上海市盧灣高級中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷含解析

上海市盧灣高級中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．902．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．3．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知集合，，，則（）A． B． C． D．6．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．7．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．9．已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．410．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．11．元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論，其中關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．612．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．14．函數(shù)的定義域為______.15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為____________.16．（5分）已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點是直線l上的動點，是定點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，求證A，Q，B共線；并在時求點P坐標(biāo).18．（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.19．（12分）已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項和，，求證：數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個零點.（1）求實數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.22．（10分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.4、A【解析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.5、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.【點睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當(dāng)時，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運(yùn)行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．8、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過點，即時，有最小值為.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調(diào)性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當(dāng)時，.”，所以令，得，因為，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11、B【解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點睛：本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合，屬于中檔題，解題時注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系（比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項積等）.12、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內(nèi)心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.14、【解析】

對數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0，再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對函數(shù)有意義，即.故答案為：【點睛】本題考查求對數(shù)函數(shù)的定義域，還考查了指數(shù)型不等式求解，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由圖可得的周期、振幅，即可得，再將代入可解得，進(jìn)一步求得解析式及.【詳解】由圖可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案為：【點睛】本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識圖、計算等能力，是一道中檔題.16、【解析】

易知函數(shù)的定義域為，且，則是上的偶函數(shù)．由于在上單調(diào)遞增，而在上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故知在上單調(diào)遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數(shù)，可得，由在上單調(diào)遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，或【解析】

（1）根據(jù)點到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，，，，表示出直線，的方程，利用表示出，，即可求定點的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)拋物線上點的坐標(biāo)為，則，時取等號），則拋物線上的點到直線距離的最小值；（2）設(shè)，，，，，，直線，的方程為分別為，，由兩條直線都經(jīng)過點點得，為方程的兩根，，直線的方程為，，，，，共線．又，，，解，，點，是直線上的動點，時，，時，，，或．【點睛】本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．18、（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計值；（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進(jìn)行求解；②先根據(jù)條件計算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應(yīng)概率的對稱性.19、（1），（1，2）；（2）存在，【解析】

（1）由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點的坐標(biāo)；（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】（1）由題意，直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0，所以定點Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點坐標(biāo)，由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為，可得，解得或（舍去），故拋物線C的方程為又由消去y得，因為直線與拋物線C相切，所以，解得，此時，所以點P坐標(biāo)為（1，2）（2）設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，點，聯(lián)立，消去x得，則，依題意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在實數(shù)=滿足條件.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時和時的單調(diào)性證明，求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式，利用當(dāng)時，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因為，所以，，切點為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）.故在上為增函數(shù).①當(dāng)時，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時，由于，，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，,故在上為