高中數(shù)學知識梳理與解題指要

高中數(shù)學知識梳理與解題指要一、數(shù)學高考介紹二、數(shù)學知識梳理三、數(shù)學試題簡析四、數(shù)學解題指要

(’99全國)向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是（

）一、高考數(shù)學命題的特點與要求高考數(shù)學命題的特點B位置?數(shù)值

h

HV

V0

O

f(

)==

f

(

x

)+f

()=1.（2002全國）已知函數(shù)f(x)=

則

f(

1

)+f(

2

)+f()+f(

3

)+f()+f(

4

)+

f()=.結構特征高考數(shù)學是考查數(shù)學基礎的考試①基礎知識②基本技能③基本數(shù)學思想方法ａ、數(shù)形結合（轉換策略）ｂ、函數(shù)與方程（分析策略）ｃ、分類討論（分解策略）ｄ、等價轉換（分析策略）①在高考數(shù)學命題中，經(jīng)歷了“以知識立意”到以“問題立意”，再發(fā)展為“以能力立意”的過程。②以能力立意命題，保障了高考突出能力與學習潛能考查的要求。③以能力立意命題拓展了命題思路。④以能力立意命題于題型設計，易于形成綜合自然、新穎脫俗的試題。⑤以能力立意命題在全卷的整合時，對試題的整體布局、層次安排有高屋建瓴之勢。。⑥以能力立意命題促進了高考改革的深入發(fā)展。高考數(shù)學注重能力考查

（’2001全國）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián)．連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞．則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）°°°°°°°°AB121266683457A.26B.24C.20D.19

3+4+6+6=19D高考數(shù)學對難度和速度均有要求木桶原理知識要求 ①了解 ②理解和掌握 ③靈活和綜合運用能力要求 ①思維能力 ②運算能力 ③空間想像能力 ④實踐能力 ⑤創(chuàng)新意識個性品質要求高考數(shù)學的要求二、高考數(shù)學知識梳理與復習高考數(shù)學知識梳理

平面向量 ①理解向量的概念，掌握向量的幾何表， 了解共線向量的概念。②掌握向量的加法與減法。 ③掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量 共線的充要條件。④了解平面向量的基本定理，理解平面向量

的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。⑤掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了

解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、

角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。⑥掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的

定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運

用、掌握平移公式。①理解集合、子集、補集、交集、并集的

概念。了解空集和全集的意義。了解屬 于、包含、相等關系的意義。掌握有關 的術語和符號，并會用它們正確表示一 些簡單的集合。②理解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非” 的含義。理解四種命題及其相互關系，掌 握充分條件、必要條件及充要條件的意 義。集合、簡易邏輯函數(shù)①了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。②了解函數(shù)單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性、奇偶性的方法。③了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖

像間的關系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。④理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪

的運算性質。掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象

和性質。⑤理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質，

掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質。⑥能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函

數(shù)的性質解決某些簡單的實際問題。①理解不等式的性質及其證明。②掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術

平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定

理，并會簡單的應用。③掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單

的不等式。④掌握簡單不等式的解法。⑤理解不等式∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣不等式①理解任意角的概念、弧度的意義，能正

確地進行弧度與角度的換算。②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定

義。了解余切、正割、余割的定義，掌

握同角三角函數(shù)的基本關系式：

sin2α+cos2α=1，，tanαcotα=1。

掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期

函數(shù)與最小正周期的意義。③掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切

公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。三角函數(shù)④能正確運用三角公式，進行簡單的三角函

數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。⑤了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖

像和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（ωx+ψ）的簡圖，

理解A、ω、ψ的物理意義。⑥會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號

arcsinx、arccosx、arctanx表示。⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用

它們解斜三角形。①理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的

意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種

方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前

幾項。②理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的

通項公式與前n項和公式，并能解決簡單

的實際問題。③理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的

通項公式與前n項和公式，并能解決簡單

的實際問題。數(shù)列①理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過

兩點的直線的斜率公式。掌握直線方程的

點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件

熟練地求出直線方程。②掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直

線所成的角和點到直線的距離公式。能夠

根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關

系。③了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。直線和圓的方程④了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用。⑤了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。⑥掌握圓的標準方程和一般方程，理解圓的

參數(shù)方程。①掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡

單幾何性質。理解橢圓的參數(shù)方程。②掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。③掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線

的簡單幾何性質。④了解圓錐曲線的初步應用。圓錐曲線方程①掌握平面的基本性質，會作斜二測的畫

法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能

夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各

種益關系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它

們的位置關系。②掌握直線和平面平行的判定定理和性質

定理；掌握直線和平面垂直的判定定

理；掌握三垂線定理及其逆定理。③理解空間向量的概念，掌握空間向量的

加法、減法和數(shù)乘。直線、平面、簡單幾何體④了解空間向量的基本定理；理解空間向量

坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算。⑤掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質；

掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間距離公式。⑥理解直線的方向向量、平面的法向量、向

量在平面內(nèi)的射影等概念。⑦掌握直線和直線、直線和平面、平面和平

面所成的角、距離的概念。⑧了解多面體、凸多面體的概念，了解正多

面體的概念。⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫

直棱柱的直觀圖。⑩了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會

畫正棱錐的直觀圖。

11了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的

表面積、體積公式○

①掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并

能用它們分析和解決一些簡單的應用問

題。②理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公

式，并能用它解決一些簡單的應用問題。③理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和

組合數(shù)的性質，并能用它們解決一些簡單

的應用問題。④掌握二項式定理和二項展開式的性質，并

能用它們計算和證明一些簡單的問題。排列、組合、二項式定理①了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性的隨

機事件概率的意義。②了解等可能性事件的概率的意義，會用

排列組合的基本公式計算一些等可能性

事件的概率。③了解互斥事件與相互獨立事件的意義，

會用互斥事件的概率加法公式與相互獨

立事件的概率乘法公式計算一些事件的

概率。④會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)

生k次概率。概率①了解隨機抽樣，了解分層抽樣的意義，

會用它們對簡單實際問題進行抽樣。②會用樣本頻率分布估計總體分布。③會用樣本估計總體期望值和方差。統(tǒng)計①了解導數(shù)概念的實際背景。②理解導數(shù)的幾何意義。③掌握函數(shù)y=c（C為常數(shù)）、y=xn（n∈N+）

的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)。④理解極大值、極小值、最大值、最小值的

概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調區(qū)

間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值

和最小值。⑤會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大

值和最小值。

導數(shù)設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f(x),且f(x)=x3+2xf

(1)則f(0)=()A.0B.-3C.-6D.6關鍵

理解f(1)是常量

∵f(x)=3x2+2f(1),

∴f(0)=2f(1).

①

又

f(1)=3+2f(1),∴f(1)=-3.代入

①式,得f(0)=-6.高考復習“四字訣”實：小處不可隨便活：海闊憑魚躍 ①解題后的再思考例求證：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ（n∈z） 它的通常解法是： 證明：

（1）當n為偶數(shù)時，設n=2k（k∈z）

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ） =sinθcosθ=sin2θ

1212（2）當n為奇數(shù)時，設n=2k+1（n∈z）

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ

=sin（2kπ+π+θ）·cos（2kπ+π-θ）

=（-sinθ）（-cosθ）=sin2θ

綜上得：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ

無論是n為偶數(shù)，還是n為奇數(shù)，都有：

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ，這就引起了我們的再思考。思考：上面的討論是雷同的，是否可以回避?121212②深層次挖掘教材如：{an}為等差數(shù)列，a1、a2、a9成等比數(shù)列則題目的來源：選擇特殊數(shù)列為背景，最常

見、最先想到的是自然數(shù)列，易知它滿足條

件，所以選an=n。再如函數(shù)這一部分，復習時可對y=和

y=logax的圖象和性質進行研究。廣：天高任鳥飛

①全面復習，知識和能力并重 ②學會學習新：萬變不離其宗 ①“舊題”新解，追求優(yōu)美

例如：過拋物線y2=x上一點（4，2），作傾角互補的兩條直線AB、AC交拋物線

B、C，求證：直線BC的斜率為定值。思考：

按照與作圖步驟相吻合的思路來求解。

解：設KAB=K，則，KAC=-K，AB的方程為

y=k（x-4）+2

因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程組的解。y2=xy=k（x-4）+2解之得XB=

·（4k2-4k+1），YB=同樣的方法可得XC=

，YC=可求得KBC=再思考：在解題過程中，求B點坐標的計算量比較

大，應該想辦法改進。我們還再回顧一下原來的解題程序。設KAB→寫直線AB、AC的方程→解出B、C→表示KBC改進：先設B、C坐標。改進后的程序為：設B、C坐標→求出KAB、KAC→表示KBC設B（，t2），C（，t2）（∣t1∣≠∣t2∣）這時KAB=，KAC=∵KAB=-KAC，即x0ABCy化簡得：t1+2=-（t2+2）下面怎么辦？似乎迷失了方向。我們還是

應該明確一下本題的目標。要證明KBC是

一個定值，于是不妨先求出KBCKBC=這就好了，原來是要證明t1+t2是定值。這樣，就自然想到將t1+2=-（t2+2）變形為

t1+t2=-4本題圓滿獲得解決。再改進：設B、C坐標→表示KBC→求出KAB、KAC②看透本質，新題通法。

“知識與技能”突出思想和智慧程序性主干性這里的技能特性也有兩點：獨立操作性：由重復再現(xiàn)過渡到獨立

完成； 遷移性：通過聯(lián)系的思想與轉換的手

段達到靈活運用、舉一反三和觸類旁

通的目的。三、去年高考數(shù)學試題的亮點例1（高考第一題第6小題）某校為了了解學生的課外

閱讀情況，隨機調查了50名學生，得到他們在某

一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結果用圖形

表示，根據(jù)條形圖可得這50名學生這一天平均每

人的課外閱讀時間為

A、小時

B、小時

C、小時

D、小時解析一天平均每人課外閱讀時間為（小時）故選B。時間（小時）00.51.01.52.0xy2015105人數(shù)（人）例2（高考第一題第8小題）設k>1，f（x）=k（x-1）

（x∈R）。在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)

y=f(x)的圖象與x軸變于A點，它的反函數(shù)

y=f-1(x)的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數(shù)的圖象交于P點，已知四邊形OAPB的面積是

3，則k等于（）

A、3

B、

C、

D、01Axy

1Bp解析:依題意A（1，0），B（0，1），

y=f（x）與y=f-1（x）的交點必在

直線y=x上。由y=k（x-1），

y=x

解得：x=

因為S四邊形OAPB=2S△OPA=2·

∣OA∣·∣xp∣==3，所以k=。故此選B“過程與方法”重視價值和策略例3(高考第二題第16小題)平面向量a、b

中，已知a=(4，-3)，∣b∣=1且a·b=5

則向量b=

。

[方法1]設a與b夾角為θ。則由a·b=5→∣a∣∣b∣cosθ=5→5·1·cosθ=5→cosθ=1→θ=0o

所以b與a共線且方向相同，

b=（，-)。解析解決本題至少可從這樣兩個角度思考[方法2]設b=（x，y）

x2+y2=1x=4x-3y=5y=-或利用直線4x-3y=5與圓x2+y2=1相切的特征，借助幾何圖形，利用幾何方法，求得切點坐標為（，-）b=（，-）則→“情感、態(tài)度與價值觀”體現(xiàn)感悟和動力例4（高考第六大題）制訂計劃時，

不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考

慮可能出現(xiàn)的虧損。某人打算甲、乙兩個項目，根

據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大利率分別

為100%為50%，可能的最大虧損率分別為

30%和10%，人計劃金額超過10

萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8

萬元。問人對甲、乙兩個項目各

多少萬元，才能使可能的盈利最大？解析設人分別用x萬元，y萬元甲、乙兩個項目，由題意知x+y≤10，0.3X+0.1y≤1.8,x≤0,y≥0.目標函數(shù)z=x+0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域。作直線L：x+0.5y=0，并作平行于直線L的一組直線。X+0.5y=z，z∈R，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且與直線x+0.5y=0的距離最大，這里M點是直線x+y=10和的交點。Y18100610xx+0.5y=0M(4,6)

x+y=10L解方程組 x+y=10得x=4，y=6此時z=1×4+0.5×6=7（萬元）因為7>0，所以x=4，y=6時z取最大值。答：人用4萬元甲項目、6萬元投

資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8

萬元的前提下，使可能的盈利最大。多思善想思聯(lián)系，網(wǎng)絡知識，夯實基礎例1α、β是兩個不同的平面，m、n是

平面α及β之外的兩條不同直線，給

出四個論斷：①m⊥n，②α⊥β，

③n⊥β，④m⊥α，以其中三個論

斷作為條件，余下一個論斷作為結

論，寫出你認為正確的一個命題

。

四、高考數(shù)學復習解題指要思路1：題目結構中a、b、c具有輪換對稱性，

可將右式分為三個部分，用綜合法易證：

（a+b），（b+c）， （a+c），三式相加即得。 例2已知a>0，b>0，c>0，求證：（a+b+c）思多解，多方出擊，培養(yǎng)思維的發(fā)散性是三角函數(shù)的特殊值，聯(lián)系三角知識，可從右邊證到左邊。思路2：（a+b）=asin+bcos=sin（+φ）≤（a+c）≤三式相加即得。（b+c）≤

BαabAc同理：≥（a+c）三式相加即得。思路3觀察左邊三個根式，聯(lián)系立幾知識，它們

是以a、b、c為三度的長方體的三個面的對

角線長度，可構造長方體來證明，如圖:∣AB∣=，a+b=∣AB∣sinα+∣AB∣cosα

=（sinα+cosα）=sin（α+）≤所以≥（a+b）思規(guī)律，找變化，觸類旁通例3試證以過橢圓的焦點的弦為直徑的圓必

和橢圓相應的準線相離。例4已知異面直線a和b所成的角為50o，P為

空間任一定點，則P點且與a、b所成的

角都是30o的直線有且僅有（）

A、1條B、2條C、3條D、4條在本題中50o和30o的設置對答案起著重

要作用。因此，可通過改變50o和30o的

大小來深化對這類題目的理解。（1）若將50o改為25o，其余條件不變，則答

案是

。（2）若將50o改為65o，其余條件不變，則答

案

。（3）若將30o改為70o，其余條件不變，則答

案是

。（4）若將50o改為xo，30o改為yo，且答案為A，

則x、y的關系式為

；若答案為B，則

x、y的關系為

；若答案為C，則x、

y的關系為

；若答案為D，則x、y的

關系為

。例5求和S=（x+）+（x2+）+…+（xn+）錯解：S=（x+x2+x3+…+xn）+(++…+)=+這是應用等比數(shù)列求和公式時很容易出現(xiàn)的

問題,按照等比數(shù)列求和公式,當公式q是一個不確

定的數(shù)時,求其前n項和,則要考慮q=1,q≠1兩種情

況,因此應分四種情形求解:（1）x=1，y≠1；

（2）x≠1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x≠1，y≠1思錯處，找錯因，提高辨別解題錯誤的能力例6過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線和

這條拋物線相交于P1、P2兩點，兩個交點的

縱坐標分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2①已知條件不變時

a、求證：x1x2=；

b、求焦點弦∣P1P2∣的長；

c、求△OP1P2的面積；

d、求焦點弦P1P2中點的軌跡方程；

e、求證：

f、求證：以焦點弦為直徑的圓必與準線

相切。

思演變，層層深入，提高應變能力②改成逆命題：一條直線與拋物線y2=2px（p>0）

相交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）兩點，如果

滿足y1y2=-p2（或x1x2=），那么這條直線過

拋物線的焦點。③已知條件不變，再附加條件“過P1、P2分別作x

軸的垂線，垂足為M1、M2”，求證：

∣OM1∣、∣OF∣、∣OM2∣成等比數(shù)列。④已知條件不變，再附加條件“過焦點F，再作

一條與P1P2垂直的弦P3P4”，求以此兩弦為對

角線的內(nèi)接四邊形的面積的最小值。弄清問題（解題應從弄清問題開始）①化簡策略：從最復雜的地方開刀②語言變換策略：用不同的語言重新敘述③分析策略：假設問題已經(jīng)解決變換問題①聯(lián)想策略：聯(lián)想一個熟悉的問題②討論策略：先解決問題的部分解題策略方法2：語言變換數(shù)形結合。

f（x）=∣x+2∣，g（x）=∣x∣。方法1：討論分x≤-2，-2<x<