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文檔簡介
2022-2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編
平行四邊形
一、單選題
1.(2024北京東城初三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,2),B(-l,0),C(2,0)為YABCD的頂
點,則頂點。的坐標(biāo)為()
A.(-3,2)B.(2,2)C.(3,2)D.(2,3)
二、解答題
2.(2024北京平谷初三一模)如圖,在ASC中,=90°,AB^AC,點D為BC邊中點,
DE,AB千E,作N£E)C的平分線交AC于點F,過點E作O尸的垂線交D尸于點G,交BC于點H.
(1)依題意補全圖形;
(2)求證:DH=BE;
(3)判斷線段即、與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
3.(2024北京通州初三一模)如圖,將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0。<。<180。)得到線段AC,連
結(jié)3C,點N是的中點,點。,E分別在線段AC,3C的延長線上,且CE=OE.
⑴NEDC=(用含a的代數(shù)式表示);
(2)連結(jié)2£>,點尸為的中點,連接AF,EF,NF.
①依題意補全圖形;
②若用等式表示線段行與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明.
4.(2023北京東城初三一模)下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完
成證明.
三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
已知:如圖,點。,E分別是,ABC的邊AB,AC的中點.
求證:DE//BC,S.DE=-BC.
2
5.(2023北京燕山初三一模)下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完
6.(2023北京通州初三一模)如圖,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AB=BD=2CD,E為AB的中點,請
你用無刻度的直尺在圖中畫△ABD的邊AO上的高線,小蕊的畫法如下.請你按照小蕊的畫法完成畫圖,
并填寫證明的依據(jù).
畫法:
①連接ED,
②連接CE,交BD于點F,
③連接AF,交DE于點、P
④作射線3尸,交AD于點H,
/.3”即為所求△ABZ)的邊AD上的高線
證明:
VAB=2CD,E為AB的中點,
,BE=CD.
?:ABCD,
二四邊形EBCD是平行四邊形.____________________________
.,.點P是8D中點.?
:.AT、DE是的中線
,是AAfiD的中線
■/AB=BD
:.BH是AD邊上的高線..
7.(2022北京大興初三一模)如圖,在平面四邊形ABC。中,點E,尸分別是43,CD上的點,
CF=BE.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
⑵若NA=60。,AD=2,AB=4,求8。的長.
8.(2022北京海淀初三一模)在Rt45c中,ZABC=90°,ABAC=30°.。為邊BC上一動點,點E在
邊AC上,CE=CD.點。關(guān)于點8的對稱點為點尸,連接AD,P為的中點,連接PE,PF,EF.
圖1圖2
(1)如圖1,當(dāng)點。與點8重合時,寫出線段PE與/¥■之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點。與點8,C不重合時,判斷(1)中所得的關(guān)系是否仍然成立?若成立,請給出證明,若
不成立,請舉出反例.
參考答案
1.C
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,勾股定理,設(shè)點。的坐標(biāo)為(私辦,由平行四
0+2-1+m
22
邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得,解方程即可得到答案.
2+00+n
—亍
【詳解】解:設(shè)點。的坐標(biāo)為
0+2-1+m
22
由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得
2+00+〃
I22
m=3
n=2
;.點。的坐標(biāo)為(3,2),
故選:C.
2.(1)見解析
(2)見解析
⑶BE?+HC?=DF?,見角軍析
【分析】(1)根據(jù)題意補全圖形即可;
(2)通過ASA證明EDG經(jīng)HDG,得到=根據(jù)題意易得/3=45。,由DEIAB,可得△BDE
為等腰直角三角形,于是BE=DE=DH;
(3)過點尸作/W_LCD于點N,得DE為ABC的中位線,則比>=CD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得
ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,進而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出
CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到結(jié)論.
【詳解】(1)解:補全圖形如圖所示.
:"EDG=ZHDG,
EH±DF,
:.NEGD=NHGD=90°,
在/XEDG和aHDG中,
NEGD=NHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,
EDG空印9G(ASA),
在ABC中,ABAC=90°,AB=AC,
.1ABC為等腰直角三角形,
.-.ZB=45°,
又-DELAB,即NDE3=90°,
工以定為等腰直角三角形,
:.BE=DE=DH.
(3)解:HC2+BE2=FD2,證明如下:
如圖,過點P作FNLCD于點N,
則CRV為等腰直角三角形,
ZDEB=NCAB=90°,
DE//AC,
又?E為48的中點,
:.DE為A5C的中位線,
BD=CD,
NBDE=45。,
ZCDE=135°,
DF再分/EDC,
;./EDF=/CDF=675。,
ZC=45°,
:./CFD=180°-ZCDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,
:.CD=CF=BD,
:.CN=FN=BE=DE=DH,
:.CD-DH=CD-CN,即CH=Z)N,
在RtDFN中,由勾股定理得。力+對2=£>產(chǎn),
HC2+BE2=FD~.
【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定于性質(zhì)、三角形中位線定理、角平分
線的定義、勾股定理,解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)將目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中,再根據(jù)勾
股定理解決問題.
3.(1)90°-1?
(2)①見解析;②CE=^NF,證明見解析
【分析】本題考查了根據(jù)條件畫圖,平行四邊形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形
等知識,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造全等三角形.
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和題意即可得出NC£>E=NDCE=NACB=90O-:a;
(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可;
②延長"至點使~0=詼,連接證明四邊形為平行四邊形,證明
VACEaMDE,算出&=90。,ZECD=NEDC=45。,結(jié)合三角形中位線定理即可求解;
【詳解】(1)ZA=a,
由旋轉(zhuǎn)得AB=AC,
1QAO_a1
ZABC=ZACB=--------=90?!猘,
22
?:CE=DE,
:.ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.
(2)①補全圖形如圖:
②延長"至點M,使府=詼,連接
;點F為線段中點,
四邊形ABMD為平行四邊形,
:.AB//DM,AB=DM,
ZBAC+ZADM=180°,
,\ZADM=lSQ°-af
AF1EF,
:.AE=ME,
又QAB=AC,EC=ED,
:.AC=DM,
??..ACE-MDE(SSS),
ZMDE=/ACE=180°-ZACB=90。+L,
2
/.ZADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a
2I2)f
..180°-a=a,
/.a=90°,
:?NECD=NEDC=45。,
?*-CD=yfl.CE,
為BC中點,尸為8D中點,
,NF是:BDC中位線,
:.CD=2NF,
CE=?NF.
4.證明見解析
【分析】方法一,證明一皿也.CEF(ASA),則DE=£F,CF=AD,DE=^DF,CF=BD,證明四邊
形8CTO是平行四邊形,則。尸〃BC,DF=BC,進而結(jié)論得證;
方法二,證明△AED=△(?£1尸(SAS),則Cb=AD,ZCFE=ZADE,AD//CF,證明四邊形DBCN是平
行四邊形,則止=3C,DF//BC,進而結(jié)論得證.
【詳解】方法一,證明::點。,E分別是ABC的邊AB,AC的中點,
**?AE=CE,AD=BD,
CF//AB,
:.ZA=ZFCEf
■:ZA=/FCE,AE=CE,ZAED=NCEF,
.AED^.CEF(ASA),
/.DE=EF,CF^AD,
:.DE=-DF,CF=BD,
2
.四邊形BCTO是平行四邊形,
:?DF〃BC,DF=BC,
:.DE//BC,DE=-BC;
2
方法二,證明:???點E分別是的邊AB,AC的中點,
AAE=CE,AD=BD,
*.*AE=CE,XAED=/CEF,AD=BD,
.??(SAS),
ACF=AD,ZCFE=ZADE,
:.AD//CF,CF=BD,
???四邊形DBCF是平行四邊形,
:.DF=BC,DF//BC,
,/DE=-DF,
2
DE//BC,DE=-BC.
2
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),中位線.解題的關(guān)鍵在于對知
識的熟練掌握與靈活運用.
5.證明見解析
【分析】方法一:先證明.AED空CE尸得到AD=CEZADE=ZCFE,得到AD〃CF,再證明四邊形
BCFD是平行四邊形,得到。尸=3C,DF//BC,則。E=工。/=,即可證明DE〃BC,且
22
DE=-BC.
2
方法二:同理可證ZXAE尸經(jīng)ACEG得到CG=AF,NAFE=NCGE,再證明四邊形ABGB是平行四邊形,
得到AB=Gb,進一步證明四邊形BDEG是平行四邊形,得至IJDE〃臺G,DE=BG,即可證明。E〃3c且
DE=-BC.
2
【詳解】方法一:證明:如圖,延長OE到點產(chǎn),使EF=DE,連接尸C,DC,AF,
是AC的中點,
AE=CE,
又,:DE=FE,ZAED=ZCEF,
:.AAED絲△CEF(SAS),
/.AD=CF,NADE=NCFE,
:.AD//CF,
?.,。是AB的中點,
AD=BD=CF,
四邊形BCFD是平行四邊形,
:.DF=BC,DF//BC,
?:DE=FE,
:.DE=-DF=-BC,
22
:.DE//BC,且r>E=LgC.
2
方法二:證明:如圖,取BC中點G,連接GE并延長到點產(chǎn),使EF=GE,連接AF.
同理可證"即經(jīng)△CEG,
ACG=AF,/AFE=NCGE,
:.AF//CG,
是BC中點,
BG=CG=AF,
...四邊形ABGF是平行四邊形,
AB=GF,
?;D,E分別是AB,的中點,
BD==AB=GE=-GF,
22
BD=GE,
又?:BD//GE,
.?.四邊形BDEG是平行四邊形,
DE//BG,DE=BG,
:.DE〃BCS.DE」BC.
2
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,平行四邊形的性質(zhì)與判定,正確理解題意是解題的關(guān)
鍵.
6.見解析
【分析】先根據(jù)題意畫圖,然后根據(jù)已知條件填寫依據(jù)即可.
【詳解】
VAB^2CD,E為AB的中點,
BE=CD.
,/ABCD,
,四邊形EBCD是平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),
,點尸是8。中點.(平行四邊形對角線互相平分),
AF.DE是△ABZ)的中線,
/.3"是的中線,
AB=BD,
A3,是邊上的高線.(等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高).
【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)與判斷和等腰三角形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活使用平行
四邊形的性質(zhì)和判定.
7.(1)證明見解析;
(2)2A/3.
【分析】(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)過點。作。GLA8于點G,利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出8。的長.
【詳解】(1)解::四邊形ABC。是平行四邊形,
:.AB^D5.AB=CD,
":CF=BE,
:.AB-BE=CD-CF,即AE=DF
四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)解:如圖,過點。作DGLAB于點G.
ZAGD=90°,
':ZA=60°,:.ZADG=30°,
\"AD=2,:,AG=1,
:.DG=722-l2=G,BG=AB-AG=3,
:.在RfADGB中,
BD=VDG2+BG2=7(^)2+32=2港.
【點睛】本題考查平行四邊形與直角三角形的綜合應(yīng)用,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定、直角三角形
的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.
8.(1)PE±PF,—=—
PF3
(2)成立,證明見解析
【分析】(1)由題意知。,反尸三點重合,則CD=3C,PF=PD=PB,含30。的直角三角形中
BC=^-AC,由CE=CD,可知CE=C£>=2C=1AC,PE是"DC的中位線,有PE工PF,
22
PE=-CD=-BC,PF=>AB=&C,然后求出比值即可;
2222
(2)如圖2,連接OE,作PM13C于M,PG〃尤軸,過E作GN_L3c交BC于N,交PG于G,由題
意知,是△ABD的中位線,BD=FB,CDE是等邊三角形,四邊形PAWG是矩形,設(shè)DC=c,
FD=BD=b,則==AB=?伍+c),PM=^(b+c),BM=g,FM=^b,
DN=-DC=^-c,EN=—c,GE=PM-EN=—b,PG=MN=-(b+c),
22222V'
FN=FB+BD+DN=2b+^c,在4△PR以中,由勾股定理得尸產(chǎn)=+PA〃,求出用4,人表示的
P產(chǎn)的值,在放△PEG中,由勾股定理得P£2=GE2+PG2,求出用a,6表示的尸爐的值,在QEFN
pp2PE
中,由勾股定理得取2=硒2+引Vz,求出用a,6表示的E產(chǎn)的值,求出可得%的值,進而可得卡的
PF-PF
值,根據(jù)PE2+PF2與EF2的數(shù)量關(guān)系判斷PE與PF的位置關(guān)系即可.
【詳解】(1)解:PELPF,-=^-.
PF3
理由如下:由題意知。,昆尸三點重合
:.CD=BC,PF=PD=PB
VZABC=90°,ZBAC=30°
:.ZACB=60°,BC=-AC
2
?:CE=CD
CE=CD=BC=-AC
2
...E為線段AC的中點
尸是AD中點
PE是△ADC的中位線
/.PE=-CD^-BC,PELPF
22
:-PF=-AB=—BC
22
PF-BCA
PE_2_,3
??PF一6一3-
----£)C
2
⑵解:PE"器邛的關(guān)系仍成立.
證明:如圖2,連接DE,作人3c于M,PG〃尤軸,過E作GV,3c交BC于
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