專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問題 （原卷版）

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題一、【知識回顧】（1）平面直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（a，b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)（a，-b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)（-a，b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)（-a，-b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)（b，a）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y=-x的對稱點(diǎn)（-b，-a）（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型備注：熟練運(yùn)用幾大模型：①一點(diǎn)一垂線②一點(diǎn)兩垂線③兩點(diǎn)一垂線④兩點(diǎn)兩垂線⑤兩點(diǎn)也原點(diǎn)反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的對稱關(guān)系，表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)；并通過點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長度，通過面積構(gòu)建方程，解方程。二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：反比例函數(shù)與直線結(jié)合典例1：（2022·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，的值為（）A． B． C． D．【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（，m為常數(shù)）與雙曲線（，k為常數(shù)）交于點(diǎn)A，B，若，過點(diǎn)A作軸，垂足為M，連接，則的面積是（）A．2 B． C．3 D．6【變式2】（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的的取值范圍；（3）若點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)2：反比例函數(shù)與特殊三角形結(jié)合典例2：（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為______．【變式1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B在第一象限，且OAB為等邊三角形，若反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過邊AB的中點(diǎn)，則k的值為___________【變式2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=(k＞0，x＞0)的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為()A． B． C．4 D．6【變式3】（2023秋·河南許昌·九年級?？计谀┮阎c(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則點(diǎn)坐標(biāo)為______．考點(diǎn)3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結(jié)合典例3：（2022春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)點(diǎn)，是該反比例函數(shù)圖象上的另外兩點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．若已知四邊形為矩形，，且矩形的面積為18，則的值為___________．【變式1】（2020·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC=60°，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的圖象與AB交于點(diǎn)D，則△COD的面積為（）A． B． C．4 D．【變式2】（2022·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點(diǎn)M，分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【】A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點(diǎn)E．在點(diǎn)A處建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（1）如圖（1），雙曲線y＝過點(diǎn)E，完成填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)E的坐標(biāo)是，雙曲線的解析式是；（2）如圖（2），雙曲線y＝與BC，CD分別交于點(diǎn)M，N．求證：；（3）如圖（3），將正方形ABCD向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，使過點(diǎn)E的雙曲線y＝與AB交于點(diǎn)P．當(dāng)AEP為等腰三角形時(shí)，求m的值．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上，點(diǎn)在軸的正半軸上，則平行四邊形的面積是（

）A． B． C．3 D．52．（2021秋·廣東佛山·九年級佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)在的圖象上，軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與的面積相等B．當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)C．D．只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)，四邊形PAOB的面積最大3.（2022秋·吉林長春·九年級吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，），直線與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，若，則k的值為（

）A．3 B． C． D．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．45.（2021·湖北武漢·九年級專題練習(xí)）已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限分支上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝（x＞0）上運(yùn)動，則k的值是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣6.（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中C、D在x軸上，則為（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．408．（2012春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，AC∥y軸，BD∥y軸，則四邊形ACBD的面積S滿足（）A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>29．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連結(jié)，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且，則三角形的面積為（

）A．9 B．12 C．20 D．3610．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·湖南懷化·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則的值為___________．12（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形為面積是9的矩形，則k的值為______．13．（2019·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC＝60°，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的圖象與AB交于點(diǎn)D，則△COD的面積為_____．14．（2021春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)．交于點(diǎn)，連接．若的面積是3，則四邊形的面積是______．15．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖像的一個(gè)分支于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，則的值是___________．16.（2021春·福建廈門·九年級廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，若AB=6，則k的值為____．三、解答題17．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，C，A兩點(diǎn)分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，D為線段的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．(1)當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（用含k的代數(shù)式表示）(2)若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，求k的值．18.（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)作軸交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)B作軸交直線于點(diǎn)，．(1)若，求的值；(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（2020秋·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D，Rt△A