2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 新高考53A版 專題8 立體幾何 資料

專題八立體幾何

8.1空間幾何體的表面積和體積

考點(diǎn)空間幾何體的表面積與體積

1.（2018課標(biāo)I文55分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為OLO2,過直線0102的平面截該圓柱所得的截

面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12*nB.12nC.8,TTD.lOn

答案B本題主要考查圓柱的表面積及圓柱的軸截面.

設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意可知2r=h=2,，，圓柱的表面積$=2巾2+2打討=411+8口=12口.故選

B.

解題關(guān)鍵正確理解圓柱的軸截面及熟記圓柱的表面積公式是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2016課標(biāo)II文,4,5分）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32

A.12TTB.3TT

C.8nD.4TT

答案A設(shè)正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.

設(shè)球的半徑為R,則2R=6a,即R=6,所以球的表面積S=4TTR2=12TT.故選A.

方法點(diǎn)撥對于正方體與長方體，其體雙角線為其外接球的直徑，即外接球的半徑等于體對角線的一半.

3.（2015課標(biāo)II,理9,文10,5分）已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)/AOB=90°,C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐

O-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）

A.36TTB.64TTC.144TTD.256TT

答案C,SOAB是定值，且VO.ABC=VC-OAB,

111

二當(dāng)OC_L平面OAB時,Vr.CAR最大，即Vc.ARU最大.設(shè)球0的半徑為R,則（Vc.AR「）ma4MX.2XR=6R3=36;

R=6…球0的表面積S=4irR2=4TTx62=144n.

思路分析由&OAB的面積為定值分析出當(dāng)OC_L平面OAB時,三棱錐O-ABC的體積最大，從而根據(jù)已知條

件列出關(guān)于R的方程，進(jìn)而求出R值，利用球的表面積公式即可求出球0的表面積.

導(dǎo)師點(diǎn)睛點(diǎn)C是動點(diǎn)，在三棱錐O-ABC中，如果以面ABC為底面，則底面面積與高都是變量，而S-OAB為定

值，因此轉(zhuǎn)化成以面OAB為底面，這樣高越大，體積越大.

4.（2014福建文,5,5分）以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面

積等于（）

A.2nB.TTC.2D.l

答案A由題意得圓柱的底面半徑r=L母線l=L

..圓柱的側(cè)面積S=2TTrl=2Ti.故選A.

5.（2018課標(biāo)III,理10,文12,5分）設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)4ABC為等邊三角形且其

J3

面積為9*，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.12”B.18*C24*D.54*

答案B本題考查空間幾何體的體積及與球有關(guān)的切接問題.

設(shè)等邊AABC的邊長為a,

1

則有SZ.ABC=a-asin60°=9v，解得a=6.

設(shè)AABC外接圓的半徑為r,則2r解得口盧,

1亞2

則球心到平面ABC的距離為=2,

所以點(diǎn)D到平面ABC的最大距離為2+4=6,

所以三棱錐D-ABC體積的最大值為x6=18"，故選B.

方法總結(jié)解決與球有關(guān)的切、接問題的策略：

⑴“接”的處理：

①構(gòu)造正（長）方體,轉(zhuǎn)化為正（長）方體的外接球問題.

②空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面（過球心，接點(diǎn)等）.

③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.

（2）“切”的處理:

①體積分割法求內(nèi)切球半徑.

②作出合適的截面（過球心，切點(diǎn)等），在平面上求解.

③多球相切問題,連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.

6.（2017課標(biāo)川，理8,文8,5分）已知圓柱的高為L它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該

圓柱的體積為（）

A.TTB.4C2D4

答案B本題考查球的內(nèi)接圓柱的體積.

設(shè)圓柱的底面半徑為r,WiJr2+w=1，解得r=2,

!

..V因柱=TT閨x\）xl='故選B.

思路分析利用勾股定理求圓柱的底面半徑，再由體積公式求圓柱的體積.

解題規(guī)律有關(guān)球的切或接問題，要重視利用勾股定理求解.

7.（2015山東理75分）在梯形ABCD中,NABC=ADllBCBC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的

直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

2B4?Sv

A.3B,3C.3D.2TT

答案C如圖，此幾何體是底面半徑為1,高為2的圓柱挖去一個底面半徑為L高為1的圓錐，故所求體積

V=2n-=

評析本題主要考查幾何體的體積及空間想象能力.

8.（2014陜西理,5,5分）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為也的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體

積為（）

32.一

A丁D.3

B.4TTC.2TT

如圖為正四棱柱AG.根據(jù)題意得AC=”.?.對角面ACGAi為正方形…外接球直徑2R=A1C=2,

答案D

4V

3

..R=1,..V球=，故選D.

.r

9.（2013課標(biāo)11,15,5分,0.158）已知正四棱錐O-ABCD的體積為2，底面邊長為"三則以。為球心,OA為半

徑的球的表面積為

答案24TT

解析設(shè)底面中心為E,連接OE,AE,

1%

貝”AE島AC-,

1述

.體積V=%AB|2xQE|=|0E|=2,

?|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.

從而以0A為半徑的球的表面積S=4n|OA|2=24n.

思路分析先根據(jù)已知條件直接利用錐體的體積公式求得正四棱錐O-ABCD的高,再利用勾股定理求出

|0A],最后根據(jù)球的表面積公式計算即可.

10.（2013課標(biāo)1,15,5分,0.123）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH:HB=l:2,ABd.平面a,H為垂足,a截球

0所得截面的面積為IT,則球O的表面積為.

答案

解析平面a截球。所得截面為圓面，圓心為H,設(shè)球。的半徑為R,則由AH:HB=1:2得OH『R,

由圓H的面積為TT,得圓H的半徑為1,

所以+12=R2,得出R2=■，所以球。的表面積S=4nR2=4na=2n.

11.（2014山東理,13,5分）三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為VbP-ABC

也

的體積為V2,則n=

答案

解析如圖，設(shè)SABD=S1,SPAB=S2,E到平面ABD的距離為hbC到平面PAB的距離為h2,則

1

S2=2Si,h2=2hWiJSihi,V2=、h2,..2f

評析本題考查三棱錐的體積的求法以及等體積轉(zhuǎn)化法在求空間幾何體體積中的應(yīng)用.本題的易錯點(diǎn)是不

能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想把三棱錐的體積進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，找不到兩個三棱錐的底面積及相應(yīng)高的關(guān)系，從而

造成題目無法求解或求解錯誤.

12.（2011課標(biāo)理,15,5分）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6,BC=2'，則棱錐

O-ABCD的體積為

解析如圖，連接AGBD,交于Ch,則01為矩形ABCD所在小圓的圓心，連接001,則001，面ABCD,

易求得0iC=2,，又0C=4,

.001==2,

棱錐體積V『X6X2"X2=8

失分警示立體感不強(qiáng)，空間想象能力差,無法正確解出棱錐的高而得出錯誤結(jié)論.

評析本題主要考查球中截面圓的性質(zhì)及空間幾何體的體積的計算，通過球這個載體考查學(xué)生的空間想象

能力及推理運(yùn)算能力.

13.（2011課標(biāo)文,16,5分）已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上.若圓

3

錐底面面積是這個球面面積的1，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.

答案

解析如圖,設(shè)球的半徑為R,圓錐底面半徑為r,由題意得TTr2=gx4TiR2.

-r=2R,QOi=、.體積較小的圓錐的高AOI=R-NRJR,體積較大的圓錐的高B0I=R+2R=2R.

故這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為3

更

評析本題考查球、球內(nèi)接圓錐的相關(guān)問題，考查R,!?的關(guān)系，由題意得到r=2R是解答本題的關(guān)鍵.

專題八立體幾何

8.1空間幾何體的表面積和體積

應(yīng)用創(chuàng)新題組

1.（2021北京,8,4分I實(shí)際生活）某一時段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平

面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位:mm）.24h降雨量的等級劃分如下:

在綜合實(shí)躡活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程

中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

2001

答案B根據(jù)相似可得，小圓錐的底面半徑右于=50（mm）,故V小圓根=，350^150=503口口013）,則積

v

小■建

5------------50^

水深度h=*-3=奇嘰12.5（mm）,屬于中雨，故選B.

2.（2019課標(biāo)皿16,5分I生產(chǎn)實(shí)踐）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD-AiBiJDi挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中

點(diǎn),AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的

質(zhì)量為g.

答案118.8

解析依題意，知該模型是長方體中挖去一個四棱錐，故其體積V=V長方體-V四校雄

11

=6x6x4-xx4x6x3=132(cm3).

又該模型的原料密度為0.9g/cm3,故制作該模型所需原料的質(zhì)量為0.9xl32=118.8(g).

3.(2022屆安徽蚌埠9月調(diào)研,16I素材創(chuàng)新)"敕勒川,陰山下.天似穹廬，籠蓋四野詩中的"穹廬"即

"氈帳"，屋頂近似圓錐，為了烘托節(jié)日氣氛，計劃在屋頂安裝燈光帶，某個這種屋頂?shù)膱A錐底面直徑長8米，

母線長6米,其中一條燈光帶從該圓錐一條母線的下端點(diǎn)開始，沿側(cè)面經(jīng)過與該母線在同一軸截面相對的另

一母線的中點(diǎn)，環(huán)繞一圈回到起點(diǎn)，則這條燈光帶的最短長度是米.

答案65

解析將圓錐側(cè)面沿母線SA剪開,A點(diǎn)對應(yīng)Ai點(diǎn),設(shè)軸截面中與SA相對的另一條母線為SB,SB的中點(diǎn)為

C,連接AC,AiC,則AC+AiC為燈光帶的最短長度，如圖所示,SA=6,圓錐底面直徑為8,則半徑為4,所以‘“的

4112Tl

長=2TIX4=8TT,則""的長為4n,所以在&SAC中,SC=3,由余弦定理得

22322

AC=SA2+SC-2SAxSCcosn=6+3-2x6x3x^'=63,所以AC=3的，所以AiC=AC=3叱所以這條

燈光帶的最短長度是米.

專題八立體幾何

8.1空間幾何體的表面積和體積

一、選擇題

1.（2022屆黑龍江六校11月聯(lián)考,4）已知圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐的表面積為31則圓錐的底面半

徑為（）

A；B.1C鈍D由

答案B設(shè)圓錐的母線長為I,底面半徑為r,根據(jù)題意，得l=2r,所以圓錐的表面積S=Tu2+ml=3m2=3Ti,解

得r=l,故選B.

2.（2022屆河南焦作一模,6）底面是邊長為1的正方形，側(cè)面均是等邊三角形的四棱錐的體積為（）

々立互收

A石BTCTD.N

5廨3歲

答案A由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面正方形對角線長為，則正四棱隹的高h(yuǎn)==,

1目互

所以正四棱錐的體積V=412XN=E,故選A.

3.（2022屆吉林頂級名校U月月考,10）已知球。，過球面上A,B,C三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)O到該截面的距禹是球

半徑的一半，且AB=BC=2/B=120°,則球O的表面積為（）

64a321€

A.又B.\JnD%

答案A如圖,設(shè)球的半徑為r。是“BC的外心，外接圓半徑為R,連接OOLOBQIB,則00］，平面A町

在"BC中,AB=BC=2/ABC=120°,則NA=30°,由正弦定理得曰二2R〃.R=2,即0上=2.在Rt^OBOi中,

1664

由已知得「2-%=4,得%=三所以球0的表面積S=4nr2=4nx3'=^TT.^^A.

4.（2022屆豫北名校定位考試,11）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球0的球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心

2n

角為三面積為3n,則球0的表面積等于（）

81Tl8111IN如IN如

A，C.PD.T

12n

答案A設(shè)圓錐的母線長為I,球的半徑為R,圓錐底面半徑為r,由已知得解得1=3,由扇形的弧

2n.rr9

Tva2-12^2^TJ^

長公式可得2m=x|,得r=l,所以圓錐的高為=2面值+（2-R）2=R，解得R=zz所以球。的表

面積等于4nR2=4nl加=%,故選A.

5.（2022屆四川月考,8）如圖，點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中的側(cè)面ADDiAi內(nèi)（包括邊界）

的一個動點(diǎn)，則三棱錐B-CiMD的體積的最大值是（）

答案D當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Ai重合時，點(diǎn)M到平面BGD的距寓最大，?尸.此時三棱錐B-JMD

J2

的體積最大，此時三棱錐B-CiMD是棱長為2的正四面體，其體積等于正方體的體積減去4個三棱錐的體

”!■3值X2X2）I

積，所以H=23-4xax^，X2」故選D.

6.（2022屆云南玉溪月考,9）在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,且&PAD是邊長為2的正三角形,

四邊形ABCD是正方形，則四棱錐P-AECD外接球的表面積為（）

26

CTn

答案D連接AC,BD,且ACnBD=F，設(shè)外接球球心為O,半徑為R,則球心O在底面的射影必為點(diǎn)F,取AD

的中點(diǎn)E,連接EF,PEQFQA尸O,過0作0G_LPE.如圖.

易知PEJ_AD,且PE=名x2=，又平面PAD_L平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以PE_1"平面

ABCD,設(shè)0F=x;.EF=l,AF=出,/.R2=x2+2=l+(5-x)2,解得x=￥.R2=；二四棱惟P-ABCD外接球的表面

728n

積S=4nR2=4nx3=-3".iKj&D.

7.（2022屆四川德陽中學(xué)11月月考⑼已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱均相等，其各個頂點(diǎn)都在球O的球面

16

V3~3~

上,AB=BC/ABC=90°,AD=2,CD=2,三棱錐P-ABC的體積為，則球0的表面積為（）

1亨64^11

A.25nB.C.32nD.3

答案A連接AC,取AC的中點(diǎn)F,連接PF,BF,由題意可知PF為四棱錐的高且球心O在直線PF上,不妨取

。在PF上，連接OB,

?.各個頂點(diǎn)都在球。的球面上/ABC=90°「A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且AC為直徑,..NABC=NADC=90°,又

2

AC芽fcALVAD^+CDV12+4A

.AD=2(D=2,/.AC===4,

e

.AB=BC/zABC=90,.1.AB=2^BF=21

1611116

??三棱錐P-ABC的體積為M,「Vp.ABC=+..ABcPF=mxNx2"x2"pF=M解得PF=4.設(shè)OP=r(r>0),則

2

OB=r,OF=|4-r|,在Rt^OFB中「=|4_巾+22,解得.,球0的表面積為4nr=4nx^=25n.故選A.

n

8.（2022屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,11［在三棱椎S-ABC中/SBA=NSCA=Z底面ABC是邊長為2的等邊

三角形，若二面角S-BC-A的大小為三則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（）

16171920

T

A.又B,又C.nD.七

答案C取BC的中點(diǎn)0,連接

n

SO,AO;.NSBA=NSCA=ZBA=CA,SA=SA〃”SBA*SCA〃SB=SC〃SCUBCQA_LBC,故二面角S-BC-A

.5

的平面角為NSOA..NSOA=.設(shè)SO=x（x>0）,則SB=,/zSBA=z,.-.SA=，在"0A中，易知

V3T

0A=，由余弦定理得SA2=SO2+OA2-2SOOAcos,

l2r—萬

v3石V.5

即x2+5=x2+3+x,解得x=*\?.三棱錐的外接球的直徑2R=SA==丫I?.三棱錐的外接球的表面

19

積5=4標(biāo)尸兀故選C.

訴

9.（2022屆河南檢測提分卷,12）已知在三棱錐P-ABC中,SBC與&PBC均為邊長為2的等邊三角形,PA=,

以P為球心,2為半徑的球與底面ABC的交線長為（）

nnN

A*B.3C.nD.2n

V3Vfi

答案B取BC的中點(diǎn)D,連接PD,DA則PD_LBC,AD_LBC,PD=DA=，因?yàn)镻A=，所以PD_LDA,又

DACBC=D，所以PD_L平面ABC,分別取AC,AB的中點(diǎn)E,F,連接PE,DE,DF則DE=1,PE=2,則以P為球心,2

I!pl!!

為半徑的球與底面ABC的交線為圓D上的，易知NEDF=三所以弧的長度為W故選B.

二、填空題

10.（2022屆陜西西北工業(yè)大學(xué)附中月考,14）碳6O（Ceo）是一種非金屬單質(zhì),

它是由60個碳原子構(gòu)成的分子，形似足球,又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊

形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面且滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2.則其六元環(huán)的個數(shù)為.

答案20

解析碳60有60個頂點(diǎn),32個面油頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,得棱數(shù)為60+32-2=90,設(shè)五元環(huán)有x個，六元

x+y=32,fx=12,

&r4-6y=90x2ly=2O

卬eyTMJI7解得17二l六元環(huán)的個數(shù)為20.

11.（2021河南新鄉(xiāng)二模,14）一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到如圖所示的幾何體,

若該幾何體的體積為60,則該幾何體的表面積為

答案110

解析設(shè)正四棱柱的底面邊長為m,則4（42-m2）=60,解得m=l,則該幾何體的表面積為

42x4+（42-12）x2+4x1x4=110.

4

12.（2021江西吉安重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,16）已知在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AB_LBC,COSNBAC=5且此三棱柱有

內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積的比為.

答案4:29

解析由題意，不妨設(shè)AB=8,BC=6,AC=10,則SBC的內(nèi)切圓的半徑為r="=2.要使此三棱柱存在內(nèi)

切球，則此三棱柱的高AAi=4.從而得其內(nèi)切球半徑母=2,由于&ABC為直角三角形，且ABJLBC,所以^ABC

的外心D在AC的中點(diǎn)處，取AiCi的中點(diǎn)Di,連接DDi,取DDi的中點(diǎn)M,則DD1的中點(diǎn)M即為該三棱柱的

外接球球心，在RtMDM中,AM2=DM2+AD2=22+5?=29.即外接球的半徑R2=.所以三棱柱的內(nèi)切球與

外接球的表面積之比為如電領(lǐng)里用%:29.

歸納總結(jié)若某直棱柱存在內(nèi)切球，則該棱柱的高h(yuǎn)與底面多邊形內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系為h=2r.

13.(2022屆貴陽五校聯(lián)考,16)學(xué)生到工廠參加勞動實(shí)踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的表面積為8嗚

則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是.

答案8(-l)n

4

解析設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,高為h,則有2Trr2+2Tirh=8Ti,整理得h=r-r(0<r<2),由球及其內(nèi)接圓柱的結(jié)

構(gòu)特征知，球心是圓柱兩底面圓圓心的連線的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為R,得

n254陣W542癖

R2=r2+9)=R+3覆)=%+已2之2“河2=2e2,當(dāng)且僅當(dāng)‘了即%時取等號〃??球的

表面積S=4TTR2N8(*-l)iv.該圓柱體的外接球的表面積的最小值是8(^-l)n.

三、解答題

14.(2018課標(biāo)1,18,12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3/ACM=90°以AC為折痕將&ACM折

起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB±DA.

(1)證明:平面ACD_L平面ABC;

2

(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=，3A,求三棱錐Q-ABP的體積.

Mr

解析(1)證明油已知可得/BAC=90°,則BA±AC.

又BAJ_AD,ASAD=A，所以ABJ■平面ACD.

又ABu平面ABC,所以平面ACD_L平面ABC.

⑵由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.

2

3也

又BP=DQ=DA,所以BP=2.

1

作QE_LAC,垂足為E,則QEllDC且QE=%C.

由已知及Q）可得DCJL平面ABC,

所以QE_L平面ABC,QE=1.

因此,三棱錐Q-ABP的體積為

解題關(guān)鍵Q）利用平行關(guān)系將NACM=90°轉(zhuǎn)化為NBAC=90°是求證第⑴問的關(guān)鍵;

⑵利用翻折的性質(zhì)將NACM=90°轉(zhuǎn)化為NACD=90°,進(jìn)而利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)定理

得出三棱錐Q-ABP的高是求解第（2）問的關(guān)鍵.

8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1.（2015安徽理,5,5分）已知m,n是兩條不同直線,a,B是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）

A.若a,。垂直于同一平面，則a與B平行

B.若m,n平行于同一平面，則m與n平行

C.若a,B-，則在a內(nèi)-與B平行的直線

不平行不國健

D.若m,n，則m與n-垂直于同一平面

答案D若a,0垂直于同一個平面%則a，B可以都過Y的同一條垂線，即a,B可以相交故A錯;若m,n平行于同

一個平面，則m與n可能平行，也可能相交，還可能異面，故B錯;若a,B不平行，則a,。相交，設(shè)anB=l,在a內(nèi)存在

直線a,使aill,則ailB,故C錯;從原命題的逆否命題進(jìn)行判斷若m與n垂直于同一個平面，由線面垂直的性

質(zhì)定理知mlin,故D正確.

2.（2015浙江文,4,5分）設(shè)a,。是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線，且lca,mcp.（）

A.若1_1_自則a_L。8.若。_1_自則l_Lm

C.若III自則aIIpD.若aII0,則IIIm

答案A對于選項(xiàng)A,由面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,若aJ?你ua,mu0,則I與m可能

平行，可能相交，也可能異面，所以選項(xiàng)B錯誤;對于選項(xiàng)G當(dāng)I平行于a與。的交線時川。，但此時a與B相交，所以

選項(xiàng)C借誤;對于選項(xiàng)D,若ail。,則I與m可能平行，也可能異面，所以選項(xiàng)D錯誤.故選A.

3.（2015廣東,6,5分）若直線h和12是異面直線,h在平面a內(nèi)上在平面B內(nèi)』是平面a與平面。的交線，則下列命

題正確的是（）

A.I與1/2都不相交

B.I與h12都相交

C.I至多與[]12中的一條相交

D.I至少與1112中的一條相交

答案D解法一:如圖LI1與12是異面直線上與I平行,12與I相交，故A,B不正確,如圖2,11與12是異面逋

線1112都與I相交，故C不正確，選D.

解法二:因?yàn)镮分別與1“2共面，故?與11,L要么都不相交，要么至少與I1J2中的一條相交.若I與11,12都不相交,

則IIII1JH12,從而I1H5與1“2是異面直線矛盾，故I至少與1,2中的一條相交，選D.

4.（2014遼寧,4,5分）已知m,n表示兩條不同直線,a表示平面.下列說法正確的是（）

A.若mila,nlla,則miin

B.若m_La,nua,則m±n

C.若m_La,m_Ln,則mia

D.若mila,m_Ln，則n_La

答案B若miia,niia,則m與n可能平行、相交或異面，故A錯誤;B正確;若m^Lam^n,則nila或nua,

故C錯誤;若miia,m_LnJWn與a可能平行、相交或nua,故D錯誤.因此選B.

5.（2014廣東理,7,5分）若空間中四條兩兩不同的直線lihbh滿足k_Ll2,l2L“3L4,則下列結(jié)論一定正確

的是（）

A.ll±l4

B.liIII4

Ch與I4既不垂直也不平行

D」i與I的位置關(guān)系不確定

答案D由k_Ll2,l2_Ll3可知h與b的位置不確定，

若h11b,則結(jié)合1344,得1144,所以排除選項(xiàng)B、C,

若1143,則結(jié)合I3L4,知h與L可能不垂直,所以排除選項(xiàng)A.故選D.

評析本題考查了空間直線之間的位置關(guān)系,考查學(xué)生的空間想象能力、思維的嚴(yán)密性.

6.（2014浙江文,6,5分）設(shè)m,n是兩條不同的直線,a,0是兩個不同的平面.（）

A.若m_Ln,niia,則m±a

B.若mllB,0_La,則m±a

C.若m_LB，n_LB,n_La,則m±a

D.若m_Ln,nJ_B,0J_a,則m±a

答案C對于選項(xiàng)A、B、D,均能舉出miia的反例;對于選項(xiàng)G若m_LB,n_L0,則miin^n_La,，m_La,

故選C.

7.（2013課標(biāo)II理,4,5分）已知m,n為異面直線,m_L平面a,n_L平面氏直線I滿足l_Lm,l_Lnjaa,la自則（）

A.aiiB且Illa

B.a_LB且l_L0

C.a與B相交,且交線垂直于I

D.a與0相交,且交線平行于I

答案D若aiiB,則miin,這與m、n為異面直線矛盾，所以A不正確,a與B相交.將已知條件轉(zhuǎn)化到正方體

中，易知a與B不一定垂直但a與B的交線一定平行于I,從而排除B、C.故選D.

導(dǎo)師點(diǎn)睛對于此類題,放入正方體中判斷起來比較快捷.

8.（2013廣東理,6,5分）設(shè)m,n是兩條不同的直線,a，B是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）

人.若。_1_0,01匚€1,11（=5則m±n

B.若allB,mua,nuB,則miln

C.若m±n,mca,ncp,!ilija±p

D.若01_1_€1,01111\。12則€1_10

答案D若a_LB,mua,nuB〃Jm與n可能平行，故A錯;若aiiB,mua,nuB,則m與n可能平行，也可能異

面，故B錯;若m_l_n,mua,nuB，則a與?？赡芟嘟?，也可能平行，故C錯;對于D項(xiàng)，由m_La,miin,得n_La，又知

nII°,故a_L0,所以D項(xiàng)正確.

9.（2011遼寧理,8,5分）如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,5口3_底面ABCD,則下列結(jié)論中下軍卿的是

s

A.AC±SB

B.ABli平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

答案D.四邊形ABCD是正方形,，ACJ_BD.

又.SD_L底面ABCD,..SD±AC.

其中SDnBD=D,.八（：，面SDB,從而AC_LSB.故A正確.易知B正確.

設(shè)AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO.

則SA與平面SBD所成的角為NASO,SC與平面SBD所成的角為NCSO,

又OA=OGSA=SC,.NASO=NCSO.故C正確.

由排除法可知選D.

評析本題主要考查了線面平行與垂直的判斷及線面角、線線角的概念.屬中檔題.

10.（2016浙江25分）已知互相垂直的平面a,。交于直線I.若直線m,n滿足miia,n_L|UW（）

A.millB.miinC.n±lD.m±n

答案C,.,（300=1,.止比.11_1_%6_!_1.故選＜；.

11.（2016課標(biāo)11,14,5分）a，B是兩個平面,m,n是兩條直線，有下列四個命題：

①如果171_1_001_1_€1,111中,那么€1_1_9.

②如果m_La,nlia,那么m±n.

③如果aII&mua,那么mup.

④如果miln,allB,那么m與a所成的角和n與。所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

答案②③④

解析若mJ_n,mJ_a,nllB,則a與B可能平行或相交,故①錯誤;②顯然成立;若allB,^nua,則m與B無公共點(diǎn)，

因而miiB,故③正確;由線面角的定義、等角定理及面面平行的性質(zhì)可知④正確.

考點(diǎn)二異面直線所成的角

1.（2016課標(biāo)I,理11,文11,5分）平面a過正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點(diǎn)A,all平面CB】Di,an平面ABCD=m,

an平面ABBiAi=n,則m,n所成角的正弦值為（）

更立更］

A.2B.2C.3D3

答案A如圖，延長BiAi至A2,使A2A產(chǎn)BIAL延長DiAi至A3,使A3AkDIAL連接AA2AA3A2A3,AIBAD.

易證AAzllAiBllD1CAA3IIA1D11BiC.

二平面AA2A3II平面CBiDi,即平面AA2A3為平面a.

于是milA2A3,直線AA2即為直線n.顯然有人人2=人人3=人2人3,于是m,n所成的角為60°,其正弦值為2.選A.

2.（2014大綱全國理,11,5分）已知二面角a-lf為60°,ABua,AB_Ll,A為垂足,CD邙（Wl/ACD=135°,則異

面直線AB與CD所成角的余弦值為（）

A，B.TCTDg

答案B在平面a內(nèi)過點(diǎn)C作CEllAB,則NECD為異面直線AB與CD所成的角（或其補(bǔ)角），不妨取CE=L

過點(diǎn)E作EO，B于點(diǎn)O.

在平面0內(nèi)過點(diǎn)0作OH_LCD于點(diǎn)H,連接EH,則EH±CD.

因?yàn)锳BllCE,AB_Ll,所以CEL,又因?yàn)镋OJL。,所以CO±I.

所以/ECO為二面角a-1-B的平面角，即/ECO=60°.

因?yàn)镹ACD=135O,CD_LI,所以NOCH=45。.

1

在Rt^ECO中,CO=CECOSNECO=1XCOS600=

1也

在Rt^COH中,CH=COCOSNOCH=NCOS45。=4.

在Rt^ECH中,cos/ECH=e=1=4.

也

所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為4.選B.

3.（2014大綱全國文,4,5分）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值

為（）

更m亞

63

A.B.C.D,

答案B如圖，取AD的中點(diǎn)F,連接EF、CF.

因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，所以EFC^BD,故NCEF或其補(bǔ)角是異面直線CE、BD所成的角.

亙1

設(shè)正四面體ABCD的棱長為a,易知CE=CF=2a,EF=2a.^<EF中，由余弦定理可得cosz

閥+時-閥8

CEF=1r=6.故選B.

4.（2015浙江,13,5分）如圖，在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別為AD.BC的

中點(diǎn)，則異面直線AN.CM所成的角的余弦值是

答案

解析連接DN,取DN的中點(diǎn)H,連接HM油N、M、H均為中點(diǎn)，知|COSNHMC即為所求.因?yàn)?/p>

AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N為AD,BC的中點(diǎn)，所以CM_LAD,AN_LBC,所以

1

CM二后』夫正人出必胃校正,MHJAN=M依=必工奇=第則

.小小或一57

HMC="2>

:故異面直線AN,CM所成角的余弦值為.

5.（2011北京文,17,14分）如圖，在四面體PABC中,PCJ_AB,PA_LBC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的

中點(diǎn).

（1）求證:DE1I平面BCP;

(2)求證:四邊形DEFG為矩形;

(3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說明理由.

解析(1)證明:因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn)，所以DEIIPC.又因?yàn)镈EC平面BC〉,PCu平面BCP,

所以DEH平面BCP.

(2)證明:因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BCPB的中點(diǎn),

所以DEIIPCIIFG,DGllABllEF.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)镻C±AB,

所以DE^DG.所以四邊形DEFG為矩形.

(3)存在點(diǎn)Q滿足條件.理由如下：

連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).

由⑵知,DFCIEG=Q，且QD=QE=QF=QG=2EG.

分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.

1

與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q且QM=QN=NEG,所以Q為滿足條件

的點(diǎn).

8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

一、選擇題

1.(2022屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,7)已知a，B是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線，給出下列命題：

①若aiiB，m_La,則m_L0;

②若miin,m_La,則n±a;

③若aJLB，m_La則mnp;

④若m_Ln,m_La^i]nila.

其中真命題有()

A.l個B.2個C.3個D.4個

答案B易知①②正確;若a_L0,m_LG則mll0或mu0,故③錯誤;若m_Ln,m_La,則nlia或nua,故④錯

誤.故選B.

2.（2022屆山東青島期中,7）已知a,b,c,d是四條直線，如果a_Lc,a_Ld,b_Lc,b_Ld.則結(jié)論HaiibH與"cild"

中成立的情況是（）

A.一定同時成立B.至多一個成立

C.至少一個成立D.可能同時不成立

答案C假設(shè)clid,則空間中a與b的位置可任意，所以選項(xiàng)A錯誤;當(dāng)a,b,c,d四條直線共面時，可以同時

成立,故選項(xiàng)B錯誤;假設(shè)c與d相交，則c與d確定一個平面a,因?yàn)閍_1_<:1_1€1力，（:,13_1&所以a±a,b±a,

所以aHb,假設(shè)c與d異面，可作直線elid且與c相交，則c與e確定一個平面0,同理有a_1_。力_1_向所以alib,

即結(jié)論"aub"與"ciid"中至少一個成立，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤.故選C.

3.（2022屆南寧摸底,8）如圖是長方體的展開圖,AD=2AB,四邊形ABFE為正方形RQ分別為AD、HI的中

點(diǎn)，給出下列判斷:①AMIICG,②AFIIDK.③BPIIJQ,④BPJ_QJ.其中正確的個數(shù)為（）

A.OB.lC.2D3

答案C將展開圖還原成長方體，如圖

由長方體的結(jié)構(gòu)特征可知AM與CG是異面直線,故①不正確;AFIIDK,故②正確;BP與JQ是異面直線，故③

也

不正確;連接GQ,易證GQllBP,設(shè)AB=1,則AD=2〃.GQ=JQ=,又JG=2,/.GQ2+JQ2=JG2〃.GQ_LJQ,則

BP_LJQ,故④正確.綜上②④正確.故選C.

4.（2021安徽江南十校一模,7）設(shè)a、b為兩條直線，則anb的充要條件是（）

A.a、b與同一個平面所成角相等

B.a、b垂直于同一條直線

C.a、b平行于同一個平面

D.a、b垂直于同一個平面

答案D如圖所示，在正方體ABCD-ABJD1中，

對于A選項(xiàng),取直線a、b分別為直線ABi、AiB,則直線a、b與底面ABCD所成的角相等，但a、b相交,A

選項(xiàng)不滿足條件.

對于B選項(xiàng),取直線a、b分別為直線ABi、AiBJWa_LAD,b_LAD,但a、b相交,B選項(xiàng)不滿足條件.

對于C選項(xiàng),取直線a、b分別為直線ABi、AiB,則a、b都與平面CQDQ平行，但a、b相交工選項(xiàng)不滿

足條件.

對于D選項(xiàng)，充分性:若a、b垂直于同一個平面，由線面垂直的性質(zhì)可得ahb,充分性成立.

必要性:若allb,且aJL平面a,在平面a內(nèi)取兩條相交直線m、n,則a±m(xù)且a，n,所以b_Lm,bi.n,因?yàn)閙、

n相交且muanua,所以b_La,必要性成立.D選項(xiàng)滿足條件.故選D.

方法點(diǎn)撥對于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題,解決的方法是"推理論證加反例推斷"，即正確的結(jié)論需

要根據(jù)空間線面位直關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明,錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可以以

常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反駁.

5.（2020四川九市二診,5）已知m,n是便條不重合的直線。是一個平面，則下列命題正確的是（）

A若milanIIa，則miin

B.若milanua，則mlin

C若m_Ln,m_La則nila

D.若m_Lanila,則m±n

答案D對于選項(xiàng)A:若mila,niia,則m和n平行或相交或異面，故A錯誤.對于選項(xiàng)B:若mua,nua,則m

和n平行或異面，故B錯誤.對于選項(xiàng)C:若m_Ln,m_La,則nca或nila故C錯誤.對于選項(xiàng)D:若m_La,nnot,

則m_Ln,D正確.故選D.

6.（2022屆河南洛陽期中,9）在直三棱柱ABC-AiBiJ中,NACB=90°,D］、EI分別是AiBi、AiQ的中

點(diǎn),CA=CB=CG，則AEi與BDi所成角的余弦值為（）

屈同屈同

A1515-10-10

A.BD.C.D.

答案D以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)BC=AC=CJ=L則

BQOO）,A（O,IQ）,DG/仲）則現(xiàn)得初徜卜同所以

_,—