《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第七章-第2講-空間幾何體的表面積與體積

第2講空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面開放圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面開放圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l2.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[做一做]1．(2022·高考福建卷)以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．2π B．πC．2 D．1解析：選A.以正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝1，所以側(cè)面積S＝2πrh＝2π.2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3解析：選B.由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為eq\r(3)的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)求組合體的表面積時(shí)，要留意各幾何體重疊部分的處理．(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，簡(jiǎn)潔和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò)．2.求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接依據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．(2)等積法：依據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更簡(jiǎn)潔，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體．3．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四周體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.[做一做]3．(2022·高考陜西卷)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3) B．4πC．2π D.eq\f(4π,3)解析：選D.正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點(diǎn)，所以球的半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1，球的體積V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3).故選D.4.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8，8解析：選B.由正視圖知：四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，四棱錐的高為2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，底為2，高為eq\r(5)，∴S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__空間幾何體的表面積__________________(1)(2022·高考浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2(2)(2021·長(zhǎng)春市調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A．2＋eq\f(1＋\r(5),2)π B．2＋eq\f(1＋2\r(5),2)πC．2＋(1＋eq\r(5))π D．2＋eq\f(2＋\r(5),2)π[解析](1)該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3cm，4cm，5cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(cm2)．(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取的半個(gè)圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長(zhǎng)為eq\r(5)，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐的側(cè)面積的一半以及截面三角形的面積的和，即eq\f(1,2)π＋eq\f(1,2)π×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×2＝2＋eq\f(1＋\r(5),2)π，故選A.[答案](1)D(2)A[規(guī)律方法](1)多面體的表面積的求法：求解有關(guān)多面體表面積的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺(tái)中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素的橋梁，從而架起側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素的聯(lián)系．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．1.(1)(2022·高考安徽卷)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18(2)(2021·江西八校聯(lián)考)若一個(gè)圓臺(tái)的正視圖如圖所示，則其表面積等于________．解析：(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示．因此該幾何體的表面積為6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).故選A.(2)由圖知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＝1，r′＝2，母線長(zhǎng)為l＝eq\r(5)，則圓臺(tái)表面積為π(r＋r′)l＋π(r2＋r′2)＝5π＋3eq\r(5)π.答案：(1)A(2)5π＋3eq\r(5)πeq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__空間幾何體的體積(高頻考點(diǎn))__________空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)，考查時(shí)多與三視圖結(jié)合考查，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度偏小，屬于簡(jiǎn)潔題．高考對(duì)空間幾何體的體積的考查常有以下三個(gè)命題角度：(1)求簡(jiǎn)潔幾何體的體積；(2)求組合體的體積；(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．(1)(2022·高考遼寧卷)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)(2)(2022·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)(3)(2022·高考天津卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.[解析](1)這是一個(gè)正方體切掉兩個(gè)eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體，如圖，幾何體的高為2，V＝23－eq\f(1,4)×π×12×2×2＝8－π.(2)在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，S△DBeq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A-B1DC1底面上的高．∴V三棱錐A-Beq\s\do3(1)DCeq\s\do3(1)＝eq\f(1,3)S△DBeq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.(3)依據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個(gè)底面直徑為4，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面直徑為2，高為4的圓柱．故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq\f(20π,3).[答案](1)B(2)C(3)eq\f(20π,3)[規(guī)律方法]求空間幾何體體積的解題策略(1)求簡(jiǎn)潔幾何體的體積．若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解．(2)求組合體的體積．若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．應(yīng)先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據(jù)條件求解．2.(1)(2021·太原市模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,4)))cm3 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,2)))cm3C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,4)))cm3 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,2)))cm3(2)(2021·高考江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________.解析：(1)依據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體對(duì)應(yīng)的直觀圖是兩個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱的組合體，∴所求幾何體的體積V＝4×4×2＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＋3×3×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,4)))cm3.(2)設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2＝Sh.由于D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以△ADE的面積等于eq\f(1,4)S.又由于F為AA1的中點(diǎn)，所以三棱錐F-ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱錐F-ADE的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.答案：(1)C(2)1∶24eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__球與空間幾何體的接、切問(wèn)題__________(2021·唐山市統(tǒng)一考試)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為()A．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)[解析]由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圓圓心N位于BC的中點(diǎn)，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn)．設(shè)正方形BCC1B1邊長(zhǎng)為x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R為球的半徑)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＝1，即x＝eq\r(2)，則AB＝AC＝1，∴S矩形ABBeq\s\do3(1)Aeq\s\do3(1)＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).[答案]C[規(guī)律方法]解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于認(rèn)真觀看、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．3.(2021·長(zhǎng)春模擬)若一個(gè)正四周體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________．解析：設(shè)正四周體棱長(zhǎng)為a，則正四周體表面積為S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑為正四周體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).答案：eq\f(6\r(3),π)方法思想——求空間幾何體的體積、面積問(wèn)題(補(bǔ)形法)(1)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π(2)已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________．[解析](1)由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點(diǎn)處截去了圓柱的eq\f(1,4)，依據(jù)對(duì)稱性，可補(bǔ)全此圓柱如圖，故體積V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π.(2)由于正三棱錐的側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，故以PA，PB，PC為棱補(bǔ)成正方體如圖，可知球心O為體對(duì)角線PD的中點(diǎn)，且PO＝eq\r(3)，又P到平面ABC的距離為h，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2.∴h＝eq\f(2\r(3),3).∴球心到截面ABC的距離為eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3).[答案](1)B(2)eq\f(\r(3),3)[名師點(diǎn)評(píng)](1)對(duì)稱補(bǔ)形求體積某些不規(guī)章的幾何體，若存在對(duì)稱性，則可考慮用對(duì)稱的方法進(jìn)行補(bǔ)形，把它們放入一個(gè)規(guī)章幾何體中加以解決．(2)聯(lián)系補(bǔ)形某些空間幾何體雖然也是規(guī)章幾何體，不過(guò)幾何量不易求解，可依據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個(gè)規(guī)章幾何體的一部分來(lái)求解．三條側(cè)棱兩兩相互垂直，或一側(cè)棱垂直于底面，底面為正方形或長(zhǎng)方形，則此幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，使所解決的問(wèn)題更直觀易求．1.(2021·河南洛陽(yáng)模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：選C.由三視圖可知該幾何體是一個(gè)正方體去掉一角，其直觀圖如圖，其中正方體的棱長(zhǎng)為1，則正方體的體積為1，去掉的三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，所以該幾何體的體積為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).2．(2022·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ改編)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各面中，最大的面的面積為()A．8 B．4eq\r(5)C．12 D．6eq\r(2)解析：選C.依據(jù)三視圖可知，該多面體是棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)的四周體D1ECC1(其中E為棱BB1的中點(diǎn))易得S△ECCeq\s\do3(1)＝S△Deq\s\do3(1)CCeq\s\do3(1)＝8，S△Deq\s\do3(1)Ceq\s\do3(1)E＝4eq\r(5)，S△Deq\s\do3(1)EC＝12，故選C.1．(2021·安徽合肥模擬)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析：選D.由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2)，故選D.2.一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：選B.設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由題意知這個(gè)正三棱柱的側(cè)視圖為長(zhǎng)為2，寬為eq\r(3)的矩形，其面積為2eq\r(3).3．(2021·廣東廣州模擬)設(shè)一個(gè)球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：選D.設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，則易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))\s\up12(2))＝eq\f(π,2).4．(2021·浙江嘉興市高三模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A．2 B．4C．8 D．12解析：選B.由三視圖可得該幾何體是一個(gè)底面是邊長(zhǎng)分別為3和2的矩形、高為2的四棱錐，所以該幾何體的體積是eq\f(1,3)×2×3×2＝4，故選B.5．(2021·湖北荊州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．2π解析：選A.由三視圖可知，該幾何體是在一個(gè)圓柱中挖去兩個(gè)半球而形成的，且圓柱的底面圓半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則圓柱的體積V柱＝π×12×2＝2π，挖去的兩個(gè)半球的半徑均為1，因此挖去部分的體積為V球＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，因此，幾何體的體積為V＝V柱－V球＝2π－eq\f(4π,3)＝eq\f(2π,3)，故選A.6．(2021·福建福州一中月考)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長(zhǎng)為3，則棱柱的高h(yuǎn)＝________．解析：底面周長(zhǎng)為3，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為eq\f(1,2).則六邊形的面積為eq\f(3\r(3),8).又由于六棱柱的體積為eq\f(9,8)，即eq\f(3\r(3),8)h＝eq\f(9,8)，∴h＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．(2022·高考山東卷)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．解析：設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.答案：128．(2022·高考江蘇卷)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9.(2021·浙江杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(3)、寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).1．(2022·高考大綱全國(guó)卷)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4) B．16πC．9π D.eq\f(27π,4)解析：選A.如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，∴該球的表面積為4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81,4)π.2．(2021·成都模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為92，則a＝()A.eq\f(5,2) B．3C.eq\f(7,2) D．4解析：選C.由三視圖可知此幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為a＋2和3，高為6的長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐，且截去的三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為3，4，a，故該幾何體的體積為6×(a＋2)×3－eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×4×a＝92，解得a＝eq\f(7,2).3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF＝1，則四周體A-EFB的體積等于________．解析：連接BD交AC于點(diǎn)O，則OA為四周體A-EFB的高，且OA＝eq\f(\r(2),2)，又S△EFB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以VA-EFB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).答案：eq\f(\r(2),12)4．(2021·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2，得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面積為π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在