第05講 線段、角的軸對(duì)稱性（原卷版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第05講線段、角的軸對(duì)稱性理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。1．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．一．角平分線的性質(zhì)（共15小題）1．（2022秋?邗江區(qū)期中）△ABC是一個(gè)任意三角形，用直尺和圓規(guī)作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點(diǎn)O，那么下列選項(xiàng)中不正確的是（）A．點(diǎn)O一定在△ABC的內(nèi)部 B．∠C的平分線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)O C．點(diǎn)O到△ABC的三邊距離一定相等 D．點(diǎn)O到△ABC三頂點(diǎn)的距離一定相等2．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）∠AOB的平分線上一點(diǎn)P到OA的距離為5，Q是OB上任一點(diǎn)，則（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤53．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，若OD＝5，則OE的最小值為．4．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點(diǎn)D到AC的距離是．5．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝5，則DF的長(zhǎng)度是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2022秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面積為．8．（2022秋?啟東市期末）如圖，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m，到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為m．9．（2022秋?句容市期末）如圖，射線OQ平分∠MON，點(diǎn)P是射線OQ上一點(diǎn)，且PA⊥ON于點(diǎn)A，若PA＝3，則點(diǎn)P到射線OM的距離等于．10．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．（1）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；（2）連接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，則點(diǎn)O到三角形三條邊的距離是．11．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．4 B．6 C．8 D．1012．（2022秋?海安市期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．513．（2022秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，則△AOB的面積為．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，則四邊形ABCD的面積是．15．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共12小題）16．（2022秋?太倉(cāng)市期末）如圖，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F，G，連接AE，則∠EAG＝．17．（2022秋?句容市期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長(zhǎng)．18．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，若∠BOC＝80°，則∠A＝．19．（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，則△ABC的周長(zhǎng)是cm．20．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度數(shù)．21．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線相交于點(diǎn)O，分別交BC邊于點(diǎn)M、N，連接AM，AN．（1）若△AMN的周長(zhǎng)為6，求BC的長(zhǎng)；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度數(shù)；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的長(zhǎng)度．22．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，BE，作直線EF交AB于點(diǎn)M，連接CM，則下列判斷不正確的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM23．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC＝AD，BC＝BD，則下列判斷正確的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB24．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，點(diǎn)D為邊AC的垂直平分線與邊BC的交點(diǎn)，且BD＝AB﹣2．（1）求證AB＝AD；（2）求CD長(zhǎng)．25．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，E是BC上一點(diǎn)，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，AC＝7cm，則DC的長(zhǎng)為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．626．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝°．27．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為cm．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作，這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，中，，，點(diǎn)、分別在、延長(zhǎng)線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)E，若，，則的面積等于（）A．30 B．60 C．24 D．484．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若的周長(zhǎng)是，則的周長(zhǎng)是（

）A．22 B．15 C．17 D．185．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，則的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．37．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，則的長(zhǎng)為（

）．

A． B． C． D．二、填空題8．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，點(diǎn)C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則的長(zhǎng)度是____．9．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期末）如圖，P是的平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別為D，E，若，則PE的長(zhǎng)是______．10．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為13，則的周長(zhǎng)為_____．11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的三邊，，的長(zhǎng)分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則：：___________12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的面積為24，的長(zhǎng)為8，平分，E、F分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________．三、解答題13．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請(qǐng)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．14．們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，垂足分別是，，求證；15．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，求作點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)連接形成的三角形都是等腰三角形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．16．（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作出燈柱的位置點(diǎn)．（請(qǐng)保留作圖痕跡）17．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┕と藥煾到?jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角．如圖所示，是一個(gè)任意角，在邊、上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合．(1)求證：是的平分線；(2)連接，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．一、單選題1．三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ〢．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊上高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2．如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點(diǎn)B，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE與CE的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．3．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）的交點(diǎn)．A．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條高的交點(diǎn)C．三角形三條中線的交點(diǎn) D．三角形三條角平分線的交點(diǎn)4．如圖，在中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④二、填空題6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．7．如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，AC＝5，△AEC的周長(zhǎng)為12，則AB＝___．8．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為__________．10．如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點(diǎn)，且，，，則點(diǎn)O到邊AB的距離為__________．三、解答題11．作圖題：（1）在圖1中，畫出關(guān)于直線的對(duì)稱圖形．（2）在圖2中，已知和、兩點(diǎn)，在內(nèi)部找一點(diǎn)，使，且到的兩邊、的距離相等．12．作圖題：（1）近年來(lái)，