結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（五）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)結(jié)構(gòu)不良題-數(shù)列（五）一、填空題（本大題共1小題）1.已知數(shù)列中，，從①，②為等差數(shù)列，其中，，等比數(shù)列，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，則．二、解答題（本大題共24小題）2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．請(qǐng)?jiān)冖伲虎?；③是和的等差中?xiàng)；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問(wèn)題．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，成等比數(shù)列且滿足.請(qǐng)?jiān)冖?；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并回答以下問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4.已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問(wèn)題.(1)寫出、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.設(shè)，有三個(gè)條件：①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題的橫線上，再作答．（如果選擇多個(gè)條件分別作答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6.在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③a2＋a3＝b4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的k存在，求出k的值；若k不存在，說(shuō)明理由.已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且，設(shè)cn＝，是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意的n∈*，都有ck≤cn?7.已知{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，如圖，的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩個(gè)點(diǎn).(1)求Sn；(2)若存在正整數(shù)n，使得bn＞Sn，求n的最小值.從圖①，圖②，圖③中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，.給出下列三個(gè)條件：條件①：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{Sn＋a1}也為等比數(shù)列；條件②：點(diǎn)（Sn，an＋1）在直線y＝x＋1上；條件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.試在上面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問(wèn)的解答：(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①②，，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和10.在①是與的等比中項(xiàng)，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求；(2)若，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．11.在①數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．問(wèn)題：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）12.在①，；②，這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充在下面橫線處，并解答下列問(wèn)題.已知數(shù)列前項(xiàng)和是，數(shù)列的前項(xiàng)和是，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.13.已知數(shù)列滿足，，令(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并給予解答，若有多個(gè)解答，則按照第一個(gè)解答評(píng)分.14.在①，且，②，③，設(shè)，且為常數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.15.在①，，②數(shù)列的前3項(xiàng)和為6，③且，，成等比數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并求解.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.16.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足.給出下列三個(gè)條件：①，；②；③.請(qǐng)從其中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求n的值.17.在①，②，③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，，，.(1)請(qǐng)寫出你選擇條件的序號(hào)；并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求和.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.從下面①②③中選擇其中一個(gè)作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.①數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；③.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.證明：.19.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足.給出下列三個(gè)條件：①，；②；③.請(qǐng)從其中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.20.已知正項(xiàng)數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，且，從下面條件中選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并解答，①；②；③．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求．21.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目．設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目．設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．23.已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a3＝7，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作答，多答按第一個(gè)給分．①若bn＝，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的取值范圍；②若cn＝an?2n，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＞2．24.從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：作答前請(qǐng)先指明所選條件，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．25.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項(xiàng)和為，，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分）

參考答案1.【答案】【分析】若選①，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得到為等差數(shù)列，計(jì)算通項(xiàng)即可；若選②，通過(guò)條件直接計(jì)算公差，按照等差數(shù)列公式求通項(xiàng)；若選③，退位相減求出，檢驗(yàn)滿足后，得到通項(xiàng).【詳解】若選①，由得，所以是1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，，；若選②，是等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，又，故，，；若選③，，時(shí)，，兩式相減，，也符合，故.故答案為：.2.【答案】(1)；(2).【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，則有.若選①：根據(jù)前n項(xiàng)和列出關(guān)于q的方程，解得q即可；若選②：根據(jù)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和求得q即可；若選③：列出關(guān)于q的方程，求出q即可；(2)根據(jù)通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，則有.選擇條件①，由得，又，∴，∴，解得(舍)或，∴.選擇條件②，由，可知，∴，∴，解得(舍)或，∴.選擇條件③，由題，可知，又，則有，解得(舍)或，∴.(2)由(1)得，，∴，∴.3.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先由，，成等比數(shù)列，求出，再由①或②或③求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即，∵，故，選①:由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為選②:由，可得，即，所以，解得，所以；選③:由，可得，即，所以，解得，所以；(2)由（1）可得，所以.4.【答案】(1)條件選擇見解析，，，(2)【分析】（1）選①，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，并可求得、；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項(xiàng)求和法以及等比數(shù)列求和公式可求得.【詳解】(1)解：若選①，，且，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故；若選②，，所以，，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，故，.(2)解：由（1）可知，則，所以，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，.5.【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件②時(shí)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件③時(shí)，利用與的關(guān)系可求出答案；（2）首先可得，然后利用錯(cuò)位相減法算出答案即可．【詳解】(1)選條件①時(shí)，由于是2與的等差中項(xiàng)；所以，①當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，②，①②得：，整理得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件②時(shí)，由于，；所以：，①，當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件③時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)也滿足，所以(2)若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．6.【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得，再根據(jù)題意，選擇不同的條件，判斷是否存在最小值.【詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q(q>0)，因?yàn)閧bn}是公比大于0的等比數(shù)列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合題意，舍去).所以bn＝2n－1.若存在k，使得對(duì)任意的n∈*，都有ck≤cn，則cn存在最小值.若選①，則由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5可得解得d＝1，a1＝1，所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝.因?yàn)閚∈*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.若選②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5可得解得d＝－1，a1＝，所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝.因?yàn)楫?dāng)n≤20時(shí)，cn>0，當(dāng)n≥21時(shí)，cn<0，所以易知cn的最小值為c21＝－.即存在k＝21，使得對(duì)任意的n∈*，都有ck≤cn.若選③，則由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4可得解得d＝，a1＝，所以Sn＝，cn＝＝.因?yàn)?n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.7.【答案】(1)Sn＝8－23－n(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，求得，，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得到選擇圖②③均滿足“存在正整數(shù)n，使得”，進(jìn)而結(jié)合圖②和圖③，即可求解.【詳解】(1)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，由，可得，故，又因?yàn)?，所以，所?(2)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題圖①知：T1＝b1＝1，T3＝－3，可得，故數(shù)列是遞減數(shù)列，又由是遞增數(shù)列，且，所以不滿足“存在正整數(shù)n，使得”.由題圖②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判斷，故數(shù)列是遞增數(shù)列.由題圖③知：T1＝b1＝－3，T3＝0，可判斷，故數(shù)列是遞增數(shù)列.所以選擇圖②③均滿足“存在正整數(shù)n，使得”.若選擇圖②，則T1＝b1＝1，T3＝6，可得，所以.當(dāng)1，2，3，4，5，6，7時(shí)，不成立，當(dāng)8時(shí)，b8＝8，S8＝8－23－8，即，所以使得成立的正整數(shù)n的最小值為8.若選擇圖③，則T1＝b1＝－3，T3＝0，可得，所以.當(dāng)1，2，3，4時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，b5＝9，S5＝8－23－5，即，所以使得成立的正整數(shù)n的最小值為5.8.【答案】(1)an＝2n－1(2)【分析】（1）分別按照①②③條件，列式計(jì)算即可；（2）需要用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】(1)選條件①：∵數(shù)列{Sn＋a1}為等比數(shù)列，∴（S2＋a1）2＝（S1＋a1）（S3＋a1），即（2a1＋a2）2＝2a1（2a1＋a2＋a3），設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∴（2＋q）2＝2（2＋q＋q2），解得q＝2或q＝0（舍），∴an＝a1qn－1＝2n－1；選條件②：∵點(diǎn)（Sn，an＋1）在直線y＝x＋1，∴an＋1＝Sn＋1，又an＝Sn－1＋1（n≥2，n∈N），兩式相減有：an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝S1＋1＝2，也適合上式，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．∴an＝a1qn－1＝2n－1；選條件③：∵2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1，∴2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝（n－1）an（n≥2），即2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2（n－1）an，（n≥2）．由兩式相減可得：2an＝nan＋1－2（n－1）an，即an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝2a1，也適合上式，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝a1qn－1＝2n－1；(2)由（1）可知：an＝2n－1，，故答案為：，.9.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減有，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；若選②，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；若選③，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）由（1）得，由等差數(shù)列的定義得數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】(1)解：若選①，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以；若選②，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，即，又，，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為等比數(shù)列，所以；若選③，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，所以，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以；(2)解：，，又，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.10.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①②，則可得，，從而可求出，進(jìn)而可求出，若選①③，則可得，，從而可求出，進(jìn)而可求出，若選②③，則可得，，從而可求出，進(jìn)而可求出，（2）由（1）可得，從而可求得，則，然后利用裂項(xiàng)相消法求和【詳解】(1)選①②：由①知，是與的等比中項(xiàng)，則，即．由，可得，由②知，，可得．則有，解得，則．選①③：由①知，是與的等比中項(xiàng)，則，即．由，可得，由③知，，可得，解得．從而，所以．選②③：由②知，，可得，由③知，，可得，解得．則，解得d＝4，所以．(2)由題意知，，且，所以．所以當(dāng)n≥2時(shí)，．也滿足，所以對(duì)任意的，．則．所以．11.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，可得數(shù)列是等比數(shù)列，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到通項(xiàng)公式，若選②、③根據(jù)計(jì)算可得；（2）由（1）可得，再利用分組求和法計(jì)算可得；【詳解】(1)解：若選①數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，，則數(shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又，所以，解得或（舍去），所以；若選②，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；若選③，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；(2)解：因?yàn)?，所以，所以，所?2.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)選條件①，結(jié)合探求數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系得解；選條件②，結(jié)合,探求數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，求出得解.(2)選條件①，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算判斷作答；選條件②，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算判斷作答.【詳解】(1)選條件①：由，可得，兩式相減可得，則，在中，令，可得，即，因此，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；選條件②：由，可得，兩式相減得，即，變形得：，即數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)互為相反數(shù)，有，而時(shí)，，解得，于是得，則當(dāng)，，從而有，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)選條件①：由(1)知，設(shè)，，則，兩式相減可得，于是得，即；選條件②：由(1)知，所以.13.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）由條件可得，即可證明；（2）首先可得，若選①，，利用分組求和法求解即可，若選②，，利用裂項(xiàng)相消法求解即可，若選③，，利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】(1)由條件，，得，因?yàn)?，所以，，即，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：選①：，選②：，則選③：，則，，兩式相減得，.14.【答案】【分析】選條件①，將變形為，即數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再利用分組求和法和錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和；選條件②，將變形為，通過(guò)因式分解得到，進(jìn)而求出，再利用分組求和法和錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和；選條件③，由題意得到，利用累加法求出，再利用分組求和法和錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】選條件①：因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，即.則.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則①②①－②，得，所以，故.選條件②：由，得，兩邊同時(shí)平方，得，即，所以.因?yàn)椋?，?則.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則①②①－②，得，所以，故.選條件③：因?yàn)?，，且為常?shù)列，所以，得.當(dāng)時(shí)，，而也滿足上式，故.則.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則①②①－②，得，所以，故.15.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用基本量法求得公差d，進(jìn)而求得；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求和法即可求得.【詳解】(1)解：選條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由得，將代入，解得或，因?yàn)椋?，所以；選條件②：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，由數(shù)列的前3項(xiàng)和為6及得，解得，所以；選條件③：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由，，成等比數(shù)列得，將代入得，解得或，因?yàn)椋?，所以?2)解：由（1）得，所以.16.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和等比中項(xiàng)判定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)；選②：先利用及求出，再利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；選③：先利用求出，再類似利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）根據(jù)上一問(wèn)結(jié)論先化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求解.【詳解】(1)解：選①：由得：，所以，又因?yàn)椋虼藬?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，則，由，解得或（舍去），所以；

選②：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，又，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列是，公比為2的等比數(shù)列，所以；選③：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，當(dāng)時(shí)，滿足上式．所以；(2)解：因?yàn)?，設(shè)，則；令，得.17.【答案】(1)選①，，；選②，，；選③，，；(2)，【分析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項(xiàng)與公差可得通項(xiàng)公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計(jì)算即可.【詳解】(1)選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，(2)由（1）知，，18.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）若選①：根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出首項(xiàng)及公比即可求解；若選②：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出即可得公比，從而可得答案；若選③：由，將已知再寫一式，然后兩式相減可得，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解；（2）由（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出即可證明.【詳解】(1)解：若選①：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，且，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以；若選②：因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，所以，所以，，所以；若選③：因?yàn)?，所以，兩式相減可得，即，又時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)證明：由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，?19.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）選①，證得數(shù)列等比數(shù)列，求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列得通項(xiàng)公式即可的解；選②，根據(jù)求得，再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前的和的關(guān)系即可的解；選③，根據(jù)求得，再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前的和的關(guān)系即可的解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，即可得解.【詳解】(1)解：選①，因?yàn)?，所以，所以?shù)列等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列得公比為由，得或（舍去），所以；選②，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；選③，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；(2)證明：由（1）得，所以，所以.20.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，選擇①，②，③中一個(gè)條件進(jìn)行討論得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中結(jié)論結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解．【詳解】(1)選①，由條件,得:當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，所以；選②，由條件,得:當(dāng)時(shí)，得，解得，即；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，所以；選③，由條件,得:當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，化簡(jiǎn)整理得，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2，所