3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算講義新人教B版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE104.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解n次方根及根式的概念.2.正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算.(重點(diǎn))3.駕馭根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))4.駕馭有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的學(xué)習(xí),培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.通過(guò)利用指數(shù)式的條件解決求值問(wèn)題,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).公元前五世紀(jì),古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯思索了一個(gè)問(wèn)題:邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度是多少呢?他發(fā)覺(jué)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示,也不能用分?jǐn)?shù)表示,希帕索斯的發(fā)覺(jué)使數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)2誕生了.問(wèn)題:若x2=3,則這樣的x有幾個(gè)?它們叫做3的什么?如何表示?答案這樣的x有2個(gè),它們都稱為3的平方根,記作±3.1.有關(guān)冪的概念一般地,an中的a稱為①底數(shù),n稱為②指數(shù).2.根式的相關(guān)概念和性質(zhì)(1)根式的概念:一般地,給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a,假如存在實(shí)數(shù)x,使得xn=a,則③x稱為a的n次方根;當(dāng)na有意義的時(shí)候,④na稱為根式,n稱為⑤根指數(shù),a稱為⑥(2)根式的性質(zhì):(i)(na)n=⑦a(ii)nan思索1:類比平方根、立方根,猜想:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),一個(gè)數(shù)的n次方根有多少個(gè)?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)呢?提示a為正數(shù):na為負(fù)數(shù):n零的n次方根為零,記為n03.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)定義:一般地,假如n是正整數(shù),那么:當(dāng)na有意義時(shí),規(guī)定a1n=⑧na;當(dāng)(2)意義:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a1n=amn=(na)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a-s=⑩1as(a0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義(3)運(yùn)算法則:(i)前提:s,t為隨意有理數(shù).(ii)法則:asat=as+t;(as)t=ast;(ab)s=asbs.思索2:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么?提示分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣.記憶分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的口訣:乘相加,除相減,冪相乘.4.實(shí)數(shù)指數(shù)冪一般地,無(wú)理指數(shù)冪at(a>0,t是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無(wú)理指數(shù)冪同樣適用.因此當(dāng)a>0,t為隨意實(shí)數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)指數(shù)冪at都有意義,對(duì)隨意實(shí)數(shù)s和t,類似有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則仍舊成立.探究一n次方根的化簡(jiǎn)與求值例1(易錯(cuò)題)化簡(jiǎn):(1)4((2)(a-1)2+(1解析(1)4(3(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易錯(cuò)點(diǎn)撥n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范圍n為奇數(shù)na∈Rn為偶數(shù)±n[0,+∞)1.已知-3<x<3,求x2-2x+1解析原式=(x-1)∵-3<x<3,∴當(dāng)-3<x<1時(shí),原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1≤x<3時(shí),原式=x-1-(x+3)=-4,∴原式=-探究二根式與指數(shù)冪的互化例2(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A.-x=(-x)12(x>0) B.6yC.x-34=41x3(2)用指數(shù)冪的形式表示y2答案(1)C解析(1)A選項(xiàng),-x=-x12B選項(xiàng),6y2=(y2)1C選項(xiàng),x-34=(x-3)D選項(xiàng),x-13(2)解法一:由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.y2x=y2x·解法二:由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.y2x=y2x·x3y1思維突破(1)記結(jié)論:amn=nam和a-(2)明途徑:一是由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;二是由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2.化簡(jiǎn):(1)aa(2)(2a23b12解析(1)aa=a·a12=a3(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]a23+12探究三指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例3已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析∵(x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思維突破式子中包含的指數(shù)互為相反數(shù)時(shí),通常用平方法進(jìn)行解決,平方后視察條件和結(jié)論的關(guān)系,變形求解即可.3.(1)(變結(jié)論)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(變條件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,∴x4+x-4=47,∴(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=±35.(2)∵(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,∴x2+x-2=11.1.下列各式正確的是()A.(-3)2=-3C.(3-2)3=-2 D.答案C2.已知a>0,則a3A.a12 B.C.a23答案D3a2=a23,則a3a2=3.化簡(jiǎn)(a3b12)A.a B.b C.ab D.答案A原式=a32b14÷(4.化簡(jiǎn):416x8答案2x2y解析∵x>0,y>0,∴416x8y4=424·x85.若10m=2,10n=3,則103m-n=.

答案83解析由已知得103m=(10m)3=23=8,∴103m-n=103m邏輯推理——指數(shù)運(yùn)算與均值不等式的應(yīng)用已知a>0,b>0,若2a·2b=2,則ab的最大值是.

審:由指數(shù)運(yùn)算法則以及2a·2b=2,可得a+b=1,再依據(jù)均值不等式ab≤a+聯(lián):求積的最值,會(huì)聯(lián)想到基本不等式,那就須要和為常數(shù),這個(gè)和剛好由指數(shù)運(yùn)算求得.解:∵函數(shù)g(x)=2x,且有g(shù)(a)·g(b)=2,∴①2=2a·2b=2a+b,∴a+b=1,∵a>0且b>0,∴②ab≤a+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),ab取得最大值1思:從已知條件中解出字母的值,然后代入求值,這種方法一般是不行取的,應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系,進(jìn)而整體代入求值,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的核心素養(yǎng).設(shè)x∈R且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N*)的個(gè)位數(shù)字是()A.2 B.5 C.6 D.7答案D∵x+x-1=3,∴當(dāng)n=1時(shí),x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,當(dāng)n=2時(shí),x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,當(dāng)n=3時(shí),x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,……則x2n+x-2n(n∈N*)的個(gè)位數(shù)字是7.——————————————課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練—————————————1.計(jì)算:12-1+823A.6 B.7 C.8 D.3答案B2.下列各式正確的是()A.8a8=a B.aC.4(-4)4答案D對(duì)于A,當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)等式不成立,故不正確;對(duì)于B,當(dāng)a=0時(shí),a0無(wú)意義,故不正確;對(duì)于C,4(-43.若(3-2x)-A.(-∞,+∞) B.-∞,32C.-∞,32答案C要使(3-2x)-34=14(34.化簡(jiǎn)(2a-3b-23)·(-3a-1b)÷(4aA.-32b2 B.32bC.-32b答案A原式=-6a-4b15.設(shè)α,β是方程2x2+3x+1=0的兩根,則14A.8 B.18C.-8 D.-1答案A由題意可知α+β=-32,則14α+β=146.x·3x答案x5解析x·3x2=(x·x23)12=x12·7.化簡(jiǎn):(1)π0+2-2×9412(2)(36a9)4(63a答案(1)118(2)a4解析(1)π0+2-2×21412=1+14×9412(2)(36a9)4(63a9)4=(3a96)4(6a3)4=(a96×38.已知2x=8y+1,9y=3x-9,則x+y=.

答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,①由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,②由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.計(jì)算下列各式的值:(1)(8)-23×((2)2(32×3)6+(22)43-4×1649-12解析(1)原式=(232)-23×(1023)92÷1052(2)原式=2(213×312)6+(212×214)4310.(多選)下列各式中正確的是()A.nm7=n7B.12(-3C.4x3+D.39=答案BDnm7=n7m-7,A錯(cuò)誤;12(-3)44x3+y3=(x39=(913)1故選BD.11.x=1+2b,y=1+2-b,則y=()A.x+1x-C.x-1答案D∵x=1+2b,∴2b=x-1.∴y=1+2-b=1+12b=2b12.化簡(jiǎn)(1+2-132)(1+2-116)(1+A.(1-2-132)-1 B.12C.1-2-132 D.1答案B因?yàn)?1+2-132)(1-2-132)=1-2-116,故將原式化為分?jǐn)?shù)形式,并且分子、分母同乘(1-2-13213.已知實(shí)數(shù)x滿意x2-3x+1=0,則x2+x-2=;

x32-答案7;4解析因?yàn)閷?shí)數(shù)x滿意x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,兩邊平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又x32-x-32x14.若x>0,y>0,且x-xy-2y=0,求2x解析∵x-xy-2y=0,x>0,y>0,∴(x)2-xy-2(y)2=0,∴(x+y)(x-2y)=0,由x>0,y>0得x+y>0,∴x-2y=0,∴x=4y,∴2x-xyy+215.若a,b,c為正實(shí)數(shù),ax=by=cz,1x+1y+1z答案1解析設(shè)ax=by=cz=k,則k>0,則a=k1x,b=k1y因此abc=k1xk1y16.已知實(shí)數(shù)x,y滿意