數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：9三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.初速度為v0,發(fā)射角為θ，則炮彈水平移動(dòng)的距離x與v0之間的關(guān)系式（t是飛行時(shí)間）為（）A.x=|v0t｜B。x=｜v0｜·sinθ·tC.x=|v0｜·sinθ·t—|g｜·t2D.x=｜v0｜·cosθ·t解析：由速度的分解可知炮彈水平移動(dòng)的速度為v0·cosθ，如圖所示：故炮彈水平移動(dòng)的距離為｜v0｜·cosθ·t.答案：D2.在200米高山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（)A.米B.米C。米D.米解:如圖，設(shè)塔高為h米，則200·tan30°=(200-h）tan60°，∴h=米。答案：A3.甲、乙兩樓相距60米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?5°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高度分別為_____________、_____________。解析：如圖，甲樓的高度AC=AB=60米,在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙樓的高度為BD=BE-DE=（60-）（米）.答案:60米（60-）米10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1。圖3—3—1中哪一個(gè)圖像準(zhǔn)確地描述了某物體沿粗糙斜面滑下時(shí)其加速度和斜面傾斜角θ之間的關(guān)系(動(dòng)摩擦因數(shù)不變）？（）圖3—3-1解析：由物理知識(shí)可知，當(dāng)斜面傾斜角θ比較小時(shí),物體處于靜止?fàn)顟B(tài),加速度為0，故排除A，B.根據(jù)受力分析，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ。∴a=g(sinθ—μcosθ)=sin(θ-φ）(其中tanφ=μ)。故選D.答案:D2.一樹干被臺(tái)風(fēng)折成60°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米,樹干原來的高度為__________.解析:如圖,BC=20tan30°=.AB=,所以樹干原來的高度為AB+BC=(米）.答案:米3.圖3—3-2是一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是________________.圖3-3-2解析：設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ），則A=2，由圖像可知T=2×(0。5-0。1)=，∴ω=.∴×0.1+φ=?！唳??！嗪瘮?shù)的解析式為y=2sin（x+）。4。某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦曲線變化.（1）畫出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖像；(2）求出種群數(shù)量作為時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式（其中t以年初以來的月為計(jì)量單位）.解：(1)種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖像如圖所示：(2）設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=Asin(ωt+φ）+k，由已知平均數(shù)量為800，最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200，數(shù)量變化周期為12個(gè)月,所以振幅A==100,即ω=,k=800.又7月1日種群數(shù)量達(dá)到最高，∴.∴φ=.∴種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=100sin（t-3）+800。5。如圖3-3-3所示，某人身高a=1。77米，在黃浦江邊測(cè)得對(duì)岸的東方明珠塔尖的仰角α=75。5°，測(cè)得在黃浦江中的倒影的塔尖的俯角β=75.6°,求東方明珠的塔高h(yuǎn)。圖3—3-3解：設(shè)黃浦江的寬為b米，則b·tanα=h—a，b·tanβ=h+a.消去b得h=.當(dāng)α=75.5°,β=75.6°,a=1.77米時(shí)，h=490。1米.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1.如圖3-3—4所示，有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD辟為綠地,使其一邊AD落在圓的直徑上，另兩點(diǎn)B、C落在半圓的圓周上。已知半圓的半徑長(zhǎng)為a,如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A、D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？圖3—3—4解：如圖,令∠AOB=θ,則AB=asinθ，OA=acosθ,則矩形ABCD的面積為S=asinθ·2·acosθ=a2·2sinθcosθ=a2·sin2θ≤a2.其中“≤”中等號(hào)成立的條件是sin2θ=1,即2θ=90°，于是θ=45°時(shí),S為最大?！郃、D兩點(diǎn)與O的距離都是a。2.三角函數(shù)的疊加問題：在交流電、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及各種“波”等問題的研究中,三角函數(shù)發(fā)揮了重要的作用，在這些實(shí)際問題中,經(jīng)常會(huì)涉及“波”的疊加,在數(shù)學(xué)上常?？梢詺w結(jié)為三角函數(shù)的疊加問題.設(shè)y1=3sin(2t+），y2=4sin2t表示兩個(gè)不同的正弦“波”，試求它們疊加后的振幅和周期.解：它們疊加后的函數(shù)是y1+y2=3sin()+4sin2t=3cos2t+4sin2t==5sin（2t+φ）（其中tanφ=），所以，疊加后的函數(shù)的振幅為5，周期仍為π，初相為arctan,即疊加后的“波”的振幅為5，周期仍為π。3。以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠及該商品在商店的銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn):該商品的出廠價(jià)格是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元;而該商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格是在8元的基礎(chǔ)上也是按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，并且已知5月份價(jià)格最高為10元,9月份價(jià)格最低為6元.假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月份贏利最大?并說明理由。解：由條件得：出廠價(jià)格函數(shù)是y1=2sin（x)+6,銷售價(jià)格函數(shù)為y2=2sin（x—）+8.則利潤(rùn)函數(shù)為y=m(y2-y1)=.所以當(dāng)x=6時(shí),y=（2+)m最大.所以6月份贏利最大.4。如圖3—3—5，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面0。5米。風(fēng)車圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng),t秒后與地面的距離是h米.圖3—3-5(1）求函數(shù)h=f（t）的關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)h=f(t)的圖像。解：（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的圓的切線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y），則h=y+0.5.設(shè)∠OO1A=θ，則cosθ=,y=-2cosθ+2。又θ=×t，即θ=t，所以y=。所以h(t）=.（2）h(t）=的圖像如下圖。5.一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球來回?cái)[動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移S(單位cm）與時(shí)間t（單位:s)的函數(shù)關(guān)系是S=6sin（2πt+）。（1）畫出它的圖像;（2)回答以下問題：①小球開始擺動(dòng)（即t=0），離開平衡位置多少厘米？②小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？③小球來回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？解:（1）先求周期：T==1(s）。列表:t012πt+π2π2π+6sin（2πt+)360—603描點(diǎn)畫圖：（2)①小球開始擺動(dòng)(t=0）,離開平衡位置為3cm.②小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離是6cm（即振幅）。③小球來回?cái)[動(dòng)一次需要1s(即周期）。6.某港口水深y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t(時(shí)）03691215182124y(米）10.013。09.97.010。013.010。17。010.0據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖3—3-6所示,經(jīng)擬合，該曲線可近似看成正弦函數(shù)y=Asinωx+B的圖像.圖3—3—6（1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線求出y=Asinωx+B的表達(dá)式;（2)一般情況下,船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4。5米是安全的,如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所用的時(shí)間）?解：（1)從擬合的曲線可知,函數(shù)y=Asinωx+B在一個(gè)周期內(nèi)由最大變?yōu)樽钚⌒枰?—3=6個(gè)小時(shí),此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時(shí),因此=12,ω=。又當(dāng)t=0時(shí)，y=10，當(dāng)t=3時(shí)，ymax=13，所以B=10,A=13—10=3.于是所求函數(shù)解析式為y=3sinx+10。（2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米,故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于7+4.5=11.5(米).由擬合的曲線可知，一天24小時(shí)，水深y變化兩個(gè)周期，故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時(shí)間最長(zhǎng),則應(yīng)從凌晨3點(diǎn)前進(jìn)港,而從第二個(gè)周期中的下午15點(diǎn)后離港。令y=3sin+10