4.4.2　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)課件上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版2019）★★4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)問1、什么是對(duì)數(shù)函數(shù)？定義域是什么？你能準(zhǔn)確用它解決問題嗎？作業(yè)回顧

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∵M(jìn)={x|1-x>0且1-x≠1}={x|x<1且x≠0},N={x|1+x>0}={x|x>-1},∴M∩N={x|-1<x<0或0<x<1}.12345678910111213141516√同學(xué)們,還記得我們是如何研究指數(shù)函數(shù)的嗎?實(shí)際上,研究對(duì)數(shù)函數(shù)的思路和研究指數(shù)函數(shù)的思路是一致的,我們可以用類比的方法來研究對(duì)數(shù)函數(shù).請(qǐng)同學(xué)們看下面的問題1.導(dǎo)語一對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

問題1x…0.250.512481632…y=log2x…

…y=x…

…-2-1012345210-1-2-3-4-5提示描點(diǎn)、連線.

問題2提示對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=logax(a>0,且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象

定義域________(0,+∞)

y=logax(a>0,且a≠1)值域R單調(diào)性在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)最值_______________奇偶性_____________共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)

,即x=1時(shí),y=0函數(shù)值特點(diǎn)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y∈

;當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),y∈_______當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y∈

;當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),y∈_______對(duì)稱性函數(shù)y=logax與y=x的圖象關(guān)于

對(duì)稱無最大、最小值非奇非偶函數(shù)(1,0)(-∞,0)[0,+∞)(0,+∞)(-∞,0]x軸(1)函數(shù)圖象只出現(xiàn)在y軸右側(cè).(2)對(duì)任意底數(shù)a,當(dāng)x=1時(shí),y=0,故過定點(diǎn)(1,0).(3)當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)越小,圖象越靠近x軸.(4)當(dāng)a>1時(shí),底數(shù)越大,圖象越靠近x軸.(5)任意底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

注

意

點(diǎn)<<<(1)如圖,若C1,C2分別為函數(shù)y=logax和y=logbx的圖象,則A.0<a<b<1 B.0<b<a<1C.a>b>1 D.b>a>1例

1√作直線y=1,則直線與C1,C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,b,易知0<b<a<1.(2)若函數(shù)y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),則實(shí)數(shù)b=

,c=

.

由題意,得2=loga(3+b)+c.又當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1,∴b=-2,c=2.-22(3)已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)滿足f(-5)=1,試畫出函數(shù)f(x)的圖象.

1.在本例中,若條件不變,試畫出函數(shù)g(x)=loga|x-1|的圖象.延伸探究因?yàn)閒(x)=log5|x|,所以g(x)=log5|x-1|,如圖,g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.2.在本例中,若條件不變,試畫出函數(shù)h(x)=|logax|的圖象.因?yàn)閍=5,所以h(x)=|log5x|.h(x)的圖象如圖中實(shí)線部分所示.

反思感悟(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0,令其真數(shù)等于1,可得圖象過定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的變換方法①作y=f(|x|)的圖象時(shí),保留y=f(x)(x>0)的圖象不變,x<0時(shí)y=f(|x|)的圖象與y=f(x)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.②作y=|f(x)|的圖象時(shí),保留y=f(x)的x軸及上方圖象不變,把x軸下方圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折上去即可.③有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減,上加下減”的規(guī)律.④y=f(-x)與y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱,y=-f(x)與y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱,y=-f(-x)與y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)若a>0,且a≠1,則函數(shù)y=loga(x-1)+1的圖象恒過定點(diǎn)

.

跟蹤訓(xùn)練

1令loga(x-1)=0,得x=2,此時(shí)y=1.∴y=loga(x-1)+1的圖象恒過定點(diǎn)(2,1).(2,1)(2)畫出函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象如圖所示.由圖象知,其值域?yàn)閇0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,0],單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).二利用單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)log31.9,log32;例

2因?yàn)閥=log3x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,1.9<2,所以log31.9<log32.(2)log23,log0.32;因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)logaπ,loga3.14(a>0,且a≠1);當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又π>3.14,則有l(wèi)ogaπ>loga3.14;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又π>3.14,則有l(wèi)ogaπ<loga3.14.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.14;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.14.(4)log50.4,log60.4.在同一直角坐標(biāo)系中,作出y=log5x,y=log6x的圖象,再作出直線x=0.4(圖略),觀察圖象可得log50.4<log60.4.

反思感悟比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.(3)底數(shù)和真數(shù)都不同,找中間量.(4)若底數(shù)為同一參數(shù),則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.

比較大小:(1)log23,log32,log46;跟蹤訓(xùn)練

2∵y=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴l(xiāng)og23=log49>log46>1,又∵log32<1,∴l(xiāng)og23>log46>log32.

三利用單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式

例

3

(2)loga(2x-5)>loga(x-1);

反思感悟?qū)?shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)形如logax>b的不等式,應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(b=logaab),再借助y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解,或利用函數(shù)圖象求解.(1)求滿足不等式log3x<1的x的取值集合;跟蹤訓(xùn)練

3

(2)已知loga(2a+1)<loga3a<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.知識(shí)清單:(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)比較大小.(3)利用單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式.2.方法歸納:分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):作對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)易忽視底數(shù)a>1與0<a<1兩種情況.隨堂演練四1.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的圖象為由f(x)是R上的奇函數(shù),得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除A,B.又當(dāng)x>0時(shí)f(x)=ln(x+1),排除C.√12342.若a=20.2,b=l