2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步章末綜合提升教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-11立體幾何初步[鞏固層·學(xué)問(wèn)整合][提升層·題型探究]空間幾何體的表面積與體積【例1】17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)于數(shù)學(xué)關(guān)于體積方法的問(wèn)題還不了解，他們將體積公式“V＝kD3”中的常數(shù)k稱(chēng)為“立圓術(shù)”或“玉積率”，創(chuàng)用了求“玉積率”的獨(dú)特方法“會(huì)玉術(shù)”，其中，D為直徑，類(lèi)似地，對(duì)于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類(lèi)似的體積公式V＝kD3，其中，在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長(zhǎng)．假設(shè)運(yùn)用此“會(huì)玉術(shù)”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3A．eq\f(π,4)∶eq\f(π,6)∶1 B．eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶2C．1∶3∶eq\f(12,π) D．1∶eq\f(3,2)∶eq\f(6,π)D[球中，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq\s\UP12(3)＝eq\f(π,6)D3＝k1D3，所以k1＝eq\f(π,6)；等邊圓柱中，V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq\s\UP12(2)·D＝eq\f(π,4)D3＝k2D3，所以k2＝eq\f(π,4)；正方體中，V＝D3＝k3D3，所以k3＝1，所以k1∶k2∶k3＝eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶1＝1∶eq\f(3,2)∶eq\f(6,π).]記牢常見(jiàn)幾何體的表面積、體積公式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.涉及古代文化背景的題目，首先讀懂題意，再按題意與所學(xué)的學(xué)問(wèn)聯(lián)系起來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的問(wèn)題后再解決.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問(wèn)積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為()A．142π平方尺 B．140π平方尺C．138π平方尺 D．128π平方尺C[可以把該四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，四棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為eq\r(72＋52＋82)＝eq\r(138)尺，所以表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(138),2)))eq\s\UP12(2)＝138π平方尺．]與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【例2】求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球、內(nèi)切球及棱切球的半徑．[思路探究]正四面體的內(nèi)切球、外接球、棱切球的球心與正四面體的中心O重合，則內(nèi)切球的半徑為點(diǎn)O到各面的距離，外接球的半徑為點(diǎn)O到各頂點(diǎn)的距離，棱切球的半徑為點(diǎn)O到各棱的距離．[解]由正四面體的對(duì)稱(chēng)性與球的對(duì)稱(chēng)性知正四面體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的球心都與正四面體的中心重合．如圖所示，設(shè)正四面體A-BCD的高為AG，O為正四面體的中心，連接CG并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)E，連接OC，OE，則外接球的半徑R＝OA＝OC．由題意可得CE＝eq\f(\r(3)a,2)，則CG＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(\r(3)a,3)，EG＝eq\f(1,3)CE＝eq\f(\r(3)a,6)，所以AG＝eq\r(AC2－CG2)＝eq\f(\r(6)a,3).所以O(shè)G＝eq\f(\r(6)a,3)－R.在Rt△OCG中，OC2＝OG2＋CG2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)a,3)－R))eq\s\UP12(2)＋eq\f(a2,3)，解得R＝eq\f(\r(6)a,4).所以?xún)?nèi)切球的半徑r＝OG＝eq\f(\r(6)a,3)－eq\f(\r(6)a,4)＝eq\f(\r(6)a,12).棱切球的半徑為OE＝eq\r(EG2＋OG2)＝eq\r(\f(a2,12)＋\f(a2,24))＝eq\f(\r(2)a,4).常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案如下：eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知正方體的外接球的體積是eq\f(32π,3)，那么正方體的棱長(zhǎng)是()A．2eq\r(2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(4\r(2),3)D．eq\f(4\r(3),3)(2)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)(1)D(2)B[(1)依據(jù)球的體積，求得其半徑r＝2，再由r＝eq\f(\r(3)a,2)可得棱長(zhǎng)a為eq\f(4\r(3),3).(2)設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，解得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－2\r(3)2)＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).]空間中的平行關(guān)系【例3】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[思路探究]假設(shè)存在滿(mǎn)意條件的點(diǎn)F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM與平面AFC、平面PMD分別交于直線(xiàn)AF，PM，則必有AF∥PM，又PB＝2MA，則點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)．[解]當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖，連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)．∴OF∥PD．又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MAeq\f(1,2)PB，∴PFMA．∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線(xiàn)與線(xiàn)、線(xiàn)與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透．在解決線(xiàn)面、面面平行問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線(xiàn)線(xiàn)平行”到“線(xiàn)面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時(shí)，其依次相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理．特殊留意，轉(zhuǎn)化的方法由詳細(xì)題目的條件確定，不能過(guò)于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律．3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[證明]連接AC交BD于O，連接MO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以MO∥AP，又因?yàn)镸O?平面BDM，PA?平面BDM，所以PA∥平面BDM，又因?yàn)镻A?平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH.空間中的垂直關(guān)系【例4】如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面[解](1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．因?yàn)榈酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1所以AD⊥側(cè)面BB1C所以AD⊥CC1.(2)延長(zhǎng)B1A1與BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，連接C1N因?yàn)锳M＝MA1，所以NA1＝A1B1.因?yàn)锳1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C所以C1N⊥側(cè)面BB1C因?yàn)镃1N?截面MBC1，所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C空間中的垂直關(guān)系包括線(xiàn)與線(xiàn)的垂直、線(xiàn)與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關(guān)系是本章學(xué)習(xí)的核心，學(xué)習(xí)時(shí)要突出三者間的互化意識(shí)．如在證明兩平面垂直時(shí)一般從現(xiàn)有直線(xiàn)中找尋平面的垂線(xiàn)，若這樣的垂線(xiàn)不存在，則可通過(guò)作協(xié)助線(xiàn)來(lái)解決．如有面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上(P不與B，C重合)，E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP.(1)證明：BP⊥平面DCP；(2)若BC＝2，當(dāng)三棱錐D-BPC的體積最大時(shí)，求E到平面BDP的距離．[解](1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BPC＝BC，所以DC⊥平面BPC．因?yàn)锽P?平面BPC，所以BP⊥DC．因?yàn)辄c(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP.(2)當(dāng)點(diǎn)P位于eq\o(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)時(shí)，△BCP的面積最大，三棱錐D-BPC的體積也最大．因?yàn)锽C＝2，所以PE＝1，所以△BEP的面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以三棱錐D-BEP的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).因?yàn)锽P⊥平面DCP，所以BP⊥DP，DP＝eq\r(2\r(2)2－\r(2)2)＝eq\r(6)，△BDP的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(6)＝eq\r(3).設(shè)E到平面BDP的距離為d，由于VD-BEP＝VE-BDP，則eq\f(1,3)×eq\r(3)×d＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(\r(3),3)，即E到平面BDP的距離為eq\f(\r(3),3).空間中的角的求解【例5】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(3)，SC＝1.(1)畫(huà)出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度數(shù)；(2)求三棱錐S-ABC的體積．[解](1)取AB中點(diǎn)D，連接SD，CD，因?yàn)镾A＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD?平面SAB，CD?平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝eq\r(SA2－AD2)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，在直角三角形CDA中，CD＝eq\r(CA2－AD2)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，所以SD＝CD＝SC＝1，所以△SDC是等邊三角形，所以∠SDC＝60°.(2)法一：因?yàn)镾D⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC，又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC∩平面SDC＝CD，在平面SDC內(nèi)作SO⊥DC于O，則SO⊥平面ABC，即SO是三棱錐S-ABC的高．在等邊△SDC中，SO＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐S-ABC的體積VS-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).法二：因?yàn)镾D⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC．在等邊△SDC中，S△SDC＝eq\f(\r(3),4)SD2＝eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐S-ABC的體積VS-ABC＝VA-SDC＋VB-SDC＝eq\f(1,3)S△SDC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2eq\r(3)＝eq\f(1,2).1．兩條異面直線(xiàn)所成的角(1)一般通過(guò)平移(在所給圖形內(nèi)平移一條直線(xiàn)或平移兩條直線(xiàn))或補(bǔ)形(補(bǔ)形的目的仍是平移)，把異面直線(xiàn)所成角轉(zhuǎn)化為共面直線(xiàn)所成角來(lái)計(jì)算．(2)平移時(shí)常常利用某些特殊點(diǎn)(如中點(diǎn))或中位線(xiàn)、成比例線(xiàn)段來(lái)實(shí)現(xiàn)，補(bǔ)形時(shí)常常把空間圖形補(bǔ)成熟識(shí)的或完整的幾何體(如正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體等)．2．直線(xiàn)和平面所成的角當(dāng)直線(xiàn)為平面的斜線(xiàn)時(shí)，它是斜線(xiàn)與斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影所成的角，通常在斜線(xiàn)上取一特殊點(diǎn)向平面作垂線(xiàn)找到這個(gè)銳角，然后通過(guò)解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步驟一找(找尋現(xiàn)成的二面角的平面角)；二作(若沒(méi)有找到現(xiàn)成的，須要引出協(xié)助線(xiàn)作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線(xiàn)AC與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)A[如圖，分別取BC，CD，AD，BD的中點(diǎn)M，N，P，Q，連接MN，NP，MP，PQ，MQ，則MN∥BD，NP∥AC，所以∠PNM即為異面直線(xiàn)AC和BD所成的角(或其補(bǔ)角)．又由題意得PQ⊥MQ，PQ＝eq\f(1,2)AB，MQ＝eq\f(1,2)CD．設(shè)AB＝BC＝CD＝2，則PM＝eq\r(2).又MN＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，NP＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，所以△PNM為等邊三角形，所以∠PNM＝60°，所以異面直線(xiàn)AC與BD所成角為60°，其余弦值為eq\f(1,2).][培優(yōu)層·素養(yǎng)升華]【例題】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．[思路探究](1)連接B1C，ME，可得四邊形MNDE為平行四邊形，進(jìn)而得出MN∥DE，可證MN∥平面C1DE(2)由已知可證DE⊥平面C1CE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥C1E于點(diǎn)H，則DE⊥CH，進(jìn)而可證CH⊥平面C1DE，計(jì)算可得CH的長(zhǎng)，從而得所求距離．[解](1)證明：如圖所示，連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED．又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作C1E的垂線(xiàn)，垂足為H.