2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過詳細實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點法或借助計算工具畫出詳細指數(shù)函數(shù)的圖像,探究并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點,發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).3.初步運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決諸如比較大小等簡潔問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).課堂探究考古學(xué)家常常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間.當(dāng)有機體生存時,會持續(xù)不斷地汲取碳14,從而其體內(nèi)的碳14含量會保持在肯定的水平;但當(dāng)有機體死亡后,就會停止汲取碳14,其體內(nèi)的碳14含量就會漸漸削減,而且每經(jīng)過大約5730年后會變?yōu)樵瓉淼囊话?你能用函數(shù)表示有機體內(nèi)的碳14含量與其死亡時間之間的關(guān)系嗎?一種死亡已經(jīng)一萬年的有機體,其體內(nèi)的碳14含量是其生存時的百分之多少?利用本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)學(xué)問,可以順當(dāng)解決情境中的問題.問題探究一:在以上情境中,假設(shè)有機體生存時碳14的含量為1,假如用y代表該有機體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量,則x=5730時,y=12;x=2×5730時,y=122由此可知:x=3×5730時,y=;

x=5730n時,y=;

從而y與x的關(guān)系可以表示為.

要點歸納1:指數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),.

問題探究二:請同學(xué)們用描點法畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖像,小組探討完成以下問題:視察y=2x的圖像圖像特征代數(shù)表述圖像向x軸的、方向無限延長

定義域

圖像位于x軸的

值域

圖像不關(guān)于和對稱

奇偶性

續(xù)表自左向右看,圖像

單調(diào)性

第一象限內(nèi)的函數(shù)圖像在y=1的上方當(dāng)x>0時,y∈

其次象限內(nèi)的函數(shù)圖像在y=1的下方當(dāng)x<0時,y∈

問題探究三:類比指數(shù)函數(shù)y=2x的圖像和性質(zhì),探討指數(shù)函數(shù)y=12視察y=12圖像特征代數(shù)表述圖像向x軸的、方向無限延長

定義域

圖像位于x軸的

值域

圖像不關(guān)于和對稱

奇偶性

自左向右看,圖像

單調(diào)性

第一象限內(nèi)的函數(shù)圖像在y=1的上方當(dāng)x>0時,y∈

其次象限內(nèi)的函數(shù)圖像在y=1的下方當(dāng)x<0時,y∈

思索并回答下面問題:(1)指數(shù)函數(shù)y=2x和y=12(2)能得出指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像肯定過哪個定點嗎?(3)為什么要限定a>0且a≠1?要點歸納2:由以上實例,歸納指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的性質(zhì):0<a<1a>1圖像定義域值域性質(zhì)定點單調(diào)性典型例題:例1(多選)若函數(shù)f(x)=12a-3·ax(a>0,且A.a=8 B.f(0)=-3 C.f12=22 D.a=例2利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小.(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1.變式訓(xùn)練1已知實數(shù)a,b滿意37a>37b,試推斷6a變式訓(xùn)練2求不等式13x2-8>3例3利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像求方程3x=2x+1的解集.變式訓(xùn)練3利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像求不等式13x>-23課堂練習(xí)1.下列的關(guān)系式:(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=x2;(5)y=πx,其中是指數(shù)函數(shù),理由是.

2.函數(shù)y=ax-2(a>0,且a≠1)的圖像必過定點.

3.將下列三個數(shù)按從小到大的依次用不等號連接起來:1323,34核心素養(yǎng)專練1.(多選)若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限,則下列選項中正確的有()A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<02.(多選)若指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值的和為52,則a的值可能是(A.2 B.12 C.3 D.3.(多選)已知實數(shù)a,b滿意等式12a=13b,則下列五個關(guān)系式中A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<04.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34,寫出存留污垢的百分比y與漂洗次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式,并求出若要使存留的污垢不超過原有的1%所要漂洗的最少次數(shù)參考答案課堂探究問題探究一1231要點歸納1:y=axa>0且a≠1問題探究二第一行:負半軸上方R其次行:上方(0,+∞)第三行:y軸原點非奇非偶函數(shù)第四行:上升遞增第五行:(1,+∞)第六行:(0,1)問題探究三第一行:正半軸上方R其次行:上方(0,+∞)第三行:y軸原點非奇非偶函數(shù)第四行:下降遞減第五行:(0,1)第六行:(1,+∞)思索并回答下面問題:(1)(0,1)(2)(0,1)(3)其他范圍沒有探討的意義.要點歸納2:第一行:圖像參考課本其次行:R第三行:(0,+∞)第四行:(0,1)第五行:單調(diào)遞減單調(diào)遞增典型例題例1解析:因為函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),所以12a-3=1,所以a=所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f12=812=故B,D錯誤,A,C正確.故選AC.例2(1)<(2)<變式訓(xùn)練1<變式訓(xùn)練2解:不等式13x2-8>3-2x所以由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知x2-8<2x,∴-2<x<4.例3解:函數(shù)y=3x和y=2x+1的圖像如圖:由圖知方程的解集是{0,1}.變式訓(xùn)練3解:函數(shù)y=13x和y=-2由圖知不等式的解集是{x|x<0或x>1}.課堂練習(xí)1.(5)符合指數(shù)函數(shù)的定義2.(2,1)3.1323<1核心素養(yǎng)專練1.AD2.AB3.CD4.y=14x(x∈N*學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對指數(shù)函數(shù)概念的理解,培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng);2.通過對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像的駕馭,培育直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng);3.通過對指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,培育數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)1.指數(shù)函數(shù)的定義:.

思索:定義中為什么限定a>0且a≠1?

2.用列表描點法畫出下列函數(shù)圖像.(1)y=2x和y=12x(2)y=3x和y=13xx-2-1012y=y=3.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=ax0<a<1a>1圖像定義域值域定點單調(diào)性課堂探究1.【探究一】比較大小例1利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小.(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1;(3)1.70.3與0.93.1.學(xué)后反思:變式訓(xùn)練(1)已知實數(shù)a,b滿意37a>37b,試推斷6(2)求函數(shù)y=1-12.【探究二】指數(shù)函數(shù)恒過定點問題例2(1)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)必過定點;

(2)函數(shù)y=ax+1(a>0且a≠1)必過定點;

(3)函數(shù)y=ax+1+1(a>0且a≠1)必過定點.

學(xué)后反思:變式訓(xùn)練函數(shù)y=a2x+b+1恒過定點(1,2),則b=.

課堂小結(jié):核心素養(yǎng)專練A組1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是()A.y=3-x B.y=32x C.y=3x2 D.y=32.比較兩個值的大小.(1)15-12

1523;(2)1.72.(3)140.8

121.8;(4)1.70.33.已知對不同的a值,函數(shù)fx=2+ax-1a>0,a≠1的圖像恒過定點P4.解指數(shù)函數(shù)不等式.(1)12x2-2≤2;(2)135.求下列函數(shù)的定義域.(1)y=19x-1;(2)y=2B組1.比較大小:a0.5與a0.6a>2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范圍.3.已知f(x)的定義域為(0,1),則f(3x)的定義域為.

4.求y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域.5.函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,2]中的最大值比最小值大a2,則a的值為參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略核心素養(yǎng)專練A組1.B2.(