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文檔簡介
專題10難點探究專題:相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題(利用分類討論思想)】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題(利用分類討論思想)】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 15【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 21【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 26【考點六相似三角形中的動點探究應用問題】 34【典型例題】【類型一相似三角形動點中求時間多解問題(利用分類討論思想)】例題:如圖,在中,,,,若點是邊上的一個動點,以每秒3個單位的速度按照從運動,同時點從以每秒1個單位的速度運動,當一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止運動,在運動過程中,設運動時間為,若△BPQ與相似,則的值為.【變式訓練】1.(2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標系中,已知,.點從點開始沿邊向終點以的速度移動;點從點開始沿邊向終點以的速度移動.有一點到達終點,另一點也停止運動.若、同時出發(fā),運動時間為.
(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段和的長;(2)當t為何值時,與相似?2.(2023秋·廣東佛山·九年級校考階段練習)在中,,,,現(xiàn)有動點從點出發(fā),沿向點方向運動,動點從點出發(fā),沿線段也向點方向運動,如果點的速度是,點的速度是,它們同時出發(fā),當有一點到達所在線段的端點時,就停止運動.設運動時間為秒.
(1)求為多少秒時,的面積為為(2)當為多少時,以點為頂點的三角形與相似.3.如圖,矩形中,,點E為的中點,動點F從點A出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度運動,連接.過點作的平行線交射線于點H,設點F的運動時間為t(不考慮、、在一條直線上的情況).
(1)填空:當___________時,,此時___________;(2)當與相似時,求t的值.【類型二相似三角形動點中求線段長多解問題(利用分類討論思想)】例題:(2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模)矩形中,,,點E是的動點,若,則的長為.【變式訓練】1.(2023春·黑龍江哈爾濱·九年級??茧A段練習)在中,,,,點D在邊AC上,若是以為腰的等腰三角形,則的長為.2.(2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中)如圖,在平面直角坐標系中,矩形的邊分別在x軸、y軸的正半軸上,點A的坐標為,點P在矩形的內部,點E在邊上,且滿足,當△是等腰三角形時,點P的坐標為.3.(2023·安徽蚌埠·??家荒#┤鐖D,在中,,,,,分別為邊,上的動點,且,作,垂足為,連接.當是直角三角形時,的長為.
4.(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模)如圖,在中,分別為上的點,沿直線將折疊,使點B恰好落在上的D處,當恰好為直角三角形時,的長為.5.(2023·江蘇鹽城·校考一模)如圖,在中,,,,點是邊上一動點,過點作交邊于點,將沿直線翻折,點落在線段上的處,連接,當為等腰三角形時,的長為.【類型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題:(2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模)如圖,在直角中,,,,點P是邊上的動點,過點P作交于點H,則的最小值為.
【變式訓練】1.(2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中)如圖,中,,,,D是的中點,P是邊上的一動點,則的最小值為.2.(2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末)如圖,矩形中,,,點在邊上從向點運動,速度為,同時點在邊上從向點運動,速度為.連接、,設、交于點,取的中點,則的最小值為.3.(2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測)如圖,矩形中,,,E是BC中點,CD上有一動點M,連接、,將沿著翻折得到,連接,,則的最小值為.
【類型四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題:(2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末)如圖,正方形一邊在直線l上,P是直線l上點A左側的一點,,E為邊上一動點,過點P,E的直線與正方形的邊交于點F,連接,若設,的面積為S,則能反映S與x之間函數(shù)關系的圖象是()A.B.C.D.【變式訓練】1.(2023·河南焦作·統(tǒng)考二模)如圖,在中,,點P為邊上一動點,過點P作直線,交折線于點Q.設,則y關于x的函數(shù)圖象大致是(
)
A.
B.
C.
D.
2.(2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模)如圖,在正方形中,,動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動,連接交或的延長線于,記點移動的距離為,為,則關于的函數(shù)圖像大致是(
)A.B.C. D.3.(2023·黑龍江·模擬預測)如圖,已知直線是線段的中垂線,與相交于點C,D是位于直線下方的上的一動點(點D不與點C重合),連接,過點A作,過點B作于點E,若,設,,則y關于x的函數(shù)關系用圖像可以大致表示為(
).
A.
B.
C.D.
【類型五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題:(2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標系中,O是坐標原點,矩形的兩邊分別在x軸和y軸上,點B的坐標為,現(xiàn)有兩動點P,Q,點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動,同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動,連接,,.設運動時間為t秒.
(1)點P的坐標為______,點Q的坐標為______(用含t的代數(shù)式表示);(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化,并說明理由;(3)若A,P,Q為頂點的三角形與相似時,請求出t的值.【變式訓練】1.(2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末)(1)如圖1,四邊形是正方形,點E是邊上的一個動點,以為邊在的右側作正方形,連接,,則與的數(shù)量關系是______.(2)如圖2,四邊形是矩形,,,點E是邊上的一個動點,以為邊在的右側作矩形,且,連接,.判斷線段與,有怎樣的數(shù)量關系和位置關系,并說明理由;(3)如圖3,在(2)的條件下,點E是從點A運動D點,則點G的運動路徑長度為______;(4)如圖3,在(2)的條件下,連接BG,則的最小值為______.
2.(2023春·江西鷹潭·九年級??茧A段練習)綜合與探究問題提出:數(shù)學課上,老師提出了一個問題:在中,,于點D,E為上的一動點,與相交于點G,點F在上,于點E,試探究與的數(shù)量關系,并加以證明.
特例故知:(1)勤奮小組從特殊情況入手:如圖1,,E為的中點,則與的數(shù)量關系為______.變式探究(2)希望小組受此啟發(fā),作了如下改變:如圖2,將(1)中“”改為“”,其他條件不變,試探究與的數(shù)量關系,并加以證明.拓展提高(3)經過前兩個小組的探究,智慧小組將該問題的條件更一般化:如圖3,,,試探究與的數(shù)量關系,并加以證明.【類型六相似三角形中的動點探究應用問題】例題:(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模)探究完成以下問題:【初步認識】(1)如圖1,在四邊形中,,連接,,過點作交的延長線于點.求證:;【特例研究】(2)如圖2,若四邊形中,,(1)中的其它條件不變,取,的中點M,F(xiàn),連接.①求證:;②N為的中點,連接,猜想與的位置關系,并證明你的猜想;【拓展應用】(3)如圖3,在矩形中,對角線,相交于點O,E是射線上一動點,過點作交射線于點,當,,時,請直接寫出的長.
【變式訓練】1.(2023·湖北武漢·??寄M預測)一次數(shù)學綜合實踐活動課上.小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論.如圖1,是的角平分線,可以證明【基礎鞏固】(1)參照小慧提供時思路,利用圖(2)請證明上述結論;(2)A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點,點P是直線外一動點,平分;【嘗試應用】①若,,延長至D,使,若的長為定值,請求出這個值;【拓展提高】②拓展:若,,,P點在l外運動時,使為定值,直接寫出的長為___________(用含m、n的式子表示).2.(2023·河南安陽·統(tǒng)考一模)在數(shù)學活動課上,老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.
(1)操作推斷如圖1,點P是正方形紙片的邊的中點,沿
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