數(shù)學(xué)高考考熱點(diǎn)- 近五年高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編9講之6-空間向量與立體幾何

考點(diǎn)6空間向量與立體幾何——五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2024年全國(guó)高考真題]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為()A. B. C. D.1．答案：B解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?，且?cè)面積相等，所以，得，所以圓錐的體積，故選B.2．[2022年全國(guó)高考真題]南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為()A. B. C. D.2．答案：C解析：如圖，依題意可知棱臺(tái)的高，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V.棱臺(tái)上底面積，下底面積，.故選C.3．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A. B. C. D.3．答案：A解析：由題意得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為，.設(shè)該正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為，，外接球的球心為O，則球心O在直線(xiàn)上，由于球心位置不能確定，需分球心在線(xiàn)段上和不在線(xiàn)段上兩種情況討論.當(dāng)球心在線(xiàn)段上時(shí)，，解得，不符合題意；當(dāng)球心不在線(xiàn)段上，即球心在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，解得，所以.綜上，球O的表面積為，故選A.4．[2024年全國(guó)高考真題]已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為()A. B.1 C.2 D.34．答案：B解析：設(shè)正三棱臺(tái)的高為h，三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P，作平面ABC于點(diǎn)O，PO交平面于點(diǎn)，連接，，如圖所示.由，可得，，又，，所以正三棱臺(tái)的體積，解得，故.由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，O為底面ABC的中心，則，因?yàn)槠矫鍭BC，所以是與平面ABC所成的角，在中，，故選B.5．[2021年全國(guó)高考真題]已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為()

A.2 B. C.4 D.

5．答案：B解析：本題考查圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖.設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l.由題意可得，所以.6．[2021年全國(guó)高考真題]正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A. B. C. D.6．答案：D解析：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.7．[2022年全國(guó)高考真題]已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.7．答案：C解析：法一：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.法二：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A，B，D，故選C.法三：如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為，依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長(zhǎng)，高.在中，作，垂足為E，則可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四棱錐的體積，設(shè)，易得，則，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，所以.所以該正四棱錐的體積的取值范圍是，故選C.二、多項(xiàng)選擇題8．[2022年全國(guó)高考真題]已知正方體，則()A.直線(xiàn)與所成的角為B.直線(xiàn)與所成的角為C.直線(xiàn)與平面所成的角為D.直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為8．答案：ABD解析：9．[2023年全國(guó)高考真題]已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則()A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為9．答案：AC解析：對(duì)于A，依題意，圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)，，，所以底面圓的半徑，圓錐的體積為，故A正確；對(duì)于B，該圓錐的側(cè)面積為；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接PM，OM，則，又因?yàn)?，所以，故為二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，，，，所以的面積為，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．[2023年全國(guó)高考真題]下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有()A.直徑為的球體B.所有棱長(zhǎng)均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體10．答案：ABD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，正方體內(nèi)切球的直徑為，故A符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖①，正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長(zhǎng)為，，故B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，圓柱底面直徑為，可忽略不計(jì)，高為，圓柱可看作長(zhǎng)度為的線(xiàn)段.如圖②，正方體的體對(duì)角線(xiàn)為，故C不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，圓柱高為，可忽略不計(jì)，底面直徑為，圓柱可看作直徑為的圓.如圖③，E，F(xiàn)，G，H，I，J為各棱的中點(diǎn)，六邊形EFGHIJ為正六邊形，其邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓直徑，，故D符合題意.故選ABD.11．[2022年全國(guó)高考真題]如圖，四邊形ABCD為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則()A. B. C. D.11．答案：CD解析：如圖，設(shè)，因?yàn)槠矫鍭BCD，，則，，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，易得，又平面，平面ABCD，.又，，平面，平面BDEF，又，過(guò)F作于G，易得四邊形BDGF為矩形，，，，，，，.，，則，則，，，故A，B錯(cuò)誤，C，D正確.故選CD.12．[2021年全國(guó)高考真題]在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，，則()A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面12．答案：BD解析：易知點(diǎn)P在矩形內(nèi)部（含邊界）.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線(xiàn)段.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，此時(shí)的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，此時(shí)，的周長(zhǎng)為.所以的周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，而，又平面，平面，所以平面，則有點(diǎn)P到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，的中點(diǎn)分別為Q，H，則，所以點(diǎn)P軌跡為線(xiàn)段QH，不妨建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，所以或.故點(diǎn)H，Q均滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，的中點(diǎn)分別為M，N，則，所以點(diǎn)P軌跡為線(xiàn)段MN.設(shè)，因?yàn)?，所以，，因?yàn)槠矫妫?，所以，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，故D正確.故選BD.三、填空題13．[2020年全國(guó)高考真題]已知正方體的棱長(zhǎng)為2,分別為的中點(diǎn),則三棱錐的體積為_(kāi)_______________.13．答案：解析：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,分別為的中點(diǎn),所以.故答案為：.14．[2023年全國(guó)高考真題]底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)___________.14．答案：28解析：法一：由于，截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.法二：由法一可知，棱臺(tái)的體積為.故答案為28.15．[2023年全國(guó)高考真題]在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)__________.15．答案：解析：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則為正四棱臺(tái)的高.在等腰梯形中，，，則，，所以.又，所以，所以，所以正四棱臺(tái)的體積為.16．[2020年全國(guó)高考真題]已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____.16．答案：解析：如圖，連接，易知為正三角形，所以.分別取，，的中點(diǎn)，連接，則易得，，且.由題意知分別是，與球面的交點(diǎn).在側(cè)面內(nèi)任取一點(diǎn)，使，連接，則，連接，易得，故可知以為圓心，為半徑的圓弧為球面與側(cè)面的交線(xiàn).由知，所以的長(zhǎng)為.四、解答題17．[2024年全國(guó)高考真題]如圖，四棱錐中，底面，，，.（1）若，證明：平面PBC；（2）若，且二面角的正弦值為，求AD.17．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：（1）證明：由于底面，底面，，又，，平面，平面PAB，又平面，.，，，平面，平面，平面PBC.（2）由題意知DC，AD，AP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)D且平行于AP的直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，，，，，.設(shè)平面CPD的法向量為，則，即，可取.設(shè)平面ACP的法向量為，則，即，可取.二面角的正弦值為，余弦值的絕對(duì)值為，故，又，，即.18．[2024年全國(guó)高考真題]如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿(mǎn)足，，將沿EF翻折至，使得，（1）證明：：（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.18．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：（1）證明：由題，，，又，所以由余弦定理得，故.又，所以.由及翻折的性質(zhì)知，，又，平面PED，所以平面PED.又平面PED，所以.（2）如圖，連接CE，由題，，，，故.又，，所以，故.又，，平面ABCD，所以平面ABCD.EF，ED，PE兩兩垂直，故以E為原點(diǎn)，EF，ED，PE所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，連接PA，則，，，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，可取.設(shè)平面PBF即平面PAF的法向量為，則，可取.所以.故平面PCD與平面PBF所成二面角的正弦值為.19．如圖，PO是三棱錐的高，，，E為PB的中點(diǎn).（1）證明：平面PAC.（2）若，，，求二面角的正弦值.19．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：（1）證明：如圖，連接OA.因?yàn)镻O是三棱錐的高，所以平面ABC，所以，，所以.又，，所以，所以.取AB的中點(diǎn)D，連接OD，DE，則有.又，所以.因?yàn)槠矫妫矫鍼AC，所以平面PAC.因?yàn)镈，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面PAC，所以平面PAC.因?yàn)椋矫妫?，所以平面平面PAC.又平面ODE，所以平面PAC.（2）由（1）知.以D為原點(diǎn)，分別以DB，DO所在直線(xiàn)為x軸、y軸，以過(guò)點(diǎn)D且垂直于平面ABC的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.因?yàn)?，，且，，所?又，所以，，所以，，，，所以，.設(shè)平面AEB的法向量為，則即所以.取，得，所以.設(shè)，則，所以.設(shè)平面AEC的法向量為，則即所以.取，得，所以.所以.所以二面角的正弦值為.20．[2023年全國(guó)高考真題]如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，.（1）證明：；（2）點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求.20．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)解析：(1)法一：證明：如圖，以，，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，，，，所以，，，，所以，又，，，四點(diǎn)不共線(xiàn)，所以.法二：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，在正四棱柱中，，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，且，，，所以，，所以四邊形，均為平行四邊形，所以，，所以.(2)設(shè)，由(1)中法一建系可知，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，所以即取，可得，，所以.設(shè)平面的法向量為，所以即取，可得，，所以.因?yàn)槎娼菫椋?，即，解得或，所以點(diǎn)P為的中點(diǎn)或的中點(diǎn)，即.21．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值.（1）答案：解析：三棱錐的體積V為三棱柱體積的，即.設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則.由解得.故點(diǎn)A到平面的距離為.（2）答案：解析：如圖，連接，交于點(diǎn)E，因?yàn)?，所?又平面平面，所以平面，.由(1)知，點(diǎn)A到平面的距離為，故，，.在直三棱柱中，平面ABC，所以，又，所以平面，故，.由已知得，所以.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)為平面DAB的法向量，則即可取.因?yàn)槠矫?，所以為平面DCB的一個(gè)法向量，有.設(shè)二面角的平面