2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE1-5.3.2事務(wù)之間的關(guān)系與運(yùn)算素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.了解事務(wù)的包含與相等的含義及概率關(guān)系．2．理解事務(wù)和(并)、積(交)運(yùn)算的含義及其概率關(guān)系．3．理解事務(wù)的互斥與對(duì)立關(guān)系，駕馭互斥事務(wù)的概率加法公式．4．會(huì)進(jìn)行事務(wù)的混合運(yùn)算．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)事務(wù)的包含與相等(1)包含關(guān)系一般地，假如事務(wù)A__發(fā)生__時(shí)，事務(wù)B肯定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A?B(或B?A)．用圖形表示為：(2)相等關(guān)系假如事務(wù)A發(fā)生時(shí)，事務(wù)B肯定發(fā)生；而且事務(wù)B發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也肯定發(fā)生，則稱“__A與B相等__”，記作A＝B．思索：假如兩個(gè)事務(wù)相等，則這兩個(gè)事務(wù)的樣本點(diǎn)有什么關(guān)系？提示：假如兩個(gè)事務(wù)相等，則它們的樣本點(diǎn)完全相同．即：A＝B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點(diǎn)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)和事務(wù)與積事務(wù)(1)事務(wù)的和(并)給定事務(wù)A，B，由__全部__A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事務(wù)稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事務(wù)A與B的和可以用如圖中的陰影部分表示．(2)事務(wù)的積(交)給定事務(wù)A，B，由A與B中的__公共樣本點(diǎn)__組成的事務(wù)稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．事務(wù)A與事務(wù)B的積可以用如圖中的陰影部分表示．思索：“A∩B＝?”的含義是什么？提示：在一次試驗(yàn)中，事務(wù)A、B不行能同時(shí)發(fā)生．學(xué)問(wèn)點(diǎn)事務(wù)的互斥與對(duì)立給定事務(wù)A，B，若事務(wù)A與B__不能同時(shí)__發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?)．互斥事務(wù)的概率加法公式：若A與B互斥(即A∩B＝?)，則：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．若A∩B為_(kāi)_不行能__事務(wù)，A∪B為_(kāi)_必定__事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，其含義是：事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為：eq\o(A,\s\up6(－))，則：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝__1__．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型事務(wù)關(guān)系的推斷┃┃典例剖析__■典例1在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義很多事務(wù)．例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù)．[解析](1)因?yàn)槭聞?wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F(xiàn)，G；事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5．且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1．(2)因?yàn)槭聞?wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．規(guī)律方法：事務(wù)間運(yùn)算方法1．利用事務(wù)間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事務(wù)間的運(yùn)算．2．利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．某市體操隊(duì)有6名男生，4名女生，現(xiàn)任選3人去參賽，設(shè)事務(wù)A＝{選出的3人有1名男生，2名女生}，事務(wù)B＝{選出的3人有2名男生，1名女生}，事務(wù)C＝{選出的3人中至少有1名男生}，事務(wù)D＝{選出的3人中既有男生又有女生}．問(wèn)：(1)事務(wù)D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事務(wù)C與A的交事務(wù)是什么事務(wù)？[解析](1)對(duì)于事務(wù)D，可能的結(jié)果為1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．(2)對(duì)于事務(wù)C，可能的結(jié)果為1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A．題型互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的推斷┃┃典例剖析__■典例2從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各4張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．推斷上面給出的每對(duì)事務(wù)是否為互斥事務(wù)，是否為對(duì)立事務(wù)，并說(shuō)明理由．[解析](1)是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事務(wù)．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事務(wù)．(2)既是互斥事務(wù)，又是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中，隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事務(wù)，又是對(duì)立事務(wù)．(3)不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事務(wù)可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對(duì)立事務(wù)．規(guī)律方法：互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的判定方法(1)利用基本概念①互斥事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事務(wù)首先是互斥事務(wù)，且必需有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)推斷設(shè)事務(wù)A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B．①事務(wù)A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事務(wù)A與B對(duì)立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品，設(shè)A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確的是__①②⑤__(填寫序號(hào))．①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對(duì)立；⑤B與C對(duì)立．[解析]A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個(gè)事務(wù)，由此知：A與B是互斥事務(wù)，但不對(duì)立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)，更不是對(duì)立事務(wù)；B與C是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．所以正確結(jié)論的序號(hào)為①②⑤．題型互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例3某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率．[解析]設(shè)運(yùn)動(dòng)員射擊一次，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下分別記為A，B，C，D，E，則P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3．(2)記F＝A＋B＋C＋D，∵E，F(xiàn)對(duì)立，∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7環(huán)的概率為0.9．規(guī)律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A，B兩事務(wù)互斥時(shí)才能運(yùn)用，假如A，B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式．(2)利用對(duì)立事務(wù)的概率公式求解時(shí)，必需精確推斷兩個(gè)事務(wù)的確是對(duì)立事務(wù)時(shí)才能應(yīng)用．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩甗解析](1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事務(wù)，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．(2)法一：設(shè)事務(wù)A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事務(wù)的并事務(wù)，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)．法二：設(shè)事務(wù)A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事務(wù)，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3)．易錯(cuò)警示┃┃典例剖析__■典例4拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)的概率都是eq\f(1,6)，記事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事務(wù)B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，求P(A＋B)．[錯(cuò)解]設(shè)向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)分別記為事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6，則它們兩兩是互斥事務(wù)，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6)．則P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[辨析]錯(cuò)解的緣由在于忽視了“事務(wù)和”概率公式應(yīng)用的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”這二者不是互斥事務(wù)，即出現(xiàn)1或3時(shí)，事務(wù)A，