第01講 相似形與比例線段（解析版）-九年級數(shù)學

第01講相似形與比例線段掌握相似多邊形的概念和性質(zhì)重點是理解相似形的相關(guān)概念和相似多邊形性質(zhì)的運用掌握比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)重點是理解不同概念和性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別，熟練比例線段之間的轉(zhuǎn)換結(jié)合具體圖形，運用比例線段的性質(zhì)進行解題模塊一：相似形的概念及性質(zhì)1、相似形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．2、相似多邊形的性質(zhì)如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星【答案】C【解析】哈哈鏡反映人像及物件的扭曲面貌，呈現(xiàn)出與原物不同的像，即不是相似形．【總結(jié)】考查相似圖形的特征，形狀完全相同．下列各組中的兩個圖形一定相似的有（ ）（1）兩個等腰三角形； （2）兩個直角三角形； （3）兩個等腰直角三角形；（4）兩個等邊三角形； （5）兩個矩形； （6）兩個菱形；（7）兩個正方形； （8）兩個等腰梯形； （9）兩個圓．（A）3組 （B）4組 （C）5組 （D）6組【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【總結(jié)】考查相似圖形的特征，形狀完全相同，對于三角形來說，三個角大小相等即可，對于其它多邊形來說，除了考慮角的大小，還要考慮邊的大小對應．已知四邊形和四邊形是相似的圖形，并且點與點、點與 點、點與點、點與點分別是對應頂點，已知，， ，，，，，求，的長和的 度數(shù)．【答案】．【解析】相似形形狀完全相同，由此相似形各內(nèi)角對應相等，各邊對應成比例． 有，將代入，求得：，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，可求得：，相似圖形對應角相等可知．【總結(jié)】考查相似圖形的定義，注意相應的邊角對應關(guān)系．如圖，矩形中，，線段，在上取一點，分別以、為一邊作矩形、矩形，使矩形與矩形相似，且點與點、點與點，點與點，點與點分別是對應頂點，令．求出矩形的面積與的函數(shù)關(guān)系式．【答案】．【解析】根據(jù)矩形與矩形相似，可對應得，因此，進而可求得：．【總結(jié)】考查簡單的函數(shù)對應關(guān)系，找準線段關(guān)系即可進行準確表示相關(guān)結(jié)果．模塊二：比例的性質(zhì)1、比和比例一般來說，兩個數(shù)或兩個同類的量與相除，叫做與的比，記作（或表示為）；如果（或），那么就說、、、成比例．2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質(zhì)：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質(zhì)：如果，那么．（1）是和的比例中項，則 ；（2）是和的比例中項，則 ；（3）線段厘米，厘米，則線段和的比例中項是 ．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由題意可知，由此，；由題意可知，可解得；（3）、都為線段，因此其比例中項只能是線段，取正值，即為【總結(jié)】考查比例中項的定義，注意線段比例中項和數(shù)字比例中項的區(qū)別．（1）若，則 ；（2）若，則 ；（3）若，則 ．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根據(jù)比例的合比性，；（2）由，可得，原式=；（3）由，可得，原式=．【總結(jié)】考查比例性質(zhì)運用中的基本計算，確定單位“1”再準確計算．設線段、、滿足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再結(jié)合（2），可得：，由此可得到，結(jié)合（2）式可解得．【總結(jié)】考查比例的等比性質(zhì)的應用．設，求的值．【答案】0．【解析】根據(jù)分式基本性質(zhì)，得，令，則有，，，三式相加，即得．【總結(jié)】考查比例的性質(zhì)的綜合應用．若，求的值．【答案】6或．【解析】（1）時，根據(jù)比例的等比性；（2）時，可得，則．【總結(jié)】考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對式子用等比性時一定要注意根據(jù)分母是否為0進行分類討論．模塊三：比例線段1、比例線段的概念對于四條線段、、、，如果（或表示為），那么、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．2、黃金分割如果點把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點稱為線段的黃金分割點．其中，，稱為黃金分割數(shù)，簡稱黃金數(shù)．（1）若，，則 ；（2）若，，則 ；（3）若，，則 ．【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【總結(jié)】考查比例的化簡計算，注意比例中的項帶有單位時，注意單位的統(tǒng)一．小智發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學輔導書的寬與長之比為黃金比，已知這本書的長為厘米，則它的寬約為 ．（精確到百分位）【答案】．【解析】這本書的寬約為．【總結(jié)】考查黃金比的定義及其相關(guān)比值．在中，點、分別在邊、上，且，則 ，若的周長為厘米，則的周長為 厘米．【答案】（1）3；（2）120．【解析】（1）由，可得，即，故，；（2）根據(jù)比例的等比性，，即，代入求得． 【總結(jié)】考查比例的合比性和等比性的綜合應用．已知線段a、b、c，其中c是a和b的比例中項，a=4，b=9，則c等于（）A.4B.6C.9D.36【答案】B．【解析】由題意得，c=±6，因為是線段，故舍去負值．【總結(jié)】本題主要考察了比例中項的定義．一、單選題（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵，∴四條線段成比例，不符合題意；D、∵，∴四條線段成比例，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知線段、、、是成比例線段，如果，，，那么的值是（

）A．8 B．6 C．4 D．1【答案】B【分析】利用成比例線段的定義得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求d的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，解得．故選：B．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知是線段的黃金分割點，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將關(guān)于對稱得，可知是的黃金分割點，可得【詳解】解：將關(guān)于對稱得，根據(jù)黃金分割的定義可知是的黃金分割點，答案：C【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A、由，得，故本選項錯誤，不符合題意；B、當，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意；C、由，得，故本選項正確，符合題意；D、當，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內(nèi)項的積，比較簡單．（2022·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ薪ㄆ綄嶒炛袑W校考期中）下列判斷中，正確的是（

）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個角是40°的等腰三角形都相似C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似【答案】A【分析】根據(jù)對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形進行判斷即可．【詳解】解：A．任意兩個等邊三角形對應角相等、對應邊成比例，一定相似，A正確；B．各有一個角是40°的兩個等腰三角形的對應角不一定相等，不一定是相似形，B錯誤；C．任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，不一定相似，C錯誤；D．任意兩個菱形的對應角不一定相等，不一定相似，D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查的是相似圖形的判定，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形，叫做相似圖形是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┫铝嘘P(guān)于“相似形”的說法中正確的是（

）A．相似形形狀相同、大小不同 B．圖形的放縮運動可以得到相似形C．對應邊成比例的兩個多邊形是相似形 D．相似形是全等形的特例【答案】B【分析】根據(jù)相似形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A：相似形形狀相同、大小不一定相同，但是可以相同，故選項A錯誤；B：圖形的放縮運動可以得到相似形，選項B正確；C：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等,對應邊成比例,這兩個多邊形叫做相似多邊形，故選項C錯誤；D：全等形是相似形的特例，故選項D錯誤．【點睛】本題考查相似形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似形的相關(guān)知識．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┫铝忻}中，正確的是（

）A．兩個等腰三角形一定相似 B．兩個等腰梯形一定相似C．兩個菱形一定相似 D．兩個正方形一定相似【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的判定，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、兩個頂角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本選項不符合題意；B、兩個等腰梯形的形狀不唯一，則兩個等腰梯形不一定相似，故本選項不符合題意；C、兩個菱形的形狀不唯一，則兩個菱形不一定相似，故本選項不符合題意；D、兩個正方形一定相似，故本選項符合題意；故選：D【點睛】此題主要考查相似圖形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（2023秋·上海黃浦·九年級上海市民辦明珠中學?？茧A段練習）已知，下列說法中，錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（合分比定理）來解答．【詳解】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故該選項錯誤；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故該選項正確.故選C．【點睛】本題主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d）（b、d、a-b、c-d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．二、填空題（2022秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考期中）若，則的值為___________．【答案】【分析】由，設，然后再代入求解即可；【詳解】解：∵，設，∴，故答案為：．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，設是解題關(guān)鍵．（2022秋·上海青浦·九年級校考期中）已知，那么___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可設，再代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴可設，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是______厘米．【答案】6-2【分析】根據(jù)黃金比是計算．【詳解】∵點P是線段AB的黃金分割點，∴較長線段BP=×4=2-2（厘米），∴較短線段AP=4-（2-2）=6-2（厘米），故答案為6-2．【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金分割的概念，熟練記憶黃金比是（約等于0.618）是解題的關(guān)鍵．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）我們知道：四個角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點，且EFBC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是_____．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出=，把AD=1和BC=2代入求出EF，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴，∵AD=1，BC=2，∴，解得：EF=，∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此題的關(guān)鍵．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，那么第二個矩形較長的一邊長是______．【答案】/【分析】設第二個矩形較長的一邊長是a，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再求出a即可．【詳解】解：設第二個矩形較長的一邊長是a，∵兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，∴，解得∶，即第二個矩形較長的一邊長是，故答案為∶．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，能熟記相似多邊形的性質(zhì)（相似多邊形的對應邊的比相等）是解此題的關(guān)鍵．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是_________米（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【詳解】解：∵點P是線段上的一個黃金分割點，且米，，∴米．故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．（2023·上?！ひ荒＃┮阎敲创鷶?shù)式的值是_______．【答案】/【分析】已知，則設，，把和的值代入代數(shù)式化簡即可．【詳解】解：∵，設，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知設出，是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ惺斜背跫壷袑W校考期中）已知線段，C是的黃金分割點，且，則_____．【答案】【分析】利用黃金分割的定義計算即可．【詳解】解：線段，C是AB的黃金分割點，且解得：故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割點的定義，若C是AB的黃金分割點，，則，熟練應用黃金分割的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題（2022秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知：，且，求的值．【答案】4【分析】設，則，再根據(jù)求出k的值，然后得出x，y，z的值，從而得出的值．【詳解】解：設，則，代入，得，解得，，．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設，得出k的值．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知四邊形與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點分別對應．(1)已知，，，求的度數(shù)；(2)已知，，，，，求四邊形的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應角相等，求解即可；（2）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應邊成比例，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴；（2）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴，∴，，∴四邊形的周長【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上海寶山·九年級校考階段練習）已知點C在線段AB上，且滿足．(1)若AB=1，求AC的長；(2)若AC比BC大2，求AB的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得點C是線段AB的黃金分割點，從而可得AC=AB，然后進行計算即可解答；（2）根據(jù)已知可設AC=x,則BC=x-2，從而可得AB=2x-2，然后根據(jù)，可得，從而進行計算即可解答．（1）∵點C在線段AB上，且滿足，∴點C是線段AB的黃金分割點，∴AC=AB=，∴AC的長為；（2）∵AC比BC大2，∴設AC=x,則BC=x-2，∴AB=AC+BC=2x-2，∵，∴，解得：（舍去），∴AB=2x-2=，∴AB的長為．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．已知點C是線段上的一個點，且是和的比例中項，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，則，由比例中項得出，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設，，則，∵是和的比例中項，∴，即，∴，解得：，（舍去），即，∴，∴，故A符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查比例中項、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項的定義是解答的關(guān)鍵．下列各組圖形中一定是相似形的是（

）A．兩個等腰梯形 B．兩個矩形 C．兩個直角三角形 D．兩個等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)相似形的形狀相同、大小不同的特點，再結(jié)合等腰梯形、矩形，直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)與特點逐項排查即可．【詳解】解：A、兩個等腰梯形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；B、兩個矩形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；C、兩個直角三角形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；D、兩個等邊三角形的大小不一定相同，但形狀一定相同，則一定相似，故本選項正確．故選D．【點睛】本題主要考查了相似圖形的定義，理解相似形的形狀相同、大小不同的特點成為解答本題的關(guān)鍵．已知點P在線