數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.5.2離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差五分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.設(shè)隨機變量X～B（n,p），且EX=1。6,VX=1.28，則（)A。n=8,p=0。2B。n=4,p=0.4C。n=5，p=0.32D。n=7，p=0.45答案：A解析：∵X～B（n，p）,∴EX=np，VX=np（1—p)。從而有2。已知ξ~B(n,p),Eξ=8,Vξ=1。6,則n與p的值分別是（）A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8答案：D解析：若隨機變量ξ—B(n，p）,則Eξ=np=8,且Vξ=np(1—p)=1。6,∴n=10,p=0.8.3。設(shè)擲一顆骰子的點數(shù)為ξ,則（)A.Eξ=3。5，Vξ=3.52B。Eξ=3。5，Vξ=C。Eξ=3。5，Vξ=3。5D。Eξ=3.5,Vξ=答案：B4.兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量X1、X2，已知EX1=EX2，VX1〉VX2,則自動包裝機___________________的質(zhì)量較好。答案:乙解析:EX1=EX2說明甲、乙兩機包裝重量的平均水平一樣，VX1>VX2說明甲機包裝重量的差別大，不穩(wěn)定.∴乙機質(zhì)量好.十分鐘訓(xùn)練（強化類訓(xùn)練，可用于課中）1.若隨機變量η的分布如下表所示,則η的標(biāo)準(zhǔn)差為（)Η01P1—pPA。pB。1—pC.p(1-p)D.答案：D解析：∵隨機變量η服從（0,1)分布,∴E（u）=0×(1—p）+p=p，∴V(η）=（0—p）2（1—p)+(1-p)2p=p(1-p）,∴.2。已知V（aξ+bη)=a2Vξ+b2Vη,若Vξ=3，Vη=1，則V(—ξ+2η）為()A.—1B.7C。1D。6答案：B解析：∵V(aξ+bη）=a2Vξ+b2Vη，∴V(—ξ+2η)=Vξ+4Vη=3+4×1=7.3.已知隨機變量ξ的分布列是(）ξ123P0.40.20.4則Vξ和Eξ分別等于()A。0和1B。1.8和1C.2和2D.0。8和2答案:D4.隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量______________；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機變量偏離于均值的平均程度就______________________.答案：取值偏離于均值的平均程度越小5.甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲:所得環(huán)數(shù)X11098概率P0.20.60。2射手乙:所得環(huán)數(shù)X21098概率P0.40。20.4誰的射擊水平比較穩(wěn)定?解：E（X1）=10×0。2+9×0。6+8×0.2=9,V（X1）=(10-9）2×0。2+（9-9)2×0.6+(8-9)2×0.2=0.2+0。2=0.4,E（X2）=10×0。4+9×0.2+8×0.4=9，V（X2)=（10-9）2×0。4+(9—9）2×0。2+(8—9)2×0.4=0。4+0。4=0.8。由V(X1）<V(X2）,可知甲的射擊水平比乙穩(wěn)定。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。同時拋擲兩枚均勻硬幣100次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面的次數(shù)為ξ，則ξ的期望與方差分別為()A.25，18。75B.25,25C.50,18.75D。50,25答案:A解析：同時擲拋兩枚均勻硬幣,出現(xiàn)的情況有四種:正，正;正，負；負,正；負，負。而出現(xiàn)每種情況的概率均為,∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=25。方差利用公式即可.2。設(shè)隨機變量ξ~N（0，1)，則P(—1＜ξ＜1)等于(）A。2Φ（1)-1B.2Φ（—1）—1C。D。Φ（1)+Φ（—1)答案：A解析：P(-1＜ξ＜1）=P(ξ＜1)—P(ξ＜—1）=Φ(1）-Φ(-1）=2Φ(1）—1.3。已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c∈{—3，—2,—1，0，1，2,3},在這些拋物線中，記隨機變量ξ=|a-b｜的取值，則ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為（）A。B.C.D。答案:A解析：對稱軸在y軸左側(cè)的拋物線共有2=126條.ξ可取的值為0，1,2。P（ξ=0）==，P(ξ=1）=,P(ξ=2）=,Eξ=0×+1×+2×=.4。設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和，且P(A）=p,令隨機變量X=則X的方差VX等于(）A.pB。2p（1-p）C.-p（1-p）D。p(1—p）答案：D解析：EX=0·(1-p)+1·p=p，VX=(0—p）2·(1—p)+（1-p)2·p=p-p2=p（1—p)。5。若X是離散型隨機變量,P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1<x2，又已知EX=，VX=，則x1+x2的值為()A.B。C.3D。答案：C解析：由EX=x1+x2=,得2x1+x2=4。①又VX=（x1—)2·+(x2-）2·=，得18x12+9x22—48x1—24x2+29=0.②由①②且x1<x2，得x1+x2=3。6。一般地,若離散型隨機變量X的頻率分布為Xx1x2…xnPp1p2…pn則（xi-μ）2〔μ=E（X)〕描述了xi(i=1，2,…，n)相對于均值μ的偏離程度,故（x1-μ）2p1+（x2-μ)2p2+…+(xn—μ）2pn(其中pi≥0,i=1,2，…,n，p1+p2+…+pn=1）刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為_______________，記為_____________.答案:離散型隨機變量X的方差V(X）或σ27。證明事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)方差不超過.證明:設(shè)事件在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)為ξ,顯然ξ可能的取值為0和1，又設(shè)事件在一次試驗中發(fā)生的概率為P，則P（ξ=0）=1—p，P(ξ=1）=p.∴Eξ=0（1—p)+1·p=p,Vξ=(1—p)(0—p)2+p(1—p)2=(1-p）p2+p（1-p）2=p（1