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福建省六校2025屆高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.2.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能3.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.5.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.36.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)7.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則8.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.9.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.10.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.11.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.12.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是___________.14.的展開(kāi)式中,若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則________.15.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則的面積為_(kāi)__________.16.在中,,,,則________,的面積為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.19.(12分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點(diǎn),且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.20.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.21.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買(mǎi)一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢(shì),且從第二個(gè)還款月開(kāi)始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元,最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元,試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過(guò)家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬(wàn)元,判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對(duì)比兩種還款方式,從經(jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.2、B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3、A【解析】
根據(jù)模長(zhǎng)計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,模長(zhǎng)的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
畫(huà)出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.7、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.8、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,由圖可知,.9、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1),故選B.10、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,可得有解,令,則,對(duì)分類討論,得出時(shí),取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.11、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.12、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出函數(shù)的圖象及直線,如下圖所示,因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn),所以由圖象可知,,,所以.14、【解析】試題分析:由已知得,故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.15、【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用余弦定理可求得的值,進(jìn)而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】
(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問(wèn)題,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)見(jiàn)解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明四邊形為平行四邊形,證得,由此證得平面.(II)利用,證得平面,從而得到平面,由此證得平面平面.(III)作交于點(diǎn),易得面,利用棱錐的體積公式,計(jì)算出棱錐的體積.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,則,,故四邊形為平行四邊形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)為等邊三角形,為中點(diǎn),所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐,作交于點(diǎn),即面,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明,考查四棱錐體積的求法,考查空間想象能力,所以中檔題.20、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)令,,利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法求得,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)令,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,故;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用求通項(xiàng),同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法求和,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn)R,連接,,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn)R,連接,,則在中,,且,又Q是中點(diǎn),所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn),,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得,又平面的一個(gè)法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.22、(1)289200元;(2)能夠獲批;(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】
(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額,減去本金即為還款的利息;(2)根據(jù)題意,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,設(shè)小張每月還款額為元,由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù),即可求得其還款額
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