2022年新高考數(shù)學(xué)小題壓軸 5 立體幾何壓軸小題（學(xué)生版+解析版）

專題5立體幾何壓軸小題

一、單選題

1.（2021?全國?高三專題練習）正三棱柱4BC-4SC1中，所有棱長均為2,點E,尸分別為棱A8i,AiC\

的中點，若過點4E,歹作一截面，則截面的周長為（）

C.2V5+V13D.275+—

2

2.（2021?浙江?瑞安中學(xué)模擬預(yù)測）已知點尸是正方體N8C。-HB'C'D'上底面48'C'D'上的一個動點，記

面/DP與面8C尸所成的銳二面角為C，面/AP與面COP所成的銳二面角為「，若￡＞/，則下列敘述正

確的是（）

A.ZAPC>ZBPDB.ZAPC<ZBPD

C.max{ZAPD,ZBPC]>max{NAPB,ZCPD}D.min{ZAPD,ZBPC}>min{ZAPB,ZCPD}

3.（2021?浙江嘉興?高三月考）如圖，將矩形紙片/BCD折起一角落（△以尸）得到△"'尸，記二面角

/'-防-。的大小為。0＜。＜￡,直線HE,4尸與平面8cD所成角分別為“，P，則（）.

A.a+J3>0B.a+)3<0

兀

C.a+,>5D.a+/3>20

4.（2021?浙江?二模）如圖，在正方體4SCD-斯G8中，尸在棱3c上，BP=x,平行于5。的直線/在正

方形EFGH內(nèi)，點￡到直線I的距離記為d,記二面角為N-/-尸為，，已知初始狀態(tài)下x=0,4=0,則

B.當x增大時，。先減小后增大

C.當d增大時，。先增大后減小D.當“增大時，。先減小后增大

5.（2021?山東?高三專題練習）如圖,在直三棱柱/3C-4月G中，己知A/8C是邊長為1的等邊三角形,

M=2,E,尸分別在側(cè)面耳8和側(cè)面44CC內(nèi)運動（含邊界），且滿足直線與平面NE廠所成的角

為30。，點4在平面/跖上的射影〃在斯內(nèi)（含邊界）.令直線8〃與平面4BC所成的角為。，貝！hand

的最大值為（）

（司百（-百）

A.32+D.--------C.D.32

3

6.（2021?浙江溫州?二模）如圖，點M、N分別是正四面體NBCD棱/2、CD上的點，^BM=x,直線MN

與直線BC所成的角為。，則（）

A.當ND=2CN時,。隨著x的增大而增大

B.當ND=2CN時,6隨著x的增大而減小

C.當CN=2A?時,6隨著x的增大而減小

D.當CN=2ND時,。隨著x的增大而增大

7.（2021?浙江?高三月考）如圖，已知在中，/A4c=90。,/3=l,JBC=2,。為線段BC上一點，沿4D

將△48。翻轉(zhuǎn)至V/27）,若點"在平面/OC內(nèi)的射影7/恰好落在線段/C上，則二面角2-DC-/的正

切的最大值為（）

C.V2D.V3

8.（2021?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐D-48C中，AB=BC=CD=DA,N4BC=90°,E,F,O分

別為棱BC,D4，C的中點，記直線E尸與平面80。所成角為氏則，的取值范圍是（）

71717171nn

A.吟B.c.于5D.石'5

9.（2021?廣東中山?模擬預(yù)測）四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內(nèi)，此時正四面體各面與球相

切，則這個正四面體外接球的表面積為（

A.(168+48&)%B.(168+42〃)萬

C.(188+48旗沈D.(168+32V6>

10.（2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））如圖是四棱錐尸-48CD的平面展開圖，四邊形ABCZ）

是矩形，ED1DC,FD^DA,DA=3,DC=2,NE1D=30。.在四棱錐尸-4BCD中，cos/PBC=()

2

D.

3

11.（2021?北京市十一學(xué)校高三月考）如圖所示,在正方體ABCD-48c2中，過對角線8,的一個平面

交/同于￡,交CG于凡給出下面幾個命題:

①四邊形8尸2后一定是平行四邊形;

②四邊形2尸2后有可能是正方形；

③平面3尸2后有可能垂直于平面8月。；

④設(shè)2廠與。c的延長線交于與以的延長線交于N,則M、N、3三點共線;

⑤四棱錐耳-即叫也的體積為定值.

以上命題中真命題的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2021?全國?高三專題練習）已知四邊形ABCD為正方形GD_L平面ABCD,四邊形DGEA與四邊形DGFC

也都為正方形，連接￡凡FB,BE,〃為3尸的中點，有下述四個結(jié)論：

JTTT

?DE±BF；②所與C"所成角為§；?ECmDBF-,④8尸與平面/CFE所成角為.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.①②③

C.①③④D.①②③④

13.（2021?全國?高三專題練習）已知的邊長都為2,在邊48上任取一點D,沿C￡＞將△3CD折起，

使平面BCD,平面ZCD.在平面BCD內(nèi)過點8作平面/CD,垂足為尸，那么隨著點。的變化，點尸

的軌跡長度為（）

A.￡B.-C.—D.71

633

14.（2021?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校模擬預(yù)測（理））蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的

含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢

足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，A,B,C,D滿足4B=BC=CD=DA=DB=2cm,

AC=3cm,則該“鞠”的表面積為（

r35y后兀2

C.35^cm2D?----------cm

15.（2021?浙江省普陀中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，棱長為1的正方體4片G2中，點尸為線段4c上

的動點，點分別為線段4G，CG的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.A.P1AB,B.三棱錐瓦NP的體積為定值

C.^APD,e[60°,120°]D.么尸+口尸的最小值為:

16.（2021?江蘇嗨安高級中學(xué)高三期中）如圖所示，在直三棱柱48C-421G中，叫=1，AB=BC=sf3,

cosZABC=-,尸是4B上的一動點，則4P+PG的最小值為（）

A.V5B.V7C.1+V3D.3

17.（2021?山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）已知三棱錐尸-/BC的所有頂點都在球。的球面上，A/BC滿

足4B=2,ZACB=90°,P4為球。的直徑且尸/=4,則點P到底面/3C的距離為（）

A.V2B.242C.V3D.2百

18.（2021?全國?高三開學(xué)考試（理））如圖，在正方體/BCD-48?。中，點P為線段4a上的動點（點尸

與4，G不重合），則下列說法不正確的是（）

A.BDVCP

B.三棱錐C-APD的體積為定值

C.過尸，C,2三點作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形

D.。尸與平面481GA所成角的正弦值最大為!

19.（2021?四川?樹德中學(xué)高三月考（理））已知四面體NBCD的所有棱長均為逝，M,N分別為棱/￡）,BC

的中點，尸為棱43上異于4,2的動點.有下列結(jié)論：

①線段的長度為1；

②若點G為線段上的動點，則無論點尸與G如何運動，直線尸G與直線CD都是異面直線；

③NMKV的余弦值的取值范圍為[0,g）；

④AAIW周長的最小值為夜+1.

其中正確結(jié)論的為（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

20.（2021?江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）已知四棱錐尸-/BCD的底面/BCD是邊長為2的正方形，且

乙乙3=90。.若四棱錐尸-488的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當我最長時，則四棱錐P/2CD

的體積為（）

47454A/4187148后

A.B.C.D.

3333

二、多選題

21.（2021?重慶?西南大學(xué)附中高三月考）已知點/為圓臺。。2下底面圓。2上的一點，S為上底面圓。上

一點，且SQ=1,。。2=道，O2A=2,則下列說法正確的有（）

A.直線”與直線所成角最小值為？

O

B.直線S/與直線JR所成角最大值為事

C.圓臺存在內(nèi)切球，且半徑為必

2

D.直線與平面SO。?所成角正切值的最大值為世

2

22.（2021?山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）如圖，在正方體43]G2中，點尸在線段用。上運動,

則下列結(jié)論正確的是（）

C.異面直線AP與AXD所成角的取值范圍是[30。,90。]

D.直線與平面4G。所成角的正弦值的最大值為"

3

23.（2021?江蘇?海安高級中學(xué)高三期中）在棱長為1的正方體45CQ-中，點尸滿足

UULUUULLLLIUU1

DP=ADD[+〃DA,2e[0,l],4￡[0,1],則以下說法正確的是（）

A.當％="時，BPII平面CBQT

1JT

B.當必=：時，存在唯一點P使得DP與直線C4的夾角為:

C.當4+4=1時，C尸長度的最小值為立

2

TT

D.當2+〃=1時，CP與平面BCQ片所成的角不可能為q

24.（2021?重慶?西南大學(xué)附中高三月考）如圖，在菱形48CD中，AB=2,乙4BC=60。,“為8C的中點,

將A/BM沿直線翻折成4M,連接片C和4D,N為與D的中點，則在翻折過程中，下列說法正確

的是（）

A.AMLB^C

B.CN的長不為定值

TT

C.48]與CN的夾角為§

D.當三棱錐用的體積最大時，三棱錐用的外接球的表面積是12萬

25.（2021?全國?高三專題練習）已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心,

上底面半徑為"0＜廠＜2）,設(shè)圓臺的體積為“，則下列選項中說法正確的是（）

A.當廠=1時，憶=上咨B.當廠在區(qū)間（0,2）內(nèi)變化時，/先增大后減小

C.”不存在最大值D.當,在區(qū)間（0,2）內(nèi)變化時，「逐漸減小

26.（2021?全國?高三專題練習（理））已知梯形NBCD,4B=4D,BC=1,ADHBC,ADLAB,P是

2

線段5c上的動點；將△/8D沿著8D所在的直線翻折成四面體438,翻折的過程中下列選項中正確的

是（）

A.不論何時，AD與HC都不可能垂直

B.存在某個位置，使得/D_L平面?3C

C.直線4尸與平面BCD所成角存在最大值

D.四面體H8CD的外接球的表面積的最小值為4萬

27.（2021?全國?高三專題練習（理））在正三棱柱NBC-481G中，/2=刊=1,點P滿足加=彳前+〃函,

其中4e[0,1],則（）

A.當4=1時，△/不？的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸-48c的體積為定值

c.當時，有且僅有一個點尸，使得4尸，

D.當〃=；時，有且僅有一個點尸，使得&8,平面

28.（2021?湖北?麻城市實驗高級中學(xué)高三月考）如圖，點M是棱長為1的正方體/BCD-44G。中的側(cè)面

工。24上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（)

B.當點M在棱。，上運動時，|九伍|+|兒礙|的最小值為石+1

C.在線段力2上存在點"，使異面直線片/與S所成的角是30。

D.滿足|兒回=2|九的點M的軌跡是一段圓弧

29.（2021?廣東順德一模）如圖，已知圓錐OP的底面半徑廠=百，側(cè)面積為2省萬，內(nèi)切球的球心為。-

外接球的球心為。2,則下列說法正確的是（）

A.外接球儀的表面積為16萬

B.設(shè)內(nèi)切球。的半徑為4,外接球。2的半徑為2,則％=3/

C.過點尸作平面a截圓錐。尸的截面面積的最大值為內(nèi)

D.設(shè)圓錐。尸有一內(nèi)接長方體，該長方體的下底面在圓錐底面上，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則

該長方體體積的最大值為|

30.（2021?福建?泉州科技中學(xué)高三月考）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》

的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為子，托盤由邊長

為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（)

B

TT

A.經(jīng)過三個頂點48,C的球的截面圓的面積為￡

B.異面直線/。與C尸所成的角的余弦值為，

O

9

C.多面體45CD跖的體積為:

4

D.球離球托底面DE廠的最小距離為G+如-1

3

31.（2021?廣東廣州?高三月考）如圖，矩形/BCD中，AB=2AD=2,E為邊的中點，將“DE沿DE

翻折成若可為線段4c的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確的是（）

A.翻折到某個位置，使得。4,EC

B.翻折到某個位置，使得/C,平面

C.四棱錐4-OC3E體積的最大值為也

4

D.點M在某個球面上運動

32.（2021?山東?廣饒一中高三月考）如圖所示，正方體-4月G。中，=1,點尸在側(cè)面BCGA（包

括邊界）上運動，并且總是保持8，，則以下四個結(jié)論正確的是（）

A.V^-PADB.點尸必在線段與。上

C.AP1BCXD./P〃平面4G。

jr

33.（2021?重慶?高三月考）已知邊長為。的菱形45CQ中，ZADC=-9將沿4。翻折，下列說法正

確的是（）

A.在翻折的過程中，直線4。，可能相互垂直

3

B.在翻折的過程中，三棱錐。-N8C體積最大值為幺

8

C.在翻折的過程中，三棱錐。-/BC表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為（14-86）萬/

D.在翻折的過程中，點。在面/3C上的投影為E為棱C。上的一個動點，即'的最小值為在a

4

34.（2021?廣東?深圳第三高中高三月考）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多

邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三

棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為3+石，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的

是（)

A.與48所成的角是60。的棱共有8條

B.N3與平面BCD所成的角為30。

C.二面角N-3C-。的余弦值為一如

3

D.經(jīng)過/,B,C,。四個頂點的球面面積為2萬

35.（2021?湖北?高三開學(xué)考試）如圖，NE_L平面/BCD,CFHAE,ADIIBC,ADLAB,AE=BC=2,AB=AD=l,

o

CF”,貝！|（）

B.BF〃平面

C.二面角E-AD-F的余弦值為:

D.直線C￡與平面所成角的正弦值為g

36.（2021?重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，正方體/BCD-N4G。的棱長為2,尸為3c的中點，G為

線段CD上的動點，。為線段CG上的動點，過點A,P,。的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列

命題正確的是（）

A.對任意的點G,存在點。，使得4G，尸。

B.對任意的點G,存在點。，使得4GL平面尸GQ

32

c.當co=5時，s與GA的交點R滿足GR=§

D.當C0=?時，A/P。的外接圓的面積最小

37.（2021?江蘇?揚州市邢江區(qū)蔣王中學(xué)高三月考）如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組

77IT

成的三角形，ZCAD=-,ZBCD=-.現(xiàn)將及A3c沿斜邊翻折成AD/C（，不在平面48C內(nèi)）.若

M,N分別為和8R的中點，則在△/CD翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.MN//平面/CQ

B.NR與3c不可能垂直

C.二面角C正切值的最大值為血

兀71

D.直線與DM所成角的取值范圍為

38.（2021?廣東?汕頭市澄海中學(xué)高三月考）如圖，正方體/BCD-4與G2的棱長為1,E,F,G分別為

Bc,cq,54的中點.則（）

A.直線DQ與直線/尸垂直

B.直線4G與平面/跖平行

9

C.平面/跖截正方體所得的截面面積為?

O

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

39.（2021?全國?高三開學(xué)考試）已知正方體44G2的棱長為4,點M是棱44的中點，點尸在面

48co內(nèi)（包含邊界），且"P=2石，則（)

A.點尸的軌跡的長度為2萬

B.存在尸，使得〃PL4c

C.直線MP與平面瓦所成角的正弦值最大為日

D.沿線段M尸的軌跡將正方體/BCD-4用GA切割成兩部分，挖去體積較小部分，剩余部分幾何體的表

40.（2021?全國?高三專題練習（文））如圖，在棱長為2的正四面體尸-48C中，O、E分別為上的動

點（不包含端點），尸為尸C的中點，則下列結(jié)論正確的有（）

B

A.OE+M的最小值為百;

B.若￡為NC中點，則。尸的最小值為8；

C.若四棱錐尸與DEC的體積為亨，則。E的取值范圍是卜

D.若BE-FE=-,貝IJCE=1

2

41.（2021?全國?高三專題練習（文））若四面體各棱長是1或2且該四面體不是正四面體，則其體積的可能

值是（）

三、雙空題

42.（2021?福建?福清西山學(xué)校高三期中）如圖，已如平面四邊形/BCD,4B=BC=3,CD=1,AD=45,

//n3=90。.沿直線4。將4。/。翻折成4。%。，則亞.麗=；當平面力/C，平面48C時，則

異面直線/C與2。所成角余弦值是

43.（2021?新疆?克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點

A,2距離之比為常數(shù)2（力＞0且Xrl）的點的軌跡是一個圓心在直線N3上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)

以上信息，解決下面的問題：

如圖，在長方體N5CD-44G2中，/3=2/。=2441=6,點￡在棱N8上，BE=2AE,動點尸滿足

8P=6尸匠若點P在平面/BCD內(nèi)運動，則點尸所形成的阿氏圓的半徑為;若點尸在長方體

/3CD-4與G2內(nèi)部運動，尸為棱G2的中點，M為CP的中點，則點M到平面弟#的距離的最小值為

44.（2021?江蘇?高三月考）現(xiàn)有一塊正四面體形狀的實心木塊，其棱長為9cm.車工師傅欲從木塊的某一個

面向內(nèi)部挖掉一個體積最大的圓柱，則當圓柱底面半徑廠=cm時，圓柱的體積最大，且最大值

為cm3.

45.（2021?山東濟南?高三月考）如圖，在四棱錐P-NBCO中，底面48CD是矩形，側(cè)面尸/B，底面/BCD,

48=2,ZBPA=60°,當AP48面積最大時，若四棱錐P-/8CD存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為,

此時四棱錐P-ABCD的體積為

46.（2021?福建?上杭一中模擬預(yù)測）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖曬提出了計算體積的祖眶原理：“幕勢既同，

則積不容異。”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積

相等。如圖，陰影部分是由雙曲線，-/=/包〉。）與它的漸近線以及直線〉=±。所圍成的圖形，將此圖

形繞V軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個旋轉(zhuǎn)體，（1）如用與X軸相距為〃他＜。），且垂直于y軸的平面，截這個旋轉(zhuǎn)

體，則截面圖形的面積為;（2）則這個旋轉(zhuǎn)體的體積為.

A

X

47.（2021?安徽?合肥一中模擬預(yù)測（理））半正多面體（se/w7egw/arso〃t/）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)

不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.以正方體每條棱的中點為頂點構(gòu)造一個半正多面

體，如圖，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成，若它的所有棱長都為1,則該半正多面體外接球的表面積

為;若該半正多面體可以在一個正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體體積最小值為.

48.（2021?全國?高三專題練習（文））已知正四面體4-BCD內(nèi)接于半徑為亞的球。中，在平面BCD內(nèi)

有一動點P,且滿足N尸=40，則上尸|的最小值是；直線/尸與直線8C所成角的取值范圍為

四、填空題

49.（2021?吉林?長春外國語學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知菱形的邊長為2g,NBAD=三,若沿對

角線8。將△3CD折起，使得4c=3行，則C,。四點所在球的表面積為.

50.（2021?湖北武漢?高三開學(xué)考試）空間四面體48co中，AB=CD=2,AD=BC=2互4C=4,直線AD

與/C所成的角為45。，則該四面體的體積為.

51.（2021?安徽?合肥市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文））三棱錐力-BCD中，為邊長為3的等邊三角形,

BCVCD,。=舊，且面面3C。，則三棱錐/-8CD的外接球的體積為.

52.（2021?全國?高三專題練習）如圖，在矩形/BCD中，2AB=BC=2,2AB=BC=2.將A,C分別沿BE,

DF向上翻折至H,C,則4C取最小值時，二面角H-跖-C'的正切值是.

53.（2021?全國?高三專題練習）在長方體-/EG。中，秒=3,AD=AAX=A,E,F,G分別是

棱AB,BC,CG的中點，P是底面4BCD內(nèi)一動點，若直線3尸與平面EFG平行，當三角形2瓦尸的面積

最小時，三棱錐力-臺瓦尸的外接球的體積是.

54.（2021?浙江麗水?高三月考）如圖，在“8C中，BM=-MC,AB=AC=\,BM=—,點。在線段瀏/

23

上運動，沿ND將折到A4D*,使二面角4。_c的度數(shù)為60°，若點夕在平面內(nèi)的射影為

O,則OC的最小值為.

55.（2021?浙江?學(xué)軍中學(xué)高三期中）如圖，在四面體4BCD中，AB=CD=2,AC=BD=43,AD=BC=#,

E,F分別是的中點若用一個與直線所垂直，且與四面體的每個面都相交的平面a去截該四面體，

由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為

56.（2021?安徽省懷寧中學(xué)高三月考（理））如圖所示，三棱錐/-BCD中，NBAC=NBCA,NDCA=/DAC,

33泊=54=1。亞則三棱錐體積的最大值為---------

57.（2021?新疆?莎車縣第一中學(xué)高三期中）如圖，已知三個兩兩互相垂直的半平面a,|3,丫交于點。，矩形

JT

488的邊3c在半平面丫內(nèi)，頂點/,。分別在半平面a,B內(nèi)，40=2,48=3,與平面a所成角為力，

二面角/-3C-。的余弦值為;，則同時與半平面a,B，丫和平面/BCD都相切的球的半徑為.

58.（2021?廣東龍崗?高三期中）已知正方體N3CD-42c2的棱長為2,點E為4。中點，點尸、”在四

邊形48。內(nèi)（包括邊界），點尸到平面/8與4的距離等于它到點。的距離，直線〃耳//平面ECQ,則加

的最小值為.

59.（2021?浙江金華?高三月考）已知一正三棱錐的體積為心，設(shè)其側(cè)面與底面所成銳二面角為，，則當tan。

2

等于時，側(cè)面積最小.

60.（2021?廣東實驗中學(xué)高三月考）將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四

面體的高的最小值為

61.（2021?全國?模擬預(yù)測）在梯形N3CD中，AABC=ABAD=90°,AB=BC^AD=\,M為NC的中

點，將ANBC沿直線/C翻折成V/3C,當三棱錐片-/CO的體積最大時，過點M的平面截三棱錐片-/CD

的外接球所得截面面積的最小值為.

62.（2021?廣東?普寧市第二中學(xué)高三月考）四棱錐/-2CDE的各頂點都在同一球面上，.底面3CDE,

底面2CDE為梯形，/BCD=60°,且4B=CB=BE=ED=2,則此球的表面積等于

專題5立體幾何壓軸小題

一、單選題

1.（2021?全國?高三專題練習）正三棱柱中，所有棱長均為2,點E,尸分別為棱AiC\

的中點，若過點4E,尸作一截面，則截面的周長為（）

A.2+275B.2V5+|V13C.275+713D.2遂+拳

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.

【詳解】

如圖，在正三棱柱NBC-N禺G中，延長//與CG的延長線交于連接交81。于P,連接EP,則

四邊形/EP尸為所求截面.

過E作EN平行于BC交CG于N,則N為線段CQ的中點，由^MFCX相似于△MZC可得MCi=2,由

相似于AMEN可得：與=gnPG=g，4P=g，

在比尸中，/4=2,4尸=1,則4F=JF1F=逐，

在用△/BE中，AB=2,BE=1,則AE=打+干=店,

由余弦定理：PF2=12J^]-2xlx-xcos60°=—,貝I」尸尸=嫗，

⑺393

所以截面周長為：V5+V5+—+—=2^+^.

333

故選：B.

【點睛】

本題主要考查幾何體的截面問題，其中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)作出幾何體的截面是

問題的關(guān)鍵，平常注意方法的總結(jié)和歸納.

2.（2021?浙江?瑞安中學(xué)模擬預(yù)測）已知點P是正方體/BCD-HB'C'。'上底面H3'C'。'上的一個動點，記

面4D尸與面所成的銳二面角為a,面NAP與面CDP所成的銳二面角為廣，若a>￡,則下列敘述正

確的是（）

A.ZAPC>ZBPDB.ZAPC<ZBPD

C.max{ZAPD,ZBPC]>max{ZAPB,NCPD}D.min{ZAPD,ZBPC]>min{AAPB,ZCPD}

【答案】C

【分析】

結(jié)合正方體的幾何特征，以及面/DP與面8cp所成的銳二面角為a，面/AP與面CDP所成的銳二面角為

/?,若a>尸，判斷?在如圖所示的陰影范圍內(nèi).利用正方體的特點，判斷P接近于。時//PO/8尸D,故A、

B錯誤；'：PH<PE,：.ZAPD>ZAPB,?.?PG<PR；.故C正確，D錯誤，

【詳解】

如圖取正方體的下底面的各邊中點瓦凡G,//,上底面的中心為。，下底面的中心為O',

/8P,8。尸所成的角為a,所成的角為6a>p,

等價于P到HF的距離比到EG的距離大，

所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi).

在△，尸C和中，4030,尸。公用，。為共同的中點，

/APC/BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所決定，

所成角越小，則對應(yīng)角越大，

顯然P。與NC和3。所成的角的大小關(guān)系不確定，當尸在靠近4時尸。與直線NC所成的角較小，與直線

AD所成的角則接近于90。，此時同樣當尸接近于。時N4PO/AP。,故A、B錯誤；

NAPD與NBPD的大小關(guān)系看P實在EG的左側(cè)還是右側(cè)。

若是在左側(cè)，則//PANBPC,若是在右側(cè)，則若是在EG上，

貝IJN4PZA/APC;

同樣，尸在的前面，則/4P8>/CPD,尸在上，則尸在的后面，則

所以當尸在/'OH內(nèi)時，max{ZAPD,ZBPC}=ZAPD,min{ZAPD,ZBPC}=ZBPC,

max{ZAPB,ZCPD}=ZAPB,min{ZAPB,ZCPD}=ZCPD,

'：PH<PE,；.ZAPD>AAPB,'：PG<PF,：.ZBPC<ZCPD,

故C正確，D錯誤，

根據(jù)對稱性，在其余范圍內(nèi)，具有相同的結(jié)論.

故選：C

【點睛】

從正方體的幾何特征出發(fā)，利用題中信息判斷尸的大致區(qū)域，對尸處于不同位置都要判斷.

3.（2021?浙江嘉興?高三月考）如圖，將矩形紙片/BCD折起一角落（△￡//）得到△￡1//,記二面角

/，一郎一。的大小為《0<夕<：］,直線HE,NN與平面BCD所成角分別為尸，則（）.

A.a+p>0B.a+/3<0

JT

C.a+p>-D.a+/3>20

【答案】A

【分析】

如圖，過H作HH_L平面BCD,垂足為H,過，作HG_LE尸，垂足為G,可證sit?a+sii?尸=sin?6,利

用三角變換公式可證a+6>。，從而可得正確的選項.

【詳解】

如圖，過H作48_L平面BCD,垂足為H,過⑷作/'GJ.EF,垂足為G,

設(shè)A'G=d,A'H=h,ZA'EG=y,

因為4〃_L平面BCD,E尸u平面BCD,故A'HLEF,

而4Gc4〃=H,故跖_1平面HG〃，而G〃u平面/'G〃，

所以EF工GH,故乙4'GH=8,

又乙4'EH=a,ZA'FH=/3.

在直角三角形HGE中，H￡=—&一,同理4尸=上一，

smycosy

.hh

,,sina=—―=—sin/=sin0siny一.八.八

故dd,同理5111/7=5111。（：057，

sin/

故sin2a+sin2/7=sin20,故1一儂』。-儂』'=sin20,

22

整理得到您也+您辿=田。，

22

故cos（a+尸+°_￡）?cos[a+尸_（0一尸）]=0,

22'

/、/、°cos（a+⑶cos<9

整理得到cos（a+夕）cos（a一夕）=cos3即---------=---------,

cos6*cos[a-p）

若a由0<。<工可得cos（a+，）2cos。即cos（a+1）之1,

4cos<9

cos0,

\B\a-p\<a+p<6,故cos|a-刈〉cos。，即嬴再歷<1，矛盾，

故a+/?>6.

故A正確，B錯誤.

由sin2a+sin2p=sin2。可得sina<sin0,sin/?<sin6,

rr

而a,6均為銳角，故a<e,￡<e,a+/3<2e<—,故CD錯誤.

故選：A.

【點睛】

思路點睛：空間中不同類型的角的關(guān)系，應(yīng)利用點線面的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于角的等式關(guān)系，注意平面幾何、

三角變換、解三角形等計算中的應(yīng)用.

4.（2021?浙江?二模）如圖，在正方體N3CD-E尸G〃中，P在棱8c上，BP=x,平行于的直線/在正

方形內(nèi)，點E到直線/的距離記為d,記二面角為/-/-P為6,已知初始狀態(tài)下x=0,d=0,則

B.當x增大時，，先減小后增大

C.當d增大時,，先增大后減小D.當d增大時，。先減小后增大

【答案】C

【分析】

由題設(shè)，以尸為原點，煙，廠G,FE為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求出面的法向量前與面PAW的法

Z1d-+2也

/trr

向量為3的夾角c°s(加，〃

對于AB,令d=0,則cos6=,分

~x+A/2(7—2

，屋+4■r'1+2

析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷；對于CD,令x=0時，化簡整理得到

8

cosO-1-

,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y的單調(diào)性，進而判斷余弦

函數(shù)的單調(diào)性，進而得解.

【詳解】

由題設(shè)，以廠為原點，用,廠G,/花為x,%z軸建立空間直角坐標系,

設(shè)正方體的棱長為2,則尸(2,x,0),/(2,0,2),

設(shè)直線l與EH,EF交于M,N,則M(0,0,2—血⑹，N(0,8d,2)

L1L1L1LULlllLlUULULiUL

貝1]/"=(—2,0,—J2d),4N=(—2,j2d,0),7W=(0,J2d,J2d),尸M=(—2,—x,2—J2d)

設(shè)平面AMN的法向量為加=(〃,ac),

_2a-yp2.dc=0

m?AM=0令a=d,則t=收)

m?AN=0—2a+—0

設(shè)平面24W的法向量為〃=(e,/,g),又

n-PM=0-2e-xf+(2-42d)g-0

令/=1,則;=(f+2,f

n-MN=O,"[y/2df+y/2dg=Q,一

1rr-x+42d-2d+2^

利用空間向量夾角公式得c°s(也”_2

顯然函數(shù)夕=在x>0時為減函數(shù),即cos。減小,則6增大，故AB錯誤;

對于CD,當x=0時，則

(d—yf2^d+4—V2jd?+8d(d-V5)+16

J/+4.+4(^d—V2j/+4(d-CRd。+16

4(d-可+-8d{fl-

(d一亞)力+4；0-0+旌1+16

求導(dǎo)J=2d[(d一碼+4_|+2(/+?(d-/^=4/，2dHi2do

Q屋一四+4>0，令V=。，^d=—

2

故當0<〃<Yl時，y'<0,函數(shù)單減，即cos。單減，。增大；當時，/>0,函數(shù)單增，即cos〃單

22

增，。減??；故當d增大時，6先增大后減小

故選：C

Il

【點睛】

方法點睛：本題考查面面角的求法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即余弦函數(shù)的性質(zhì)，利用空間向量求立

體幾何?？疾榈膴A角:

設(shè)直線/,皿的方