新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題16 立體幾何線面位置關(guān)系及空間角的計(jì)算（練）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題16立體幾何線面位置關(guān)系及空間角的計(jì)算（練）【對(duì)點(diǎn)演練】一、單選題1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，正方體SKIPIF1<0中，P是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，不存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以①錯(cuò)誤.SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,故可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，②正確.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，③正確.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不垂直，所以④錯(cuò)誤.故正確的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè).故選：B2．（2023秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0移動(dòng)至SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大且為SKIPIF1<0B．無(wú)論點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上怎么移動(dòng)，都有SKIPIF1<0C．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0移動(dòng)至SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，才有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0D．無(wú)論點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上怎么移動(dòng)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角可能是SKIPIF1<0【答案】B【分析】對(duì)于A，利用四面體的等體積法求解直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值，從而判斷正誤；對(duì)于B，證明正方體SKIPIF1<0的體對(duì)角線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可判斷正誤；對(duì)于C，根據(jù)四點(diǎn)共面，利用梯形幾何性質(zhì)求解SKIPIF1<0，即可判斷正誤；對(duì)于D，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，求解異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值取值范圍來(lái)判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于A，設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，如圖，連接SKIPIF1<0在正方體SKIPIF1<0中，面對(duì)角線SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0為正四面體，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為正三角形，則當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最短，且為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值SKIPIF1<0最大，且為SKIPIF1<0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，連接SKIPIF1<0在正方體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以總有SKIPIF1<0，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，如圖，連接SKIPIF1<0，當(dāng)F為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，SKIPIF1<0為梯形SKIPIF1<0的對(duì)角線，故其交于一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，該角的正切值為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在該范圍內(nèi)，故無(wú)論點(diǎn)F在SKIPIF1<0上怎么移動(dòng)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角都不可能是SKIPIF1<0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題3．（2023秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的有（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．不存在點(diǎn)SKIPIF1<0使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．存在點(diǎn)SKIPIF1<0使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0【答案】AB【分析】選項(xiàng)A連接SKIPIF1<0，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，說(shuō)明SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可說(shuō)明點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的高度為定值，SKIPIF1<0為定值，利用等體積法即可說(shuō)明，選項(xiàng)B建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可，選項(xiàng)C，當(dāng)SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0處時(shí)即可判斷，選項(xiàng)D借助選項(xiàng)B中的相關(guān)結(jié)論，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，根據(jù)假設(shè)條件，表示出線面角，列出等式，推出結(jié)論即可.【詳解】選項(xiàng)A，連接SKIPIF1<0，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0上的所有點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離都相等都等于正方體的棱長(zhǎng)SKIPIF1<0為定值，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為定值，所以SKIPIF1<0為定值，故A正確，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B選項(xiàng)正確，當(dāng)SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，平面SKIPIF1<0即為平面SKIPIF1<0，而在正方體中平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故存在點(diǎn)，SKIPIF1<0使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤，由B選項(xiàng)知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，由線面角的性質(zhì)有：SKIPIF1<0，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在點(diǎn)SKIPIF1<0使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，故D選項(xiàng)不正確，故選：AB.4．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知在正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面【答案】ABD【分析】把正四面體SKIPIF1<0放到正方體里，對(duì)于A項(xiàng)根據(jù)線面平行的判定定理證明對(duì)于B項(xiàng)，從正方體的角度上看易得對(duì)于D項(xiàng)，證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形可驗(yàn)證對(duì)于C項(xiàng)，反證法證明，矛盾點(diǎn)是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角.【詳解】把正四面體SKIPIF1<0放到正方體里，畫(huà)圖為：對(duì)于A項(xiàng)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正確對(duì)于B項(xiàng)，從正方體的角度上看易得SKIPIF1<0，故B正確.對(duì)于D項(xiàng)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，所以D正確.對(duì)于C項(xiàng)，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0而SKIPIF1<0為等邊三角形，與SKIPIF1<0矛盾，所以C不正確.故選：ABD5．（2022秋·江蘇南京·高三南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱柱SKIPIF1<0的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交C．平面SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0交線長(zhǎng)為定值SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】對(duì)于A，由題意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)異面直線的定義可得；對(duì)于C，根據(jù)題意找出交線，然后求出交線長(zhǎng)即可；對(duì)于D，根據(jù)外接球與正四棱柱的位置關(guān)系，找出球心，進(jìn)而求出半徑，即可得出表面積.【詳解】解：對(duì)于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故正確；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異面，故不相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，延長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0交線為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，故正確對(duì)；對(duì)于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角三角形，外接圓是以SKIPIF1<0為直徑的圓，圓心設(shè)為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤.故選：SKIPIF1<0．三、填空題6．（2023秋·河北唐山·高三開(kāi)灤第二中學(xué)校考期末）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，推導(dǎo)出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，利用空間向量法可求得SKIPIF1<0的值，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最小值，即可求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題7．（2021秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．(1)證明：直線SKIPIF1<0平面PAD；(2)求點(diǎn)B到平面EFC的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可得解；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求解.【詳解】（1）證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F到平面BCE的距離為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)B到平面EFC的距離是SKIPIF1<0.8．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)M是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理計(jì)算推出SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直的判定定理得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0；（2）連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)N，連SKIPIF1<0，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推出SKIPIF1<0，再根據(jù)三角形相似可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)N，連SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．在梯形SKIPIF1<0中，根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．9．（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是棱SKIPIF1<0上的一點(diǎn)（與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合）.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，進(jìn)而證得線線垂直；（2）設(shè)SKIPIF1<0.以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SKIPIF1<0，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面SKIPIF1<0以及平面SKIPIF1<0的法向量，根據(jù)已知可得SKIPIF1<0.然后用向量求出結(jié)果即可.【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié)SKIPIF1<0.由已知可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.由已知可得，SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在的直線為x軸，y軸，z軸，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.10．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是凸四邊形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由題意可證得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由線面垂直的判定定理可證得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再由面面垂直的判定定理即可證明；

（2）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，由題設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是凸四邊形，所以SKIPIF1<0.從而有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（1）知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0.【沖刺提升】一、單選題1．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是側(cè)棱SKIPIF1<0上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先在正四面體SKIPIF1<0中，作出SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的角，再比較三者間的的大小關(guān)系即可解決.【詳解】正四面體SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<0故選：C【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、多選題2．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，側(cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，則（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0D．該四棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、線面角定義、異面直線所成角的定義、球的幾何性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)閭?cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為矩形可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此選項(xiàng)A正確；由SKIPIF1<0為矩形可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或其補(bǔ)角），設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)閭?cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，因此SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)C不正確；設(shè)該四棱錐外接球的球心為SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)該四棱錐外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該四棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用線面垂直的判定定理和球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．（2023秋·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，正方體SKIPIF1<0中，頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，其余頂點(diǎn)在α的同側(cè)，頂點(diǎn)SKIPIF1<0，B，C到SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，1，2，則（）A．BC∥平面SKIPIF1<0B．平面A1AC⊥平面SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角比直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角小D．正方體的棱長(zhǎng)為2SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義、面面相交的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)锽，C到SKIPIF1<0的距離分別為1，2，顯然不相等，所以BC不可能與平面SKIPIF1<0平行，因此選項(xiàng)A不正確；對(duì)B，設(shè)SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0，C到SKIPIF1<0的距離為2，所以O(shè)到SKIPIF1<0的距離分別為1，而B(niǎo)到SKIPIF1<0的距離為1，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<