山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)案含解析

PAGE第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課標要求考情分析1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2．會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡潔的實際問題．1.兩個計數(shù)原理一般不單獨命題，常與排列、組合交匯考查．2．題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低.學(xué)問點兩種計數(shù)原理基本形式一般形式區(qū)分分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)分在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成分步乘法計數(shù)原理完成一件事須要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法完成一件事須要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事．(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)(4)假如完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…m(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)2．小題熱身(1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)為(B)A．6B．5C．3D．2(2)已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法共有(C)A．16種B．13種C．12種D．10種(3)小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法共有(A)A．7種B．8種C．6種D．9種(4)一個旅游景區(qū)的巡游線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點O外)的巡游線路有48種．(用數(shù)字作答)(5)如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有32條不同的路途．解析：(1)“完成這件事”即選出1人當(dāng)主持人，可分選女主持人和男主持人兩類進行，分別有3種選法和2種選法，所以共有3＋2＝5種不同的選法．(3)要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC電話卡、買2張IC電話卡、買3張IC電話卡，而每一類都能獨立完成“至少買一張IC電話卡”這件事．買1張IC電話卡有2種方法，買2張IC電話卡有3種方法，買3張IC電話卡有2種方法．不同的買法共有2＋3＋2＝7(種)．(4)依據(jù)題意，從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點，參觀其次個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完其次個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×4×2＝48(種)不同巡游線路．(5)不同路途共有3×4＋4×5＝32(條).考點一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，這樣的橢圓有________個．()A．12 B．16C．28 D．32(2)我們把中間位數(shù)上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”．如132,341等，那么由1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是________．【解析】(1)解法1：若焦點在x軸上，則a>b，a＝2時，有1個；a＝4時，有3個；a＝6時，有5個；a＝8時，有7個，共有1＋3＋5＋7＝16個．若焦點在y軸上，則b>a，b＝3時，有1個；b＝4時，有1個；b＝5時，有2個；b＝6時，有2個；b＝7時，有3個；b＝8時，有3個．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12個．故共有16＋12＝28個．解法2：a＝b時有4種狀況，故橢圓個數(shù)為4×8－4＝28個．(2)依據(jù)“凸數(shù)”的特點，中間的數(shù)字只能是3,4,5，故分三類，第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”其次類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，從1,2,3中任取兩個放在4的兩邊，故有6種；第三類，當(dāng)中間數(shù)字為“5”時，從1,2,3,4中任取兩個放在5的兩邊，故有12種；依據(jù)分類加法計數(shù)原理，得到由1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是2＋6＋12＝20.【答案】(1)C(2)20方法技巧1依據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏.2分類時，留意完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類，不能重復(fù).1．圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，其次層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，則不同的取法共有(B)A．120種 B．16種C．64種 D．39種解析：書架上有3＋5＋8＝16(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法．故選B.2．將編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有(B)A．16種 B．12種C．9種 D．6種解析：由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當(dāng)1號與2號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)1號與3號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)1號與4號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)2號與3號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)2號與4號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)3號與4號小球放在同一盒子中時，有2種不同的放法．因此，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的放球方法共有12種．故選B.考點二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則P可表示坐標平面上其次象限的點的個數(shù)為()A．6 B．12C．24 D．36(2)有6名同學(xué)報名參與三個智力項目，每項限報一人，三個項目都有人報，且每人至多參與一項，則共有________種不同的報名方法．【解析】(1)確定其次象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種方法；其次步確定b，由于b>0，所以有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理，得到其次象限的點的個數(shù)是3×2＝6.(2)每項限報一個，且每人至多參與一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，其次個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．【答案】(1)A(2)120方法技巧利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略1利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要留意按事務(wù)發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后依次的，并且分步必需滿意：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.2分步必需滿意的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.1.如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，假如焊接點脫落，整個電路就會不通．現(xiàn)發(fā)覺電路不通，那么焊接點脫落的可能狀況共有63種．解析：因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種狀況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能狀況．2．從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成18個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有6個(用數(shù)字作答)．解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數(shù)．考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用命題方向1計數(shù)問題【例3】高考結(jié)束后6名同學(xué)巡游我市包括日月湖在內(nèi)的6個景區(qū)，每名同學(xué)任選一個景區(qū)巡游，則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有()A．Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(4,5)種 B．Aeq\o\al(2,6)×54種C．Ceq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(4,5)種 D．Ceq\o\al(2,6)×54種【解析】依據(jù)題意，分2步進行分析：①先從6名同學(xué)中任選2人，去日月湖景區(qū)旅游，有Ceq\o\al(2,6)種方案，②對于剩下的4名同學(xué)，每人都有5種選擇，則這4人有5×5×5×5＝54種方案，則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有Ceq\o\al(2,6)×54種，故選D.【答案】D命題方向2與幾何有關(guān)的問題【例4】假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A．48B．18C．24D．36【解析】第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．【答案】D命題方向3涂色問題【例5】如圖一個地區(qū)分為五個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得運用同一種顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種．(用數(shù)字作答)【解析】由題意可知，當(dāng)選用三種顏色著色時，由分步乘法計數(shù)原理得，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)方法，當(dāng)選用四種顏色著色時，由分步乘法計數(shù)原理得，有2Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝48(種)方法，再據(jù)分類加法計數(shù)原理可得有24＋48＝72(種)方法．【答案】72方法技巧利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路1弄清完成一件事是做什么.2確定是先分類后分步，還是先分步后分類.3弄清分步、分類的標準是什么.4利用兩個計數(shù)原理求解.1．(方向1)將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同的放法共有(C)A．480種 B．360種C．240種 D．120種解析：依據(jù)題意，將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則必需有2個小球放入1個盒子，其余的小球各單獨放入一個盒子，分2步進行分析：①先將5個小球分成4組，有Ceq\o\al(2,5)＝10種分法；②將分好的4組全排列，放入4個盒子，有Aeq\o\al(4,4)＝24種狀況，則不同放法有10×24＝240種．故選C.2．(方向2)假如一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(B)A．60 B．48C．36 D．24解析：長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另外含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36