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文檔簡介

2022-2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形

一、單選題

1.(2024北京東城初三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,2),B(-l,0),C(2,0)為YABCD的頂

點,則頂點。的坐標(biāo)為()

A.(-3,2)B.(2,2)C.(3,2)D.(2,3)

二、解答題

2.(2024北京平谷初三一模)如圖,在ASC中,=90°,AB^AC,點D為BC邊中點,

DE,AB千E,作N£E)C的平分線交AC于點F,過點E作O尸的垂線交D尸于點G,交BC于點H.

(1)依題意補全圖形;

(2)求證:DH=BE;

(3)判斷線段即、與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

3.(2024北京通州初三一模)如圖,將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0。<。<180。)得到線段AC,連

結(jié)3C,點N是的中點,點。,E分別在線段AC,3C的延長線上,且CE=OE.

⑴NEDC=(用含a的代數(shù)式表示);

(2)連結(jié)2£>,點尸為的中點,連接AF,EF,NF.

①依題意補全圖形;

②若用等式表示線段行與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明.

4.(2023北京東城初三一模)下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完

成證明.

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

已知:如圖,點。,E分別是,ABC的邊AB,AC的中點.

求證:DE//BC,S.DE=-BC.

2

5.(2023北京燕山初三一模)下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完

6.(2023北京通州初三一模)如圖,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AB=BD=2CD,E為AB的中點,請

你用無刻度的直尺在圖中畫△ABD的邊AO上的高線,小蕊的畫法如下.請你按照小蕊的畫法完成畫圖,

并填寫證明的依據(jù).

畫法:

①連接ED,

②連接CE,交BD于點F,

③連接AF,交DE于點、P

④作射線3尸,交AD于點H,

/.3”即為所求△ABZ)的邊AD上的高線

證明:

VAB=2CD,E為AB的中點,

,BE=CD.

?:ABCD,

二四邊形EBCD是平行四邊形.____________________________

.,.點P是8D中點.?

:.AT、DE是的中線

,是AAfiD的中線

■/AB=BD

:.BH是AD邊上的高線..

7.(2022北京大興初三一模)如圖,在平面四邊形ABC。中,點E,尸分別是43,CD上的點,

CF=BE.

(1)求證:四邊形是平行四邊形;

⑵若NA=60。,AD=2,AB=4,求8。的長.

8.(2022北京海淀初三一模)在Rt45c中,ZABC=90°,ABAC=30°.。為邊BC上一動點,點E在

邊AC上,CE=CD.點。關(guān)于點8的對稱點為點尸,連接AD,P為的中點,連接PE,PF,EF.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點。與點8重合時,寫出線段PE與/¥■之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)點。與點8,C不重合時,判斷(1)中所得的關(guān)系是否仍然成立?若成立,請給出證明,若

不成立,請舉出反例.

參考答案

1.C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,勾股定理,設(shè)點。的坐標(biāo)為(私辦,由平行四

0+2-1+m

22

邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得,解方程即可得到答案.

2+00+n

—亍

【詳解】解:設(shè)點。的坐標(biāo)為

0+2-1+m

22

由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得

2+00+〃

I22

m=3

n=2

;.點。的坐標(biāo)為(3,2),

故選:C.

2.(1)見解析

(2)見解析

⑶BE?+HC?=DF?,見角軍析

【分析】(1)根據(jù)題意補全圖形即可;

(2)通過ASA證明EDG經(jīng)HDG,得到=根據(jù)題意易得/3=45。,由DEIAB,可得△BDE

為等腰直角三角形,于是BE=DE=DH;

(3)過點尸作/W_LCD于點N,得DE為ABC的中位線,則比>=CD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得

ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,進而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出

CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解:補全圖形如圖所示.

:"EDG=ZHDG,

EH±DF,

:.NEGD=NHGD=90°,

在/XEDG和aHDG中,

NEGD=NHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,

EDG空印9G(ASA),

在ABC中,ABAC=90°,AB=AC,

.1ABC為等腰直角三角形,

.-.ZB=45°,

又-DELAB,即NDE3=90°,

工以定為等腰直角三角形,

:.BE=DE=DH.

(3)解:HC2+BE2=FD2,證明如下:

如圖,過點P作FNLCD于點N,

則CRV為等腰直角三角形,

ZDEB=NCAB=90°,

DE//AC,

又?E為48的中點,

:.DE為A5C的中位線,

BD=CD,

NBDE=45。,

ZCDE=135°,

DF再分/EDC,

;./EDF=/CDF=675。,

ZC=45°,

:./CFD=180°-ZCDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,

:.CD=CF=BD,

:.CN=FN=BE=DE=DH,

:.CD-DH=CD-CN,即CH=Z)N,

在RtDFN中,由勾股定理得。力+對2=£>產(chǎn),

HC2+BE2=FD~.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定于性質(zhì)、三角形中位線定理、角平分

線的定義、勾股定理,解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)將目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中,再根據(jù)勾

股定理解決問題.

3.(1)90°-1?

(2)①見解析;②CE=^NF,證明見解析

【分析】本題考查了根據(jù)條件畫圖,平行四邊形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形

等知識,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造全等三角形.

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和題意即可得出NC£>E=NDCE=NACB=90O-:a;

(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可;

②延長"至點使~0=詼,連接證明四邊形為平行四邊形,證明

VACEaMDE,算出&=90。,ZECD=NEDC=45。,結(jié)合三角形中位線定理即可求解;

【詳解】(1)ZA=a,

由旋轉(zhuǎn)得AB=AC,

1QAO_a1

ZABC=ZACB=--------=90?!猘,

22

?:CE=DE,

:.ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.

(2)①補全圖形如圖:

②延長"至點M,使府=詼,連接

;點F為線段中點,

四邊形ABMD為平行四邊形,

:.AB//DM,AB=DM,

ZBAC+ZADM=180°,

,\ZADM=lSQ°-af

AF1EF,

:.AE=ME,

又QAB=AC,EC=ED,

:.AC=DM,

??..ACE-MDE(SSS),

ZMDE=/ACE=180°-ZACB=90。+L,

2

/.ZADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a

2I2)f

..180°-a=a,

/.a=90°,

:?NECD=NEDC=45。,

?*-CD=yfl.CE,

為BC中點,尸為8D中點,

,NF是:BDC中位線,

:.CD=2NF,

CE=?NF.

4.證明見解析

【分析】方法一,證明一皿也.CEF(ASA),則DE=£F,CF=AD,DE=^DF,CF=BD,證明四邊

形8CTO是平行四邊形,則。尸〃BC,DF=BC,進而結(jié)論得證;

方法二,證明△AED=△(?£1尸(SAS),則Cb=AD,ZCFE=ZADE,AD//CF,證明四邊形DBCN是平

行四邊形,則止=3C,DF//BC,進而結(jié)論得證.

【詳解】方法一,證明::點。,E分別是ABC的邊AB,AC的中點,

**?AE=CE,AD=BD,

CF//AB,

:.ZA=ZFCEf

■:ZA=/FCE,AE=CE,ZAED=NCEF,

.AED^.CEF(ASA),

/.DE=EF,CF^AD,

:.DE=-DF,CF=BD,

2

.四邊形BCTO是平行四邊形,

:?DF〃BC,DF=BC,

:.DE//BC,DE=-BC;

2

方法二,證明:???點E分別是的邊AB,AC的中點,

AAE=CE,AD=BD,

*.*AE=CE,XAED=/CEF,AD=BD,

.??(SAS),

ACF=AD,ZCFE=ZADE,

:.AD//CF,CF=BD,

???四邊形DBCF是平行四邊形,

:.DF=BC,DF//BC,

,/DE=-DF,

2

DE//BC,DE=-BC.

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),中位線.解題的關(guān)鍵在于對知

識的熟練掌握與靈活運用.

5.證明見解析

【分析】方法一:先證明.AED空CE尸得到AD=CEZADE=ZCFE,得到AD〃CF,再證明四邊形

BCFD是平行四邊形,得到。尸=3C,DF//BC,則。E=工。/=,即可證明DE〃BC,且

22

DE=-BC.

2

方法二:同理可證ZXAE尸經(jīng)ACEG得到CG=AF,NAFE=NCGE,再證明四邊形ABGB是平行四邊形,

得到AB=Gb,進一步證明四邊形BDEG是平行四邊形,得至IJDE〃臺G,DE=BG,即可證明。E〃3c且

DE=-BC.

2

【詳解】方法一:證明:如圖,延長OE到點產(chǎn),使EF=DE,連接尸C,DC,AF,

是AC的中點,

AE=CE,

又,:DE=FE,ZAED=ZCEF,

:.AAED絲△CEF(SAS),

/.AD=CF,NADE=NCFE,

:.AD//CF,

?.,。是AB的中點,

AD=BD=CF,

四邊形BCFD是平行四邊形,

:.DF=BC,DF//BC,

?:DE=FE,

:.DE=-DF=-BC,

22

:.DE//BC,且r>E=LgC.

2

方法二:證明:如圖,取BC中點G,連接GE并延長到點產(chǎn),使EF=GE,連接AF.

同理可證"即經(jīng)△CEG,

ACG=AF,/AFE=NCGE,

:.AF//CG,

是BC中點,

BG=CG=AF,

...四邊形ABGF是平行四邊形,

AB=GF,

?;D,E分別是AB,的中點,

BD==AB=GE=-GF,

22

BD=GE,

又?:BD//GE,

.?.四邊形BDEG是平行四邊形,

DE//BG,DE=BG,

:.DE〃BCS.DE」BC.

2

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,平行四邊形的性質(zhì)與判定,正確理解題意是解題的關(guān)

鍵.

6.見解析

【分析】先根據(jù)題意畫圖,然后根據(jù)已知條件填寫依據(jù)即可.

【詳解】

VAB^2CD,E為AB的中點,

BE=CD.

,/ABCD,

,四邊形EBCD是平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),

,點尸是8。中點.(平行四邊形對角線互相平分),

AF.DE是△ABZ)的中線,

/.3"是的中線,

AB=BD,

A3,是邊上的高線.(等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高).

【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)與判斷和等腰三角形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活使用平行

四邊形的性質(zhì)和判定.

7.(1)證明見解析;

(2)2A/3.

【分析】(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明四邊形AEFD是平行四邊形;

(2)過點。作。GLA8于點G,利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出8。的長.

【詳解】(1)解::四邊形ABC。是平行四邊形,

:.AB^D5.AB=CD,

":CF=BE,

:.AB-BE=CD-CF,即AE=DF

四邊形AEFD是平行四邊形;

(2)解:如圖,過點。作DGLAB于點G.

ZAGD=90°,

':ZA=60°,:.ZADG=30°,

\"AD=2,:,AG=1,

:.DG=722-l2=G,BG=AB-AG=3,

:.在RfADGB中,

BD=VDG2+BG2=7(^)2+32=2港.

【點睛】本題考查平行四邊形與直角三角形的綜合應(yīng)用,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定、直角三角形

的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

8.(1)PE±PF,—=—

PF3

(2)成立,證明見解析

【分析】(1)由題意知。,反尸三點重合,則CD=3C,PF=PD=PB,含30。的直角三角形中

BC=^-AC,由CE=CD,可知CE=C£>=2C=1AC,PE是"DC的中位線,有PE工PF,

22

PE=-CD=-BC,PF=>AB=&C,然后求出比值即可;

2222

(2)如圖2,連接OE,作PM13C于M,PG〃尤軸,過E作GN_L3c交BC于N,交PG于G,由題

意知,是△ABD的中位線,BD=FB,CDE是等邊三角形,四邊形PAWG是矩形,設(shè)DC=c,

FD=BD=b,則==AB=?伍+c),PM=^(b+c),BM=g,FM=^b,

DN=-DC=^-c,EN=—c,GE=PM-EN=—b,PG=MN=-(b+c),

22222V'

FN=FB+BD+DN=2b+^c,在4△PR以中,由勾股定理得尸產(chǎn)=+PA〃,求出用4,人表示的

P產(chǎn)的值,在放△PEG中,由勾股定理得P£2=GE2+PG2,求出用a,6表示的尸爐的值,在QEFN

pp2PE

中,由勾股定理得取2=硒2+引Vz,求出用a,6表示的E產(chǎn)的值,求出可得%的值,進而可得卡的

PF-PF

值,根據(jù)PE2+PF2與EF2的數(shù)量關(guān)系判斷PE與PF的位置關(guān)系即可.

【詳解】(1)解:PELPF,-=^-.

PF3

理由如下:由題意知。,昆尸三點重合

:.CD=BC,PF=PD=PB

VZABC=90°,ZBAC=30°

:.ZACB=60°,BC=-AC

2

?:CE=CD

CE=CD=BC=-AC

2

...E為線段AC的中點

尸是AD中點

PE是△ADC的中位線

/.PE=-CD^-BC,PELPF

22

:-PF=-AB=—BC

22

PF-BCA

PE_2_,3

??PF一6一3-

----£)C

2

⑵解:PE"器邛的關(guān)系仍成立.

證明:如圖2,連接DE,作人3c于M,PG〃尤軸,過E作GV,3c交BC于

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