2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第六章平面向量與復(fù)數(shù)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示理

考點(diǎn)6.2平面對量基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1．平面對量基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的隨意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．2．平面對量的坐標(biāo)表示(1)向量及向量的模的坐標(biāo)表示①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．3．平面對量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.概念方法微思索1．若兩個向量存在夾角，則向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？為什么？提示不一樣．因?yàn)橄蛄坑蟹较?，而直線不考慮方向．當(dāng)向量的夾角為直角或銳角時，與直線的夾角相同．當(dāng)向量的夾角為鈍角或平角時，與直線的夾角不一樣．2．平面內(nèi)的任一向量可以用隨意兩個非零向量表示嗎？提示不肯定．兩個向量只有不共線時，才能作為一組基底表示平面內(nèi)的任一向量．3．已知三點(diǎn)A，B，C共線，O是平面內(nèi)任一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，寫出x，y的關(guān)系式．提示x＋y＝1.真題真題演練1．（2024?全國）設(shè)向量，，則和的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)和的夾角為，，，向量，，，，，故選C．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在矩形ABCD中，，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與BD相切的圓上．若，則的最大值為（）A．3 B． C． D．2【答案】A【解析】如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值為3，故選A．3．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)向量，，若，則__________．【答案】5【解析】向量，，若，則，則，故答案為：5．4．（2024?江蘇）在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是__________．【答案】0或【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．當(dāng)時，，此時與重合，；當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，．的長度是0或．故答案為：0或．5．（2024?全國）已知向量，，若，則__________．【答案】【解析】；；．故答案為：．6．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，，則，__________．【答案】【解析】，，，，．故答案為：．7．（2024?浙江）已知正方形的邊長為1．當(dāng)每個，2，3，4，5，取遍時，的最小值是__________，最大值是__________．【答案】0，【解析】正方形的邊長為1，可得，，，，由于，2，3，4，5，取遍，可得，，可取，，，，可得所求最小值為0；由，的最大值為4，可取，，，，，可得所求最大值為．故答案為：0，．8．（2024?北京）已知向量，，且，則__________．【答案】8【解析】由向量，，且，得，．故答案為：8．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，，．若，則__________．【答案】【解析】向量，，，，，，解得．故答案為：．10．（2024?北京）設(shè)向量，．若，則__________．【答案】【解析】向量，．．，，解得．故答案為：．11．（2024?北京）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為原點(diǎn)，則的最大值為__________．【答案】【解析】設(shè)，，．則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故答案為：6．12．（2024?山東）已知向量，，若，則__________．【答案】【解析】，，解得．故答案為：．13．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，，且，則__________．【答案】2【解析】向量，，且，，解得．故答案為：2．14．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知向量，，若向量與垂直，則__________．【答案】7【解析】向量，，，向量與垂直，，解得．故答案為：7．15．（2024?江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則__________．【答案】3【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．．由與的夾角為，且．，．．．．．，，，解得，．則．故答案為：3．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?咸陽模擬）已知向量，，則（）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】向量，，，，，，．故選B．2．（2024?東莞市一模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】向量，，，，，，解得，故選C．3．（2024?全國Ⅰ卷模擬）ABCO，為原點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，中，有，又由，，則，，則，則；故選A．4．（2024?黔東南州模擬）若向量，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，，故選D．5．（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）已知向量，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，向量，，則，又由，則，解可得；故選B．6．（2024?全國模擬）設(shè)向量，，，且，則（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，，，解得，故選A．7．（2024?全國I卷模擬）已知，，若點(diǎn)滿意，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．， B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由，，得，；又，，即，解得；點(diǎn)坐標(biāo)為．故選D．8．（2024?定遠(yuǎn)縣模擬）若向量與向量共線，則（）A．0 B．4 C． D．【答案】D【解析】向量與向量共線，則，解得，，．故選D．9．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B．4 C．或2 D．或4【答案】C【解析】向量，，，且，，，解得．故選C．10．（2024?丹東模擬）AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，．故選D．11．（2024?湘潭三模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】向量，，若，則，求出，故選C．12．（2024?重慶模擬）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，，，，，故和不垂直，故錯誤；，故故和不共線，故錯誤；，，，和不垂直，故錯誤；，，，，故正確，故選D．13．（2024?袁州區(qū)校級模擬）平面對量與的夾角為，且，，則在方向上的投影為（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】；；，且；在方向上的投影為．故選C．14．（2024?新余二模）已知，，，則（）A．2 B． C．1 D．0【答案】A【解析】；；；；；．故選A．15．（2024?雨花區(qū)校級模擬）已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】向量，，，，，，解得．故選A．16．（2024?臨川區(qū)校級模擬）已知向量，，且，則的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【答案】B【解析】向量，，且，，，解得．故選B．17．（2024?西安三模）已知向量，，若與垂直，則的值為（）A．7 B． C． D．【答案】B【解析】；與垂直；；．故選B．18．（2024?香坊區(qū)校級二模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】向量，，，，，解得．故選A．19．（2024?青島二模）已知平面對量的夾角為，且，則（）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】，．故選D．20．（2024?潮州二模）已知向量，，且，則（）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】；；；；；．故選C．21．（2024?廣東二模）設(shè)向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】；；；；；與共線．故選B．22．（2024?邯鄲一模）在平行四邊形ABCD中，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：設(shè)，，則：；；；；又，；，，；；；點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選A．23．（2024?云南一模）已知點(diǎn)，，若向量，則向量（）A． B． C． D．【答案】D【解析】；．故選D．24．（2024?巴州區(qū)校級模擬）向量，，則（）A． B． C． D．．【答案】B【解析】．故選B．25．（2024?秦州區(qū)校級模擬）已知向量，，且，則（）A． B． C．6 D．8【答案】D【解析】，，，又，，解得．故選D．26．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知平面對量，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，且，，解得，，，，，，，，，故選C．27．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知，，則與的坐標(biāo)分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，則，，，，，，，故選D．28．（2024?西湖區(qū)校級模擬）若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，．故選B．29．（2024?山東模擬）設(shè)向量，，則（）A． B． C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】，錯誤；，，，錯誤，正確；，且，的夾角為，正確．故選CD．30．（2024?寧德二模）已知向量，，且，共線，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋簿€，所以，即，所以，則，故答案為：．31．（2024?日照一模）已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得．故答案為：?2．（2024?4月份模擬）已知向量，，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，即．故答案為：?3．（2024?3月份模擬）已知向量，則__________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，，，；．故答案為：?4．（2024?安徽模擬）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】由點(diǎn)在的平分線上，所以存在，使，，，；又，所以，解得，所以向量．故答案為：．35．（2024?山西模擬）已知點(diǎn)，，則__________；與同方向的單位向量為__________．【答案】，，【解析】由點(diǎn)，，則，，；所以與同方向的單位向量是，．故答案為：，，．36．（2024?天河區(qū)一模）已知向量，．若向量，則______