性”

。當(dāng)水平增加時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)按水平數(shù)的平方的比例增加。如當(dāng)從6水平增至7水平時(shí)，最少試驗(yàn)次數(shù)從36增至49.均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)量較少，這使均勻設(shè)計(jì)有更大的靈活性。

均勻設(shè)計(jì)適用于因素水平數(shù)較多的實(shí)驗(yàn)，但在具體的試驗(yàn)中，有時(shí)很難保證不同因素的水平數(shù)相等，因此直接利用等水平的均勻表來安排試驗(yàn)就有一定的困難，因此可采用擬水平法將等水平均勻表轉(zhuǎn)化成混合水平均勻表的方法7.1.2混合水平均勻設(shè)計(jì)表例：如果某試驗(yàn)中，有A，B，C三個(gè)因素，其中因素A，B有三個(gè)水平，因素C有二水平，分別記作A1，A2，A3，A1，B1，B2，B3和C1，C2。顯然，這個(gè)試驗(yàn)可以用混合正交表L18(21×37)來安排，需要做18次試驗(yàn)，這等價(jià)于全面試驗(yàn)；若用正交試驗(yàn)的擬水平法，則可選用正交表L9（34）。直接運(yùn)用等水平均勻設(shè)計(jì)是有困難的，這就要運(yùn)用擬水平法。采用均勻設(shè)計(jì)，可選擇U6*（64）來改造成U6（32×21）。步驟：（1）根據(jù)使用表，將A和B放在前兩列，C放在第三列；（2）將前兩列的水平進(jìn)行合并：{1，2}→1，{3，4}→2；{5，6}→3.將第三列水平合并：{1，2，3}→1，{4，5，6}→2，得到下面設(shè)計(jì)表7-7。試驗(yàn)號(hào)列號(hào)1231(1)1(2)1(3)12(2)1(4)2(6)23(3)2(6)3(2)14(4)2(1)1(5)25(5)3(3)2(1)16(6)3(5)3(3)27-7改造要求：混合均勻表有較好的均衡性，即兩列的水平組合要均衡例如，A列和C列，B列和C列的二因素設(shè)計(jì)正好組成它們的全面試驗(yàn)方案，A列和B列的二因素設(shè)計(jì)中沒有重復(fù)試驗(yàn)?；旌纤骄鶆虮淼娜我涣猩?，不同水平出現(xiàn)次數(shù)是相同的，但出現(xiàn)次數(shù)≥1例2：安排一個(gè)二因素（A,B）五水平和一因素（C）二水平的試驗(yàn)若采用正交設(shè)計(jì)，用L50表，試驗(yàn)次數(shù)太多。若采用均勻設(shè)計(jì)，可用混合水平表U10(52×21)，只需10次試驗(yàn)。該表可由U10*(108)生成，由于U10*(108)有8列，我們希望從中選擇三列，要求由該三列生成的混合水平表U10(52×21)有好的均衡性，于是選用1，2，5列。對(duì)1、2列采用水平合并：{1，2}→1，{3，4}→2，…，{9,10}→5；對(duì)第5列水平合并：{1，2，3，4，5}→1，{6，7，8，9，10}→2，得到下表方案：試驗(yàn)號(hào)ABC1(1)1(2)1(5)12(2)1(4)2(10)23(3)2(6)3(4)14(4)2(8)4(9)25(5)3(10)5(3)16(6)3(1)1(8)27(7)4(3)2(2)18(8)4(5)3(7)29(9)5(7)4(1)110(10)5(9)5(6)2可見，對(duì)同一個(gè)等水平均勻表進(jìn)行擬水平設(shè)計(jì)，可以得到不同的混合均勻表，這些表的均衡性也不相同，而且參照使用表得到的混合均勻表不一定都有較好的均衡性，本書附錄9給出了一批用擬水平法生成的混合水平均勻設(shè)計(jì)表，可以直接參考選用。7.2均勻設(shè)計(jì)基本步驟（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)（2）選因素（3）確定因素的水平可以隨機(jī)排列因素的水平序號(hào)（4）選擇均勻設(shè)計(jì)表根據(jù)試驗(yàn)的因素?cái)?shù)和水平數(shù)來選擇參考使用表首選Un*表

7.2均勻設(shè)計(jì)基本步驟用均勻設(shè)計(jì)表來安排試驗(yàn)與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的步驟很相似，但也有一些不同之處。一般步驟如下。（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)。如果試驗(yàn)要考察多個(gè)指標(biāo)，還要將各指標(biāo)進(jìn)行綜合分析。（2）選因素。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)知識(shí)，挑選出對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響較大的因素。（3）確定因素的水平。結(jié)合試驗(yàn)條件和以往的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，先確定各因素的取值范圍，然后在這個(gè)范圍內(nèi)取適當(dāng)?shù)乃?。由于Un奇數(shù)表的最后一行，各因素的最大水平序號(hào)與水平實(shí)際數(shù)值的大小順序一致，則會(huì)出現(xiàn)所有因素的高水平或低水平相遇的情形。如果是化學(xué)反應(yīng)，則可能出現(xiàn)因反應(yīng)太劇烈而無法控制的現(xiàn)象，或者反應(yīng)太慢，得不到試驗(yàn)結(jié)果。為了避免這些情況，可以隨機(jī)排列因素的水平序號(hào)，另處使用Un*均勻表時(shí)也可以避免上述情況。（4）選擇均勻設(shè)計(jì)表。這是均勻計(jì)表。這是均勻設(shè)計(jì)很關(guān)鍵的一步，一般根據(jù)試驗(yàn)的因素?cái)?shù)和水平數(shù)來選擇，并首選Un*表。但是，由于均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果多采用多元回歸分析法，在表時(shí)還應(yīng)注意均勻表的試驗(yàn)次數(shù)與回歸分析的關(guān)系。（5）進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。根據(jù)試驗(yàn)的因素?cái)?shù)和該均勻表對(duì)應(yīng)的使用表，將各因素安排在均勻表相應(yīng)的列中，如果是混合水平的均勻表，則可省去表頭設(shè)計(jì)這一步，需要指出的是，均勻表中的空列，既不能安排交互作用，也不能用來估計(jì)試驗(yàn)誤差，所以在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)不用列出。（6）明確試驗(yàn)方案，進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)方案的確定與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是類似。（7）試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析，由于均勻表沒有整齊可比性，試驗(yàn)結(jié)果不能用方差分析法，可采用直觀分析法和回歸分析法。①直觀分析法：如果試驗(yàn)?zāi)康闹皇菫榱藢ふ乙粋€(gè)可行的試驗(yàn)方案或確定適宜試驗(yàn)范圍，就可以采用直觀分析法，直接對(duì)所得到的幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，從中挑出試驗(yàn)指標(biāo)最好的試驗(yàn)點(diǎn)。由于均勻設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)分布均勻，用上述法找到的試驗(yàn)點(diǎn)一般距離最佳試驗(yàn)點(diǎn)也不會(huì)很遠(yuǎn)，所以該法是一種非常有效的方法。②回歸分析法：均勻設(shè)計(jì)的回歸分析一般為多元回歸分析，通過回歸分析可以確定試驗(yàn)指標(biāo)與影響因素之間的數(shù)學(xué)模型，確定因素的主次順序和優(yōu)方案等。但直接根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，計(jì)算量很大，一般需借助相關(guān)的計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行分析計(jì)算。7.3均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用（1）例7-1：在淀粉接枝丙烯酸制備高吸水性樹脂的試驗(yàn)中，為了提高樹脂吸鹽水的能力，考察了丙烯酸用量（X1），引發(fā)劑用量（X2），丙烯酸中和度（X3）和甲醛用量（X4）

4個(gè)因素，每個(gè)因素9個(gè)水平。水平丙烯酸用量x1引發(fā)劑用量x2丙烯酸中和度x3甲醛用量x4112.00.348.00.20214.50.453.50.35317.00.559.00.50419.50.664.50.65522.00.770.00.80624.50.875.50.95727.00.981.01.10829.51.086.51.25932.01.192.01.40解：根據(jù)因素和水平，可以選取均勻設(shè)計(jì)表U9*（94）或U9（95），但由它們的使用表可以以發(fā)現(xiàn)，均勻表U9*（94）最多只能安排3個(gè)因素，因此我們選U9（95）來安排試驗(yàn)。根據(jù)使用表，將x1、x2、x3、x4分別放在表的1、2、3、5列。實(shí)驗(yàn)方案和結(jié)果如下表。注：表中（）內(nèi)的數(shù)字表示因素水平值，它們與（）外的水平編號(hào)相對(duì)應(yīng)，下同。序號(hào)丙烯酸用量x1引發(fā)劑用量x2丙烯酸中和度x3甲醛用量x4吸鹽水倍率y11(12.0)2(0.4)4(64.5)8(1.25)3422(14.5)4(0.8)8(86.5)7(1.10)4233(17.0)6(1.0)3(59.0)6(0.95)4044(19.5)8(1.2)7(81.0)5(0.80)4555(22.0)1(0.3)2(53.5)4(0.65)5566(24.5)3(0.5)6(75.5)3(0.50)5977(27.0)5(0.7)1(48.0)2(0.35)6088(29.5)7(0.9)5(70.0)1(0.20)6199(32.0)9(1.1)9(92.0)9(1.40)63如果采用直觀分析法，由上表可看出9號(hào)試驗(yàn)所得產(chǎn)品的吸鹽水能力最強(qiáng)，因此獲得較優(yōu)的工藝條件。如果已知試驗(yàn)指標(biāo)y與4個(gè)因素之間滿足線性關(guān)系，利用EXCEL對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行回歸分析得到回歸方程：Y=18.585+1.644x1-11.667x2+0.101x3-3.333x4由于回歸方程為線性方程，可根據(jù)偏回歸系數(shù)正負(fù)判斷各因素與試驗(yàn)結(jié)果的正負(fù)相關(guān)性系數(shù)為正，表明試驗(yàn)指標(biāo)隨該因素的增加而增加系數(shù)為負(fù)，表明試驗(yàn)指標(biāo)隨該因素的增加而減小判斷因素主次：對(duì)偏回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，t越大，所對(duì)應(yīng)的偏回歸系數(shù)越顯著，相應(yīng)的因素也越重要。由于回歸方程為線性方程，所以可根據(jù)偏回歸系數(shù)的正負(fù)確定優(yōu)方案。依據(jù)第一個(gè)回歸方程，x1和x3的系數(shù)為正，表明試驗(yàn)指標(biāo)隨因素x1、x3增加而增加；x2和x4的系數(shù)為負(fù)值，，則表示試驗(yàn)指標(biāo)隨因素x2、x4的增加而減少。所以，在確定優(yōu)方案時(shí)，因素x1,x3的取值應(yīng)偏上限即丙烯酸用量取32mL。將以上各值代入上述回歸方程，得到y(tǒng)=76.3，這一結(jié)果好于表7-11中的9個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，但是否可行，還應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。為了得到