2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)16空間距離習(xí)題課新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)16空間距離(習(xí)題課)基礎(chǔ)鞏固1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1究竟面ABCD的距離為()圖1A.eq\f(\r(3),3) B．1C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：因為正棱柱AC1中，BB1⊥平面ABCD，所以AB1與平面ABCD所成的角是∠B1AB.由AB＝1可得BB1＝eq\r(3).因為AA1⊥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距離為eq\r(3).故選D.答案：D2．把邊長為a的正△ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點A到BC的距離是()A．a(chǎn) B.eq\f(\r(6),2)a C.eq\f(\r(3),3)a D.eq\f(\r(15),4)a解析：折后BC＝eq\f(a,2)，∴點A到BC的距離為eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15)a,4).答案：D3．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°.△ABC所在平面外一點P到三個頂點A、B、C的距離都是14，那么點P到平面ABC的距離為()A．7B．9C．11D．13解析：BC＝eq\r(92＋152－2×9×15cos120°)＝21.∴△ABC外接圓半徑R＝eq\f(21,2sin120°)＝7eq\r(3)，∴點P到α的距離為eq\r(142－（7\r(3)）2)＝7.答案：A4．如圖2，將銳角為60°，邊長為a的菱形ABCD沿較短的對角線折成60°的二面角，則AC與BD的距離是()圖2A.eq\f(3,4)a B.eq\f(\r(3),4)aC.eq\f(\r(3),2)a D.eq\f(\r(6),4)a解析：取BD的中點O連AO、OC，作OE⊥AC于E，則OE為所求，∴AO＝CO＝AC＝eq\f(\r(3)a,2)，OE＝OC·cos30°＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)a.答案：A5．設(shè)平面α外兩點A和B到平面α的距離分別為4cm和1cm，AB與平面α所成的角是60°，則線段AB的長是________．解析：當(dāng)點A、B在α同側(cè)時，AB＝eq\f(3,sin60°)＝2eq\r(3)；當(dāng)點A、B在α異側(cè)時，AB＝eq\f(5,sin60°)＝eq\f(10\r(3),3).答案：2eq\r(3)cm或eq\f(10\r(3),3)cm6．如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A-DED1的體積為________．圖3解析：三棱錐A-DED1的體積等于三棱錐E-DD1A的體積，即VA-DED1＝VE-DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)實力提升1．空間四點A、B、C、D中，每兩點所連線段的長都等于a，動點P在線段AB上，動點Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為()A.eq\f(1,2)a B.eq\f(\r(2),2)aC.eq\f(\r(3),2)a D．a(chǎn)解析：P、Q的最短距離即為異面直線AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點，Q為CD的中點時符合題意，求得PQ＝eq\f(\r(2),2)a.答案：B圖42．如圖4，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，設(shè)點C到平面PAB的距離為d1，點B到平面PAC的距離為d2，則有()A．1<d1<d2 B．d1<d2<1C．d1<1<d2 D．d2<d1<1解析：點C到平面PAB的距離d1＝eq\f(\r(2),2)，點B到平面PAC的距離d2＝eq\f(1·\f(\r(2),2),\r(1＋\f(1,2)))＝eq\f(\r(3),3)，∵eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1，∴d2<d1<1.答案：D3．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1解析：如圖5，過C作CE∥BD，連接BE，AE，易得BE⊥AE，AC＝CE＝1，AE＝eq\r(2)，AB＝2，BE＝CD＝eq\r(2).圖5答案：C4．二面角α-MN-β等于60°，平面α內(nèi)一點A到平面β的距離AB的長為4，則點B到α的距離為________.解析：作AC⊥MN于C，連BC，則BC⊥MN，∴∠ACB＝60°，又MN⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，則BD⊥α，∴BD的長即為所求，得BD＝2.答案：25．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直．∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C.(1)求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大??；(2)求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大?。?3)求頂點C到側(cè)面A1ABB1的距離．解：(1)如圖6所示，作A1D⊥AC，垂足為D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC圖6∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C∴∠A1AD＝45°為所求．(2)作DE⊥AB垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角．由已知AB⊥BC得DE∥BC，又D是AC的中點，BC＝2，AC＝2eq\r(3)∴DE＝1，AD＝A1D＝eq\r(3)，tan∠A1ED＝eq\f(A1D,DE)＝eq\r(3)，故∠A1ED＝60°為所求．(3)連結(jié)A1B，依據(jù)定義，點C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐CA1AB的高h(yuǎn).由VCA1AB＝VA1ABC得eq\f(1,3)S△AA1B·h＝eq\f(1,3)S△ABC·A1D即eq\f(1,3)×2eq\r(2)·h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)，∴h＝eq\r(3)為所求．6．(2024年衡水高三一調(diào))如圖7的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F(xiàn)為CD的中點．圖7(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求此幾何體的體積．解：(1)證明：取CE的中點G，連接FG，BG.∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB，∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴A