成比例線段（解析版）-九年級數(shù)學(xué)（北師大版）

第18講成比例線段了解成比例線段；掌握比例的性質(zhì)；掌握黃金分割及其應(yīng)用。1．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．2．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若a:b=c:d，則ad=bc；（2）合比性質(zhì)：如果如果（3）等比性質(zhì)：如果（4）比例中項：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項．要點：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時為了計算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以。3.黃金分割如果點P把線段AB分割成AP和PB,(AP>PB)兩段，其中AP是AB和PB的比例中項，那么就稱這種分割為黃金分割，點P是線段AB的黃金分割點.≈0.618AB(叫做黃金分割值).要點：線段的黃金分割點有兩個.考點1：成比例線段例1．下列各組線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例線段的定義可各選項分別進行判斷即可．【解析】解：A、，是成比例線段，故本選項符合題意；B、，不是成比例線段，故本選項不符合題意；C、，不是成比例線段，故本選項不符合題意；D、，不是成比例線段，故本選項不符合題意．故選：A【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．例2．線段，，，的長度如下：①，，，；②，，，；③，，，；以上組數(shù)據(jù)中，能使，，，構(gòu)成比例線段的有．（

）A．組 B．組 C．組 D．組【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．【解析】解：①，即，故成比例線段；②，即，故不成比例線段；③，，，即，故成比例線段；∴成比例線段有2組，故選B．【點睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．考點2：比例的性質(zhì)例3．已知、是不等于0的實數(shù)，，那么下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行求解即可．【解析】解；∵，∴，∴，，∴四個選項中只有B選項正確，故選B．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．已知，那么的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由得到，整理得，從而得到．【解析】解：，根據(jù)比例性質(zhì)可得，即，，故選：C．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例式的恒等變形是解決問題的關(guān)鍵．例5．如果四條線段、、、構(gòu)成，，則下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)變形，再進行判斷．【解析】解：、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項錯誤；、∵，，∴；故本選項正確．故選．【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對化簡得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對化簡，得，把的值代入，即可【解析】（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】考查比例性質(zhì)運用中的基本計算，關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．考點3：比例中項例7．如果，且是和的比例中項，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例中項的概念（如果a、b、c三個量成連比例即，b叫做a和c的比例中項）可得，則可求得的值．【解析】解：∵，b是a和c的比例中項，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查了比例中項的概念，理解比例中項的定義是解題關(guān)鍵．例8．如果a=2，b=4，c=8，那么（

）A．a(chǎn)、b、c的第四比例項是7 B．3a、2b和3c的第四比例項為18C．c是ab的比例中項 D．b是ac的比例中項【答案】D【分析】根據(jù)線段成比例進行判斷即可．【解析】A選項a、b、c的第四比例項是16，因為，B選項3a、2b和3c的第四比例項為32，因為，C選項c不是ab的比例中項，因為，D選項b是ac的比例中項，因為故選：D【點睛】本題考查線段成比例的問題．關(guān)鍵是根據(jù)線段成比例的性質(zhì)解答．例9．已知線段a、b滿足，且．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再代入計算即可得；（2）根據(jù)比例中項的定義求解即可得．【解析】（1）解：，，，，解得，則．（2）解：線段是線段、的比例中項，，即，解得或（不符合題意，舍去），則的值為．【點睛】本題主要考查了比例線段和比例中項，屬于基礎(chǔ)題，熟記定義是解題關(guān)鍵．考點4：比例尺的應(yīng)用例10．在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實際長為（）A．50cm B．500cm C． D．【答案】B【分析】根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵1：50=10:500，∴長度為10cm的線段實際長為500cm，故選B．【點睛】本題考查了成比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例11．、兩地的實際距離米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實際距離的比是________．【答案】【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實際距離，直接求出即可．【解析】解：250米厘米，∴比例尺；故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一．例12．兩地的實際距離是，在地圖上量得這兩地的距離為，這幅地圖的比例尺是多少？【答案】【分析】根據(jù)比例尺的定義，求圖上距離與實際距離的比即可．【解析】兩地的實際距離是，在地圖上量得這兩地的距離為，這幅地圖的比例尺為：2:200000=1:100000．【點睛】本題考查了成比例線段，解題關(guān)鍵是掌握比例尺的定義，注意單位要一致．考點4：比例的性質(zhì)綜合例13．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，（），那么D．如果，那么【答案】D【分析】對于A、B選項，設(shè)，則，，分別代入驗證左右兩端是否相等即可；對于C、D選項，設(shè)，則，，，分別代入計算，驗證兩邊是否相等即可．【解析】解：A：設(shè)，則，，∴，，∴，故A不符合題意；B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合題意；C：設(shè)，則，，，∴，又∵，∴，故C不符合題意；D：設(shè)，則，，，∴，，，∴，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握等比、合比的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例14．已知：．(1)求代數(shù)式的值；(2)如果，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)，然后代入比例式進行計算即可得解；（2）先設(shè)，然后將其代入，即可求得的值．【解析】（1）解：設(shè)則（2）設(shè)則∵∴解得k=2∴【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便．例15．已知，，求的值．【答案】【分析】利用可得出，，再代入求值即可．【解析】∵，∴，∴．【點睛】本題考查代數(shù)式求值和比例的性質(zhì)．用a表示出b和c是解題關(guān)鍵．例16．若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出m的值即可．【解析】解：當(dāng)時，根據(jù)比例的等比性可得：；當(dāng)時，可得，∴．【點睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對式子用等比性時一定要注意根據(jù)分母是否為0進行分類討論．考點5：分類討論題例17．若x與2、5、6這三個數(shù)可以組成比例式，則x可能是__________．【答案】或15或【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積，列式解答即可．【解析】當(dāng)x與6組成外項時，，；當(dāng)x與2組成外項時，，；當(dāng)x與5組成外項時，，.故答案為：或15或【點睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握兩外項之積等于兩內(nèi)項之積是解答此題的關(guān)鍵．例18．已知三條線段長分別為1cm，cm，2cm，請你求出一條線段，使得它的長與前面三條線段能夠組成比例線段．【答案】cm、cm、cm【分析】根據(jù)添加的線段長度，進行分情況討論．【解析】解：設(shè)這條線段長xcm，①若四條線段的長度大小為：x，1，，2時，，解得：；②若四條線段的長度大小為：1，x，，2時，，解得：；③若四條線段的長度大小為：1，，x，2時，，解得：；④若四條線段的長度大小為：1，，2，x時，，解得：；綜上所述，線段長度為cm、cm或cm．【點睛】本題考查成比例線段的求法，分類討論是關(guān)鍵．例19．若，則的值為_____．【答案】-1或8【分析】設(shè)=k，根據(jù)比例的性質(zhì)可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根據(jù)等式的性質(zhì)可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況，分別求出k值，根據(jù)=k3即可得答案．【解析】設(shè)=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，當(dāng)a+b+c=0時，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，當(dāng)a+b+c≠0時，則2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案為：-1或8【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，分情況討論，注意整體代入思想的運用是解題關(guān)鍵．考點6：黃金分割例20．已知P點為線段的黃金分割點，，且，則___________【答案】/【分析】如圖，點P是線段上的黃金分割點，，則，再代入數(shù)據(jù)計算即可．【解析】解：如圖，點P是線段上的黃金分割點，且，，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段的黃金分割點，掌握“線段的黃金分割點的定義”是解題的關(guān)鍵．例21．點P是長度為10的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進行計算即可．【解析】解：點P是長度為10的線段上的黃金分割點，∴較長的線段的長度為，則較短的線段的長度為：；故選C．【點睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段原線段的，較長的線段原線段的是本題的關(guān)鍵．例22．已知，點線段的黃金分割點，且，那么________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求出．【解析】解：∵點線段的黃金分割點，且，∴，即，設(shè)，，則有，解得，∵，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了黃金分割知識點，記住黃金分割公式是解題關(guān)鍵．例23．已知：線段，點是的黃金分割點，且，則_____，________．【答案】//【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，據(jù)此解題．【解析】∵點是線段的黃金分割點，且，，．故答案為：；．【點睛】本題考查黃金分割點，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．考點7：黃金分割比的形式拓展例24．已知線段，點在線段上，且，那么線段的長_____．【答案】/【解析】根據(jù)黃金分割的定義得到點是線段的黃金分割點，根據(jù)黃金比值計算得到答案．【解答】解：∵，點是線段的黃金分割點，，，故答案為：．【點評】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．例25．如圖，點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項．如果，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項，∴，∴根據(jù)黃金分割的定義可得出：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．例26．已知線段，若，是的兩個黃金分割點，則長為______．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的概念先計算出，然后再計算，最后根據(jù)即可求出答案．【解析】如圖，，是的兩個黃金分割點，設(shè)，根據(jù)題意得，．故答案為:．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，熟練掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．例27．已知線段，點P是線段的黃金分割點，且，那么的長為______．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，且，得出，代入數(shù)據(jù)即可得答案．【解析】解：由于P為線段的黃金分割點，且，∴，即.∵，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較長的線段=原線段的．考點8：黃金分割的應(yīng)用例28．一本書的寬與長之比為黃金比，書的長為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金比例求解即可．【解析】解：∵一本書的寬與長之比為黃金比，書的長為，∴它的寬，故選：D．【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵．例29．寬與長的比值等于黃金分割比的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果賀年卡的長的等于厘米，那么賀年卡的寬等于______厘米．（，精確到）【答案】【分析】設(shè)賀年卡的為，根據(jù)黃金比值為，即可列出一元一次方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)賀年卡的為，由題意得：，解得．【點睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．例30．黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．如圖，在某校初三中考百日倒計時啟動儀式的中，舞臺的長為18米，主持人站在點處自然得體．已知點是線段上靠近點的黃金分割點，則此時主持人與點的距離為_________米．【答案】/【分析】由黃金分割點的定義得，再代入的長計算即可．【解析】解：由題意可知，點是線段上靠近點的黃金分割點，米，，（米），即此時主持人與點A的距離為米，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割點的定義和黃金比值是解題的關(guān)鍵．例31．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見.主持人站在舞臺的黃點分割位置會更自然得體，如圖，舞臺長米，點是線段的黃金分割點(即)，則的長是______．

【答案】米【分析】利用黃金分割的定義進行計算，即可解答．【解析】點是線段的黃金分割點(即)，米，米，米，故答案為：米．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．例32．在學(xué)習(xí)“黃金分割”時，某同學(xué)采用下列方法作線段的一個黃金分割點C：如圖，過線段的端點B作，使；連接，在上截取，在上截取，則點C即為所求．你認(rèn)為他的作圖是否正確？_______（填“正確”或“不正確”）【答案】正確【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求出，則，即可求出，據(jù)此即可得到答案．【解析】解：設(shè)，則，∵，即，∴，∴，∴，∴點C是的黃金分割點，故答案為：正確．【點睛】本題主要考查了勾股定理和黃金分割，熟知黃金分割比為是解題的關(guān)鍵．例33．在20世紀(jì)70年代，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中點E為邊的黃金分割點（）．已知為2米，則線段的長為______米（結(jié)果保留根號）．

【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得，求解即可．【解析】解：∵點E為邊的黃金分割點（），∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．例34．如圖，線段，點C是線段的黃金分割點，是線段的黃金分割點，是線段的黃金分割點，以此類推，則__________．【答案】【分析】先按照黃金分割比例依次計算出、、，然后按照規(guī)律即可得到．【解析】解：設(shè)，，點C是線段的黃金分割點，，即，整理得，解得或（舍去），∴，，是線段的黃金分割點，，，是線段的黃金分割點，，，、、，以此類推，，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割、規(guī)律探究表達，求出黃金分割比，并按照規(guī)律表示出是解題關(guān)鍵．考點9：黃金分割難點例35．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割（）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個點C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱線段被C點黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡單起見，設(shè)，則．∵，∴……任務(wù)：(1)請根據(jù)上面的部分解題過程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：①設(shè)是已知線段，過點B作且使；②連接，在上截??；③在上截??；則點C即為線段黃金分割點．你能說說其中的道理嗎？(3)已知線段，點C，D是線段上的兩個黃金分割點，則線段的長是．【答案】(1)黃金分割數(shù)為(2)能，道理見解析(3)【分析】（1）設(shè)，則．根據(jù)黃金分割的定義，構(gòu)建方程求出x即可．（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，再證明即可．（3）利用黃金分割的定義求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即黃金分割數(shù)為．（2）能，道理如下：設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點C是線段的黃金分割點．（3）如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．例36．材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第四章，對“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點D也是線段AB的黃金分割點．材料二：對于實數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．請根據(jù)以上材料，回答下列問題（1）如圖，若AB＝4，點C和點D是線段AB的黃金分割點，則AC＝，CD＝．（2）實數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．（3）實數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，求的值．【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義分別計算AC和BD的長，可得CD的長；（2）根據(jù)黃金數(shù)和白銀數(shù)的定義分別列式，得關(guān)于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得結(jié)論；（3）對于t＝2|2k|分兩種情況討論：對于m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，根據(jù)定義列兩個等式，將t＝2k和t＝﹣2k代入分別解方程可得結(jié)論．【解析】解：（1）∵AB＝4，點C和點D是線段AB的黃金分割點，∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；故答案為：2﹣2，4﹣8；（2）∵b為0，1的黃金數(shù)，且實數(shù)0＜b＜1，∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），b2+b﹣1＝0，b1＝＜0（舍），b2＝＞0，∵a為0，1的白銀數(shù)，且實數(shù)0＜a＜1，∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），a2﹣3a+1＝0，a1＝＞1（舍），a2＝＜1，∴b﹣a＝﹣＝﹣2；（3）∵m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，實數(shù)k＜n＜m＜t，∴分兩種情況：i）當(dāng)k≥0時，t＝2k，由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），m2﹣km﹣k2＝0，m＝k；由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），n2﹣5kn+5k2＝0，n＝k，∵k＜n＜m＜t，∴m＝k，n＝k∴＝＝＝；ii）當(dāng)k＜0時，t＝﹣2k，由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），m2﹣5km﹣5k2＝0，m＝k；由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），n2+7kn+k2＝0，n＝k＞0，∵k＜n＜m＜t，∴m＞0，∴m＝k，n＝k，∴

＝＝＝；綜上，的值是或．【點睛】本題考查了新定義的理解和掌握：黃金分割、黃金數(shù)，白銀數(shù)，分類討論的思想；把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個，第三問與方程相結(jié)合解決問題．一、單選題1．（2018·甘肅隴南·中考真題）已知（a≠0，b≠0），下列變形錯誤的是（）A． B．2a=3b C． D．3a=2b【答案】B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解．【解析】解：由得，3a=2b，A、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；B、由比例的基本性質(zhì)得3a=2b，錯誤，符合題意；C、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；D、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積．二、填空題2．（2020·湖南婁底·中考真題）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行化簡，代入求職即可．【解析】由可得，，代入．故答案為．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．3．（2017·湖南婁底·中考真題）湖南地圖出版社首發(fā)的豎版《中華人民共和國地圖》，將南海諸島與中國大陸按同比例尺1：6700000表示出來，使讀者能夠全面、直觀地認(rèn)識我國版圖，若在這種地圖上量得我國南北的圖上距離是82.09厘米，則我國南北的實際距離大約是______千米（結(jié)果精確到1千米）【答案】5500【分析】先根據(jù)比例尺求出實際距離，再進行四舍五入，即可求解．【解析】解：我國南北的實際距離大約是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），故答案為5500．【點睛】本題主要考查運用“四舍五入”法求一個數(shù)的近以數(shù)，解題的關(guān)鍵是要看清精確到哪一位，就根據(jù)它的下一位上數(shù)是否滿5，再進行四舍五入．4．（2018·四川成都·統(tǒng)考中考真題）已知，且，則的值為__________．【答案】12【分析】直接利用已知比例式假設(shè)出a，b，c的值，進而利用a+b-2c=6，得出答案．【解析】解：∵，∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案為12．【點睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填：__________

【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進而即可求解．【解析】解：∵∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【解析】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．7．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，之間的距離為______．【答案】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【解析】解：弦，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【答案】1.2【分析】設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．【解析】解：設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，，解得，故答案為：1.2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．【答案】/【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．【解析】∵點E是AB的黃金分割點，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列各組線段的長度成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義，把線段按照由大到小或由小到大的順序排列，驗證第一項×第四項是否與中間兩項乘積相等即可．【解析】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故選D．【點睛】本題考查成比例線段的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．地圖上樂山到峨眉的圖上距離為3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么樂山到峨眉的實際距離是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米【答案】B【分析】設(shè)樂山到峨眉的實際距離為xcm，利用比例尺的定義得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性質(zhì)求出x，再化單位化為米即可．【解析】解：設(shè)樂山到峨眉的實際距離為x厘米，根據(jù)題意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，所以樂山到峨眉的實際距離是3800000厘米，即38000米．故選：B．【點睛】本題考查了比例線段，正確理解比例尺的定義是解決問題的關(guān)鍵．3．已知點C是線段AB延長線上一點，且AB：BC＝3：2，則AC：AB為（

）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5【答案】B【分析】設(shè)AB＝3k，BC＝2k，則AC＝5k，計算求解．【解析】設(shè)AB＝3k，BC＝2k，則AC＝5k，∴，故選B．【點睛】本題考查了比例線段，設(shè)出BC＝2k，用含k的代數(shù)式表示出AC與AB是解題的關(guān)鍵．4．如果，那么下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、由合比性質(zhì)，可得，故本選項不符合要求；B、由等比性質(zhì)，可得，故本選項不符合要求；C、由得，ad=bc，由得，ad=bc，故本選項不符合要求；D、由得，ab=cd，所以，不能由得，故本選項符合要求．故選：D．5．已知線段是線段、的比例中項，且，，則等于（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】線段b是線段a，c的比例中項，根據(jù)比例中項的定義列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．【解析】解：∵a=3，c=4，∴=，∴b2=ac=3×4=12，∴b=，b=-(舍去).故答案為【點睛】本題考查了比例中項，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握利用比例中項的定義來列方程.6．下列說法正確的是（）A．每一條線段有且只有一個黃金分割點B．黃金分割點分一條線段為兩段，其中較短的一段是這條線段的0.618倍C．若點C把線段AB黃金分割，則AC是AB和BC的比例中項D．黃金分割點分一條線段為兩段，其中較短的一段與較長的一段的比值約為0.618【答案】D【分析】根據(jù)比例中項和黃金分割的概念分析各個說法.【解析】解：A、每一條線段有兩個黃金分割點，錯誤；B、黃金分割點分一條線段為兩段，其中較長的一段是這條線段的0.618倍，錯誤；C、若點C把線段AB黃金分割，則AC是AB和BC的比例中項，錯誤；D、黃金分割點分一條線段為兩段，其中較長的一段與這條線段的比值約為0.618，正確；故選D．【點睛】此題考查黃金分割問題，理解比例中項、黃金分割的概念，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點（其中AC＞BC），則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC?BA【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義得出，從而判斷各選項．【解析】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，∴，∴選項A符合題意，，∴選項D不符合題意；∵，∴選項B不符合題意；∵，∴選項C不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．8．已知，且，則下列結(jié)論中：①；②；③，正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)合分比定理：，可得，再根據(jù)合分比定理：．【解析】由合分比定理，得，故①錯誤，故②正確；由，合分比定理，得，故③正確；故選；．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了合分比定理，要熟練掌握．9．若線段，點P是線段的黃金分割點，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答．【解析】解：∵點P是線段的黃金分割點，且，∴，故選：D．【點睛】此題考查了黃金分割，應(yīng)該熟記黃金分割的公式：較長線段=原線段長的倍，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．10．大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到，然后把的長度代入可求出的長，即可求出的長度．【解析】解：∵P為的黃金分割點，∴，∵的長度為，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點，其中．11．如果點是線段的黃金分割點且，那么下列結(jié)論錯誤的為（

）A． B．是和的比例中項C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的概念進行判斷即可．【解析】解：點是線段的黃金分割點且，是和的比例中項，，，故選項A、、不符合題意，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．12．若，設(shè)，，，則、、的大小順序為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設(shè)x=2a，y=7a，z=5a，進而代入A，B，C分別求出即可．【解析】解：∵，設(shè)x=2a，y=7a，z=5a，∴=，==1，==2．∴A＜B＜C．故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個未知數(shù)得出x，y，z的值進而求出是解題的關(guān)鍵．13．如圖，以線段為邊作正方形，取的中點E，連接，延長至F，使得，以為邊作正方形，則點H即是線段的黃金分割點.若記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)H是的黃金分割點求出，求出，最后對比即可解答．【解析】解：∵點H即是線段的黃金分割點，∴，∵，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、黃金分割點等知識點，利用黃金分割點的定義得到是解答本題的關(guān)鍵．14．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中黃金分割點定義，在圖（1）中令，設(shè)，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點分別是線段的黃金分割點，可知，，，則，，，根據(jù)，代入求解即可得到，，．【解析】解：如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點，令，設(shè)，則，則由，代值得，解得，，，點分別是線段的黃金分割點，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點睛】本題查處黃金分割點定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點定義得到比例是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題15．如果，那么________．【答案】【解析】．設(shè)，則．16．已知線段長是是線段上的一點，且滿足那么長為____．【答案】【分析】先證出點P是線段AB的黃金分割點，再由黃金分割點的定義得到，把AB=2代入計算即可．【解析】解：∵點P在線段AB上，AP2=AB?BP，∴點P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，，故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點，較長線段是整個線段的倍．17．已知點是線段上的黃金分割點，且，，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【解析】解：點是線段上的一個黃金分割點，且，，．故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．18．已知點是線段上的黃金分割點，且，，那么的長度是________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點定義，知是較長線段，則代入求出，再利用即可求出．【解析】由于為線段的黃金分割點，且是較長線段，則，∴；故答案是．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，準(zhǔn)確求出較長線段的長度是解題的關(guān)鍵．19．已知線段AB=2cm，點C是線段AB的黃金分割點，則線段AC等于__________cm【答案】(-1)或(3-)【分析】分AC＞BC、AC＜BC兩種情況，根據(jù)黃金比值計算即可．【解析】當(dāng)AC＞BC時，AC==當(dāng)AC＜BC時，AC=AB-AB=，∴線段AC的值為：-1（cm）或3-（cm）．故答案為：-1（cm）或3-（cm）．【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是解題的關(guān)鍵．20．已知點P把線段分割成和（）兩段，如果是和的比例中項，那么的值等于___________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比是解答即可．【解析】解：∵點把線段分割成和兩段()，其中是與的比例中項，∴點P是線段的黃金分割點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是黃金分割比，是與的比例中項即點P是線段AB的黃金分割點，理解并熟記黃金分割比是解本題的關(guān)鍵．21．五角星是我們生活中常見的一種圖形，如圖五角星中，點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，已知黃金比為，且AB＝2，則圖中五邊形CDEFG的周長為________．【答案】【分析】根據(jù)點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根據(jù)CD=BD-BC求出CD的長度，然后乘以5即可求解．【解析】∵點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，∴AC=BD=AB=，BC=AB，∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，∴五邊形CDEFG的周長=5（2﹣4）=10﹣20．故答案為：10﹣20．【點睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．22．若，給出下列各式：①；②；③；④，其中正確的是________.（填寫所有正確的序號）【答案】①②④【分析】根據(jù)等比性質(zhì)判斷即可.【解析】解：由比例的性質(zhì)易知①正確；由已知得，再由等比性質(zhì)可知②④正確；，故③是錯誤的.【點睛】本題考查了等比性質(zhì)的靈活應(yīng)用，其中由已知式變形得到是判斷的關(guān)鍵.23．，，，，，滿足關(guān)系：，則代數(shù)式的值是______．【答案】【分析】根據(jù)等比性質(zhì)求解求解即可．【解析】∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查等比性質(zhì)，掌握并應(yīng)用等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分制”數(shù)．把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，D是邊的“黃金分割”點，若，且，則的長度是____________．【答案】/【分析】如圖，過作于再根據(jù)黃金分割點的含義求解結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解再利用勾股定理進行計算即可．【解析】解：如圖，過作于∵為的黃金分割點，∴∴∵∴∴∴而∴故答案為：【點睛】本題考查的是黃金分割點的含義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，二次根式的混合運算，熟練的利用勾股定理進行計算是解本題的關(guān)鍵．三、解答題25．如果，且，求的值．【答案】【分析】設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解析】解：設(shè)＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入得，6k?6k＋4k＝8，解得k＝2，所以，a＝4，b＝6，c＝8，所以，＝4-6+8＝6．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)k法”求解更簡便．26．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，代入計算，于是得到結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（負(fù)值舍去）．∴線段a，b的比例中項是3．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【答案】【分析】根據(jù)x：y：z＝3：5：7設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化簡求解即可．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，∴＝＝【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成含同一字母的式子．28．已知線段AB=10cm，點C是AB上的黃金分割點，求AC的長是多少厘米？【答案】（）cm或（15?）cm【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC＝或AC＝10?（）＝15?．【解析】解：根據(jù)黃金分割點的概念，應(yīng)有兩種情況，當(dāng)AC是較長線段時，AC＝；當(dāng)AC是較短線段時，則AC＝10?（）＝15?．故答案為：（）cm或（15?）cm．【點睛】本題考查了黃金分割點的概念．注意這里的AC可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記黃金比的值是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在線段上有一點，若，則稱點為的黃金分割點，現(xiàn)已知，點是線段的黃金分割點，求的長.【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知為較長線段；則，代入數(shù)據(jù)即可得出的值．【解析】解：為線段的黃金分割點，且，為較長線段，【點睛】本題考查了黃金分割的定義：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點．其中是需要熟記的內(nèi)容．30．（1）已知，求的值．

（2）已知，求的值．【答案】（1）﹣；（2）【分析】（1）依據(jù)比例的性質(zhì)可得到2b=1.5a，然后代入計算即可；（2）設(shè)=k（k≠0