2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：直線和圓的方程（解析版）

專題11直線和通的方程（/兼8小考點幫灌揀+精通諼樞揀）

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點分析

2024年春考2、11題直線的傾斜角、圓的標準方程

2023年秋考7題圓的一般方程

2023年春考4題圓的一般方程

2022春考16題直線與圓的位置關(guān)系

2022春考7題方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系

2021年秋考3題圓的一般方程

2021年春考5題兩直線的夾角與到角問題

雙曲線與圓的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的

2020年秋考20題

聯(lián)立，以及向量的數(shù)量積的幾何意義

2020年春考7題

兩條平行直線間的距離

5年真題?分點精準練

-.直線的傾斜角（共1小題）

1.（2024?上海）直線尤-y+1=0的傾斜角大小為_45。_.

K祥解》求出直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得傾斜角的大小.

【解答】解：由直線x-y+l=0變形得：y=x+l,

設(shè)直線的傾斜角為c,即tana=l,

因為ae[0,180°）,

所以（z=45°.

故答案為：45°.

【點評】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數(shù)值.熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系

是解本題的關(guān)鍵，同時注意直線傾斜角的范圍，屬基礎(chǔ)題.

二.方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系（共1小題）

2.（2022?上海）若關(guān)于x,y的方程組尸十”?：2有無窮多解，則實數(shù)加的值為4.

[jwc+16y=8

K祥解】根據(jù)題意，分析可得直線x+my=2和M+16y=8平行，由此求出機的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于x,y的方程組「+”?=2有無窮多解，

貝U直線x+my=2和“zr+16y=8重合，則有1X16=WIX7〃，即加=16,解可得相=±4,

當加=4時，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，

當m=Y時，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，

故〃2=4.

故答案為：4

【點評】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

三.兩條平行直線間的距離（共1小題）

3.（2020?上海）已知直線/1:x+ay=1,12:ax+y=1,若IJ/1?,貝U/1與"的距離為_夜_?

（祥解1由4/4求得a的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計算即可.

【解答】解：直線Z,:x+ay=1,l2:ax+y=l,

當4//，時，a，—1=0,解得a=±1；

當a=1時4與4重合，不滿足題意；

當a=-i時4///?,此時4：尤一y-i=o,6：尤-y+i=o；

貝!J4與的距離為d=J11L=>/2.

故答案為：A/2.

【點評】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題.

四.兩直線的夾角與到角問題（共1小題）

4.（2021?上海）直線x=-2與直線瓜-y+l=0的夾角為-.

一6一

（祥解》先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.

【解答】解：?.?直線x=-2的斜率不存在，傾斜角為工，

2

直線百x-y+l=0的斜率為6,傾斜角為生，

3

故直線x=-2與直線氐7+1=0的夾角為工-工=巴

236

故答案為：

6

【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

五.圓的標準方程（共1小題）

5.（2024?上海）正方形草地ABCD邊長1.2,E到至，4）距離為0.2,歹到BC,CD距離為0.4,有個

圓形通道經(jīng)過E,F,且與AD只有一個交點，求圓形通道的周長2.73.（精確到0.01）

K祥解X先確定圓的圓心坐標和半徑，從而得出結(jié)論.

【解答】解：以A為原點，線段4?所在直線為x軸，4）所在直線為y軸，建立直角坐標系,

易知￡（0.2,0.2）,壽（0.8,0。）.

不妨設(shè)EF中點為M（0.5,0.5）直線EF中垂線所在直線方程為y-0.5=-（x-0.5）,

化簡得y=-x+l.

所以可設(shè)圓心為（a,-a+l）,半徑為。，且經(jīng)過E,F點,

即（a-0.2）2+（-a+1-0.2）2=a2,

化簡得片—2Q+0.68:0,求得二］;］土逑.

210

4應(yīng)

結(jié)合題意可得，a=1-士=0.434.

10

故有圓的周長C=2萬4=2.725工2.73.

【點評】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，圓的標準方程，屬于中檔題.

六.圓的一般方程（共3小題）

6.（2023?上海）已知圓Y+;/-4尤-機=0的面積為萬，貝！=_-3_.

（祥解》先把圓的一般方程化為標準方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可.

【解答】解：圓V+;/-4x-根=0化為標準方程為：（x-2>+V=4+機，

?.?圓的面積為萬，.?.圓的半徑為1,

4+777=1,

m=—3.

故答案為：-3.

【點評】本題主要考查了圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2023?上海）已知圓C的一般方程為f+2尤+丁=0,則圓C的半徑為1.

（祥解》把圓C的一般方程化為標準方程，可得圓C的圓心和半徑.

【解答】解：根據(jù)圓C的一般方程為V+2尤+y2=o,可得圓C的標準方程為（x+Ip+/=1,

故圓C的圓心為（-1,0）,半徑為1,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查圓的一般方程和標準方程，屬基礎(chǔ)題.

8.（2021?上海）^x2+y2-2x-4y=0,求圓心坐標為_（1,2）_.

K祥解》將一般方程化為標準方程，然后確定其圓心坐標即可.

【解答】解：由d+y2_2x_4y=0,可得圓的標準方程為（x-ir+（y-2）2=5,

所以圓心坐標為（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點評】本題考查了圓的一般方程和標準方程，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

七.其他形式的圓和圓弧的方程（共1小題）

22

9.（2020?上海）已知雙曲線六=1與圓r2：9+丁=4+/（6>0）交于點4（4，yA）（第一象限），

曲線「為口、「2上取滿足IX|>XA的部分.

（1）若無A="，求6的值；

（2）當6=百，「2與X軸交點記作點耳、瑞，P是曲線「上一點，且在第一象限，且I尸￡1=8,求/大尸鳥；

（3）過點。（0,7+2）斜率為-1的直線/與曲線「只有兩個交點，記為Af、N,用b表示次7-ON,并求

府?兩的取值范圍.

k祥解》（1）聯(lián)立曲線和與曲線口的方程，以及乙=病，解方程可得6；

（2）由雙曲線的定義和三角形的余弦定理，計算可得所求角；

2

（3）設(shè)直線/：>=-9b%+”4+2/7,求得O到直線/的距離，判斷直線/與圓的關(guān)系：相切，可設(shè)切點為

22

考慮雙曲線的漸近線方程，只有當力>2時，直線/才能與曲線r有兩個交點，解不等式可得6的范圍，由

向量投影的定義求得如?兩，進而得到所求范圍.

￡_瓦=1

【解答】解：⑴由點A為曲線口與曲線口的交點，聯(lián)立丁廬一，解得以=后，6=2；

x：+y：=4+b2

（2）由題意可得月，月為曲線口的兩個焦點，

由雙曲線的定義可得|「片|-|「乙|=2°,又|尸耳|=8,2。=4,

所以|即|=8-4=4,因為6=石，則c=V?Z?=3,

所以比瑪|=6,

在△「月心中，由余弦定理可得cos/F』F2=?

64+16-3611

2x8x4~]6'

由0vZFXPF2<冗，可得ZFrPF2=arccos—；

[4+,

卜21

(3)設(shè)直線/:y=-4x+竺4+2A,可得原點o到直線I的距離d=?——o——=,/-4----+---至----,

22E

所以直線/是圓的切線，設(shè)切點為

A

所以如，9，并設(shè)OM：y，7x與圓/+);2=4+/聯(lián)立，可得尤2+=爐=4+廿，

bbb"

可得x=6,y=2,即M(6,2),

注意直線/與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，

所以只有當%>2時，直線/才能與曲線「有兩個交點，

豈-4=1/

由462T,可得月=—7，

必2+%2=4A+〃11

7,4

所以有4<上=，解得。2>2+26或匕2<2—2石(舍去)，

4+b~

因為兩為兩在兩■上的投影可得，OM-ON=4+b2,

所以麗?西=4+〃>6+2百，

貝I]麗?西€(6+2括，+oo).

【點評】本題考查雙曲線與圓的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的聯(lián)立，以及向

量的數(shù)量積的幾何意義，考查方程思想和化簡運算能力，屬于中檔題.

八.直線與圓的位置關(guān)系(共1小題)

10.(2022?上海)設(shè)集合。={(無，y)\(x-k)2+(y-k2)2=4\k\,k&Z}

①存在直線/,使得集合。中不存在點在/上，而存在點在/兩側(cè)；

②存在直線/,使得集合O中存在無數(shù)點在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

(祥解》分發(fā)=0,k>0,k<0,求出動點的軌跡，即可判定.

【解答】解：當左=0時，集合。={(x,y)l(x-k)2+(y-k2)2=4lkl，左eZ}={(0,0)},

當左>0時,集合C={(x,y)l(x-k)2+(y-k2)2=4lkl，keZ),

表示圓心為(匕左2),半徑為「=2，仄的圓，

圓的圓心在直線>=/上，半徑r=/(幻=2〃單調(diào)遞增，

相鄰兩個圓的圓心距(i=J(k+l-k)2+[(k+l)2-k2]2=y/4k2+4k+2,相鄰兩個圓的半徑之和為

l=24k+2yfk+l,

因為d>/有解，故相鄰兩個圓之間的位置關(guān)系可能相離,

當左<0時，同左>0的情況，故存在直線/,使得集合。中不存在點在/上，而存在點在/兩側(cè)，故①正確,

若直線/斜率不存在，顯然不成立,

設(shè)直線/：>=如+〃,若考慮直線/與圓（l-左）2+（>_左2）2=4|%］的焦點個數(shù),

yjm*12+1

給定m,n,當上足夠大時，均有d>r,

故直線/只與有限個圓相交，②錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了動點的軌跡、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

1年模擬?精選?？碱}

一.選擇題（共9小題）

1.（2024春?長寧區(qū)期末）圓丁+丁-8%+6>+16=0與圓蘆+丁=64的位置關(guān)系是（）

A.相交B.內(nèi)切C.相離D.外切

K祥解》把第一個圓的方程化為標準方程，找出圓心A的坐標和半徑廠，再由第二個圓的方程找出圓心3

的坐標和半徑尺，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離〃，發(fā)現(xiàn)d=R-r，從而判斷出兩圓位置

關(guān)系是內(nèi)切

【解答】解：把圓Y+；/-8x+6y+16=0化為標準方程得：（x-4）2+（y+3）2=9,

圓心A的坐標為（4,-3）,半徑r=3,

由圓/+丁=64,得到圓心3坐標為（0,0）,半徑尺=8,

兩圓心間的距禺d=|AB|=5,

?.-8-3=5,^d=R-r,

則兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.

故選：B.

【點評】此題考查了圓的標準方程，兩點間的基本公式，以及圓與圓位置關(guān)系的判斷，圓與圓位置關(guān)系的

判斷方法為：當0”d<R-r時，兩圓內(nèi)含；當4=尺一r時，兩圓內(nèi)切；當R—r<d<R+r時，兩圓相交；

當〃=尺+廠時，兩圓外切；當時，兩圓相離（d表示兩圓心間的距離，R及r分別表示兩圓的半

徑）.

2.（2024?浦東新區(qū)二模）“a=-1”是“直線依+2y+2=0與直線x+（。一l）y+l=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K祥解X由充分條件與必要條件的概念集合兩直線平行的判斷即可求解.

【解答］解：若。=一1,貝!I兩條直線分另!］為x-2y-2=0,x-2y+l=0,

顯然兩條直線相互平行，充分性成立；

若直線or+2y+2=0與直線x+（a-l）y+1=0平行，

貝!|a（a-l）-2=0,且a-2x0,

所以。=-1,必要性成立.

故選：C.

【點評】本題考查直線平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024春?虹口區(qū)期末）已知兩條直線4:2元+y-1=0和4：2x+y-3=0,以下說法正確的是（）

A.7,//Z2B.4與4重合

C./,±Z2D.4與4的夾角為60。

K祥解》根據(jù)題意，將兩條直線都化成斜截式，然后比較它們的斜率與截距，可得正確結(jié)論.

【解答】解：直線4:2x+y-l=0,即y=-2x+l；直線/2：2x+y-3=0,即y=-2x+3.

因為直線4與直線4的斜率相等，且它們在y軸上的截距不相等，

所以/"〃2，A項的結(jié)論正確.

故選：A.

【點評】本題主要考查直線的方程、兩條直線平行與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知awR,直線li:x+ay-2=0,/2:（a+1）%-ay+1=0,貝a=-2"是"</4”

的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

K祥解》根據(jù)兩條直線平行與方程的關(guān)系，對兩個條件進行正反推理論證，結(jié)合充要條件的定義判斷出正

確結(jié)論.

【解答】解：當a=—2時，直線4:尤-2y-2=0,直線（：-x+2y+l=0,

兩條直線的斜率都等于g,且在y軸上的截距不相等，所以卜氏；

當/1/〃2時，可得lx（-a）=a（a+l）,且1x1片-2（a+l）,解得a=—2或0.

綜上所述，“。=-2”是“《/4”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題主要考查了兩條直線平行與方程的關(guān)系、充要條件的定義與判斷等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024春?嘉定區(qū)期末）直線4：x-l=0與直線也>+2=0的夾角為（）

（祥解』先根據(jù)直線的斜率求出直線的傾斜角，再利用兩條直線的傾斜角的大小求出這兩條直線的夾角.

【解答】解：因為直線4的斜率不存在，故傾斜角為90。，

直線的斜率為心，傾斜角為30。，

3

故兩直線的夾角為二.

3

故選：B.

【點評】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，由兩條直線的傾斜角求出兩條直線的夾角，是基礎(chǔ)題.

6.（2024?普陀區(qū)校級三模）已知圓C:f+（y—7〃）2=1,直線/：O+l）x+2y+l+M=0,則直線/與圓C有

公共點的必要不充分條件是（）

A.一啜帆1B.-啜弧-C.一啜加0D.噴瓦-

22

K祥解》先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，借助點到直線的距離公式，求出，〃的取值范圍，即直線與圓有公共

點的充要條件，再確定那個是必要不充分條件.

【解答】解：由題意可知圓C的圓心坐標為（0,〃z）,半徑為1.

因為直線/與圓C有公共點，所以直線/與圓C相切或相交，

所以圓心C（0,m）到直線I的距離d=I3，"+"1,解得一啜b1.

J（相+1）2+42

其必要不充分條件是把機的取值范圍擴大，

所以選項中只有-掇弧1是-啜弧工的必要不充分條件.

2

故選：A.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題.

7.（2024?普陀區(qū)模擬）直線/經(jīng)過定點尸（2,1）,且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A,3兩點，O為

坐標原點，動圓”在公。鉆的外部，且與直線/及兩坐標軸的正半軸均相切，則AOIB周長的最小值是（

）

A.3B.5C.10D.12

K祥解X先設(shè)動圓M的圓心Af坐標為（〃?,%）,|OA|=a,|。3|=8,結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得

\OA\+\OB\+\AB\^2m,當圓加與直線AB相切于點尸（2,1）處時，圓半徑最小，結(jié)合兩點間距離公式即

可求解.

【解答】解：設(shè)動圓Af的圓心M坐標為（私聞，

即圓Af半徑？?=，〃，由題意7〃>0,

設(shè)|OA|=a,|O8|=6,圓M與直線AB相切于點N,貝U|4V|=m-a,|8N|=機一6,

所以|OA|+|O3|+|AB|=|Ql|+|O3|+|4V|+|3N|=a+6+m-a+〃7-6=2〃2,即ACMB的周長為2〃z,

所以AQAB的周長最小即為圓M半徑機最小，因為直線AB過定點P（2,l）,

所以當圓M與直線AB相切于點尸（2,1）處時，圓M半徑最小，

此時r=d（m-2￥+（zn-l）2=m,化簡得加？一6m+5=0,

則m=1或5,

當m=1時，圓心在Aas內(nèi)，不合題意；

當根=5時，即圓M半徑的最小值為5,AOIB周長的最小值為2m=10.

故選：C.

【點評】本題主要考查了直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用，直線方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（2024?黃浦區(qū)校級三模）直線（標+1加一2毆+1=0的傾斜角的取值范圍是（）

A.［。，事B?+口中爭D.［0,乳牛］）

（祥解】根據(jù)直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解答】解：①當。=0時，斜率不存在，即傾斜角為三;

②當3°時’直線的斜率^嚓

即直線的傾斜角的取值范圍為［?,.

4+1a+~

③當a<0時，直線的斜率％=_a__V----------^-=--2=-1,

2a222

即直線的傾斜角的取值范圍為（工，弘］.

24

綜上，直線的傾斜角的取值范圍為隹,當］,

44

故選：C.

【點評】本題主要考查直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系，利用基本不等式求出斜率的取值服務(wù)是解決本題的

關(guān)鍵.

9.（2024春?黃浦區(qū)校級期末）若直線，=依-1與曲線y=J-/+直-3恰有兩個公共點,則實數(shù)左的取值

范圍是（）

A.g,+8)B.[1,^)C.[1,^]D.(og)

K祥解》根據(jù)題意得：y=履-1為恒過定點(0,-1)的直線，曲線表示圓心為(2,0),半徑為1的上半圓，由

此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出k的取值范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：丫=依-1為恒過定點A(0,T)的直線，

由曲線y=\/-x2+4x-3，可得(％-2)2+)/=l(y..O),

4

解得：左=0(舍去)或左=—,

3

把3(1,0)代入,二點一1,得k=l,

.?求的取值范圍是口，1).

故選：B.

【點評】本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線、圓、點到直線距離公式、直線與圓相切等基

礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬

中檔題.

二.填空題(共34小題)

10.(2024?嘉定區(qū)校級模擬)已知直線/與兩直線4：2x-y+3=O和4：2x-y-l=0平行且距離相等，貝U/的

方程為_2x-y+l=0_.

K祥解力設(shè)直線/：2%-y+根=0,-l<m<3,利用兩平行線間的距離公式，求得加的值.

【解答】解：根據(jù)直線/與兩直線4：2x-y+3=0和y-1=0平行且距離相等，可設(shè)直線

l:2x-y+m=0,-1<m<3,

|m-31|m+11

:.m=l9

故答案為：2x-y+l=0.

【點評】本題主要考查兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，要注意先把兩直線的方程中x,y的系數(shù)化為相同的，

然后才能用兩平行線間的距離公式.

11.（2024?青浦區(qū)二模）已知直線4的傾斜角比直線4：y=xtan80。的傾斜角小20。，則4的斜率為—拒

（祥解》由直線1的方程，可得它的傾斜角，由題意可得直線乙的傾斜角的大小，進而求出直線4的斜率.

【解答】解：直線/2：了=》曲80。的傾斜角為80。，

由題意可得直線4的傾斜角為80。-20。=60。，

所以直線<的斜率為tan60。=6.

故答案為：A/3.

【點評】本題考查直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2024?黃浦區(qū)校級三模）直線ar+（a-l）y+l=0與直線4x+沖-2=0互相平行，則實數(shù)U=2

（祥解》根據(jù)兩直線平行的條件列出方程求得。的值.

【解答】解：直線方+（a-l）y+l=0與直線4x+ay-2=0互相平行，

貝！Ia2-4（a-l）=0,

解得a=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了直線方程平行條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

13.（2024春?楊浦區(qū)期末）平行直線3x+4y-5=0及3x+4y+5=0之間的距離是

（祥解》根據(jù)兩平行直線間的距離公式d=尸一,求解即可.

VA2+B2

【解答】解：平行直線3x+4y—5=0及3尤+4y+5=0之間的距離是d=乒烏=2.

V32+42

故答案為：2.

【點評】本題考查了兩平行線間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題.

14.（2024春?楊浦區(qū)期末）已知圓C的方程為/+/-2尤+4y=0,則圓心C的坐標為_（1,-2）_.

（祥解力把圓的方程化為標準方程，即可求解圓心的坐標.

【解答】解：因為圓C的方程為V+_/-2x+4y=0可化為（x-l）2+（y+2）2=5,

則圓心C的坐標為（1,-2）.

故答案為：（1,-2）.

【點評】本題主要考查了圓心坐標的求解，屬于基礎(chǔ)題.

22

15.（2024?閔行區(qū)校級三模）羅默、伯努利家族、萊布尼茲等大數(shù)學(xué)家都先后研究過星形線C:/+y3=i的

性質(zhì)，其形美觀，常用于超輕材料的設(shè)計.曲線C上的動點到原點的距離的取值范圍是

211

K祥解X先設(shè)曲線C上的動點為(x,y),則/=V+y2,再令公/，4/2=3(f--)2+-,計算可得d的范

'24

圍.

【解答】解：由題意知x,ye[-l,1]

設(shè)曲線C上的動點為(尤,y),到原點的距離為

242

貝I][2=Y+/=無2+(]一無3)3=-3x3+1,

111

令，=兀3,則1￡[0,1],則/=3/-3/+1=3?——)2+-,

24

可得/所以dw[Ll].

42

故答案為：[±1].

2

【點評】本題主要考查兩點之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2024?嘉定區(qū)校級模擬)若2=(2,-4)是直線/的一個方向向量，則直線/的傾斜角大小為

萬一arctan2_.

(祥解』先求出直線/的斜率上=心=-2,由此能求出直線/的傾斜角大小.

2

【解答】解：:2=(2,-4)是直線/的一個方向向量，

_4

直線/的斜率k=—=—2，

2

直線/的傾斜角大小為萬-arctan2.

故答案為：萬-arctan2.

【點評】本題考查直線的傾斜角的求法，考查直線的方向向量、斜率、傾斜角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

17.(2024?黃浦區(qū)校級三模)已知直線/的傾斜角為夕，且直線/與直線機:工-也丁+廣。垂直，貝Ua=

三一.

K祥解》根據(jù)題意，求得直線加的斜率，結(jié)合直線/、加互相垂直算出/的斜率，進而求出傾斜角。的大

小.

【解答】解：直線加：X—6y+l=。即y=^x+等，斜率左=弓，

因為直線/、機互相垂直，所以直線/的斜率勺=二1=一百，

直線/的傾斜角為口，則tana=—6\結(jié)合aw[O,?），可知a=」.

3

故答案為：—.

3

【點評】本題主要考查直線的方程及其性質(zhì)、兩條直線垂直與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知直線2x-y+l=0與直線元+沖+2=0垂直，則m=2.

K祥解X根據(jù)兩直線垂直，分類討論，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.

【解答】解：當機=0時，x+my+2=0=>x=-2,

由2%-y+l=0知y=2%+l,斜率為2,

所以直線2%-y+l=0與X=-2不垂直，不符合題意；

/12

當相w0時，x+Any+2=0=>y=x,

mm

因為直線2x-y+1=0與直線x+my+2=0垂直，

所以一[x2=-l,解得相=2.

m

故答案為：2.

【點評】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2024春?虹口區(qū)期末）設(shè)實數(shù)。和6均是集合｛1,2,3,5｝中的兩個不同的元素，則方程6+外=0所

表示的不同直線的條數(shù)為12.

（祥解1由于集合｛1,2,3,5｝中的元素不能選出成比例的兩對，所以任取實數(shù)。、6,得到的直線改+加=0

都不與其它直線重合，由此利用計數(shù)原理算出答案.

【解答】解：從集合｛1,2,3,5｝中取出兩個數(shù)作為a、b,得到方程依+勿=0,共有4x3=12種方法,

因為這12個方程對應(yīng)的直線中任意兩條直線都不重合，所以方程方+加=0所表示的不同直線有12條.

故答案為：12.

【點評】本題主要考查直線的方程、計數(shù)原理的應(yīng)用等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)

題.

20.（2024春?長寧區(qū)期末）直線6x-y+l=0與直線y=0的夾角大小為-.

―3-

K祥解』由直線斜率與傾斜角的關(guān)系，再結(jié)合直線夾角的概念即可求解.

【解答】解：因為直線后-y+i=o的斜率為4=百，則其傾斜角為工，

3

所以直線百x-y+1=0與直線y=0的夾角大小為二.

3

故答案為：

3

【點評】本題主要考查兩直線的夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2024春?徐匯區(qū)校級期末）設(shè)點P是曲線f=4y上一點，則點尸到直線/:3x+4y+6=0最小的距離

為--

一4一

K祥解》設(shè)尸匚），利用點到直線距離公式表示出點P到直線/距離，根據(jù)函數(shù)最值即可求解.

4

【解答】解：點尸是曲線f=4y上一點，

則可設(shè)尸。,￡）,

4

15

2|（"）2+|

則點P到直線I的距離為d=⑶+'+61=2,

55

當時2，dmiinn=~4.

故答案為：

4

【點評】本題主要考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

22.（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知直線3x+2y—3=0與直線6x+根y+7=0互相平行，則它們之間的距

離杲

—2-

K祥解》根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式計算得解.

【解答】解：由直線3尤+2,一3=。與直線6%+〃ty+7=0互相平行，得〃z=4,

7

7I不+31JT3

貝I］直線3x+2y-3=0與直線3x+2y+'=0的距離為：d=,2=—.

22

故答案為：姮.

2

【點評】本題主要考查平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

23.（2024春?寶山區(qū)期末）經(jīng)過點A（3,l）,且與直線2x+y-5=0平行的直線的方程為_2x+y-7=0_.

（祥解》由題可設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0,將點A的坐標代入，求出c的值，即可得解.

【解答】解：設(shè)與直線2x+y—5=0平行的直線方程為2x+y+c=0,

將點A（3,l）代入，可得2x3+l+c=0,解得c=-7,

所以經(jīng)過點A（3,l）,且與直線2x+y-5=0平行的直線的方程為2x+y-7=0.

故答案為：2x+y-7=0.

【點評】本題主要考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2024春?浦東新區(qū)校級期末）與圓丁+9一6尤-8y+21=0外切且圓心在原點的圓的標準方程為

x2+y2=9_.

(祥解》先求得已知圓的圓心和半徑，再根據(jù)外切的性質(zhì)可得所求圓的半徑，進而得解.

【解答】解：將圓/+9-6龍-8y+21=0化為標準方程為(x-3)2+(y-4)2=4,

則其圓心坐標為(3,4),半徑為2,

設(shè)所求圓的半徑為r，

則J(3_0y+(4_0)2=廠+2,解得，=3,

可得所求圓的標準方程為/+尸=9.

故答案為：x2+y2=9.

【點評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系以及圓的方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

25.(2024?青浦區(qū)校級模擬)己知圓C:無2+/+依_2毆-5=0恒過定點A,B,則直線鉆的方程為

x-2y=0_.

K祥解』根據(jù)題意將圓C方程整理，可得f+y2-5+a(x-2y)=0,利用圓系方程得出：圓C經(jīng)過圓

M：/+>2=5與直線/：了一2y的交點，進而可得直線AB的方程.

【解答】解：圓C:無2+9+ax-2ay-5=0,可化為JC+y~—5+a(x-2j)=0,

由此可得：圓C是經(jīng)過圓〃：尤2+；/=5與直線/：尤-2>的交點的一個圓，

因此，直線AB就是直線/:x-2y=0,即直線43的方程為x-2y=0.

故答案為：x-2y=0.

【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.

26.(2024?浦東新區(qū)二模)已知圓。|：/+>2-2巾+/-1=0(。>0),圓q:犬+/_4y_5=0,若兩圓相

交,則實數(shù)。的取值范圍為_(0,2百)

K祥解工由已知結(jié)合兩圓位置關(guān)系的條件建立關(guān)于。的不等式，即可分別求解.

【解答】解:因為圓G:無2+;/-2依+/-l=0(a>0)可化為(x-a)2+9=1,圓心G(a,0),半徑為L

圓。2：/+/一分-5=0可化為f+(y-2)2=9,圓心G(0,2),半徑為3,|CGI=J/+4,

若兩圓相交，貝i]3-l<|CCI<l+3,即0<“<26.

故答案為：(0,26).

【點評】本題主要考查了兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

27.(2024春?徐匯區(qū)校級期末)已知兩點尸(〃工,2),。(2,4)所在直線的斜率為1,則m=0.

(祥解1根據(jù)兩點的斜率公式計算可得.

【解答】解：因為兩點P(〃z,2),。(2,4)所在直線的斜率為1,

所以k=———=1,解得777=0.

pPQ2-m

故答案為：0.

【點評】本題考查了直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.

28.(2024春?浦東新區(qū)校級期末)直線x=l與直線x-若y+l=0的夾角大小為

K祥解》分別求出直線x=l和直線x-gy+l=0的傾斜角，由此可得它們的夾角大小.

【解答】解：直線x=l的傾斜角為工，直線x-括y+l=0的斜率為心，則其傾斜角為￡,

236

所以直線x=l與直線x-Qy+l=0的夾角大小為生-工=工.

263

故答案為：

3

【點評】本題考查兩直線的夾角求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

29.(2024春?寶山區(qū)期末)若無論實數(shù)機取何值，直線/:x+(〃z+l)y+l=O都經(jīng)過一個定點，則該定點坐

標為_(T,0)_?

K祥解》根據(jù)題意，取兩個不同的機值得到兩條直線，然后解方程組得到兩條直線的交點坐標，再加以驗

證即可得出答案.

【解答】解：當相=-1時，直線/為x+l=O；當m=O時，直線/為x+y+l=0.

由‘「°’解得「I,即兩條直線的交點為(-1,0),

[x+y+l=0[y=。

將(-1,0)代入/方程的左邊,M-l+(m+l)x0+l=0,恒成立，

因此，直線/:x+(〃z+l)y+l=0經(jīng)過的定點坐標為(-1,0).

故答案為：(-1,0).

【點評】本題主要考查直線的方程、含有參數(shù)的直線方程的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

30.(2024春?靜安區(qū)期末)圓爐+/=25在點/(_3,4)處的切線方程為_3x-4y+25=0_.

(祥解》設(shè)所求切線為人根據(jù)〃點在圓尤2+9=25上，得到OMLI,由此利用垂直的關(guān)系算出1的斜率，

進而求出切線/的方程.

【解答】解：設(shè)所求切線為7,由河(-3,4)在圓Y+y=25上，可知O暇，/,

因為的斜率左—^=一：，所以切線/的斜率左，

可得切線/的方程為y-4=a(x+3),即3元一4y+25=0.

故答案為：3x-4y+25=0.

【點評】本題主要考查直線的方程、圓的方程、圓的切線的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

31.(2024?長寧區(qū)二模)直線2x-y-3=0與直線x-3y-5=0的夾角大小為

(祥解R根據(jù)題意，先求出兩條直線的斜率，然后利用兩角差的正切公式算出夾角的正切值，進而可得答

案.

【解答】解：設(shè)直線2x-y-3=0的傾斜角為a,直線x-3y-5=0的傾斜角為尸，

貝hanc=2,tan￡=g,滿足ae[O,萬)，尸e[0,萬)，

2--

因為tan(a-￡)=——三=1,所以夕-￡=工，即兩條直線的夾角大小為二.

1+2x144

3

故答案為：--

4

【點評】本題主要考查直線的斜率與傾斜角、兩角差的正切公式等知識，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

32.(2024?嘉定區(qū)校級模擬)人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術(shù).在

人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.設(shè)

4(占，%)，B(X2,%),則曼哈頓距離”(4,3)=|占-%|+|%-為1，余弦距離e(A,B)=l-cos(A,B),

其中cos(A,B)=cos〈函,05)(0為坐標原點).已知點M(2,l),d(M,N)=1,則e(M,N)的最大值為

,275

1-----.

5-

K祥解』根據(jù)題意作出示意圖形，可得點N在正方形ABCD的邊上運動，結(jié)合題意分析＜的，麗＞的

最大值，即可求出本題的答案.

【解答】解:設(shè)N(x,y),由題意得：d(M,N)=]2-x\+\l-y\=l,即|x-2|+|y-1|=1,

而|x—2|+|y—1|=1表示的圖形是正方形ABCD,其中4(2,0)、8(3,1)、C(2,2)、0(1,1).

即點N在正方形ABCD的邊上運動，的'=(2,1),ON=(x,y),

可知：當cos(M,N)=cos＜兩'，麗〉取到最小值時，＜而，西〉最大，相應(yīng)的e(M,N)有最大值.

因此，點N有如下兩種可能：

…__.___.__.42x/5

①點N為點A,則ON=(2,0),可得8$(機刈=＜；05＜。M，0N＞=——尸=、一;

②點N在線段CD上運動時，此時麗與比=(1,1)同向，取兩=(1,1),則cos(M,N)=cos＜a,

33a

ON>=

A/5X7210

因為警〉華，所以e(M,N)的最大值為1-當.

c

OAX

故答案為：i-羊.

【點評】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用、平面向量的夾角與數(shù)量積等知識，考查了計算能力、圖形的

理解能力，屬于中檔題.

33.（2024?閔行區(qū)校級三模）用4（尸］）表示點P與曲線「上任意一點距離的最小值.已知圓a：f+y2=i

及圓C>2：（x-4）2+y2=4,設(shè)點A為圓。?上的動點，則園A.O?）的最大值為3.

（祥解》由圓心距與半徑的關(guān)系可得兩圓相離，再由題意與圓的相關(guān)知識即可求得.

【解答】解：由圓q：f+y2=i,得圓心q（o,o）,半徑釬1,

由圓:（無一書？+;/=4,得圓心。2（4,0）,半徑4=2,

因為|O|QI=4>：i+G，所以兩圓外離，

因為點A為圓。?上的動點，所以d（A,Q）=|Aai-2,

所以d（AC）的最大值為IGUI+1-2=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，涉及圓上的點與圓心的距離的最值問題，屬于中檔題.

34.（2024?浦東新區(qū)校級四模）直線x-y+%=0（m>0）與圓尤2+y2-2x-2y-l=0相交所得的弦長為機,

則實數(shù)九=2.

K祥解》將圓方程化成標準方程，求出圓心為C（l,l）,半徑r=6,然后根據(jù)直線被圓截得的弦長為加，

由弦長公式建立關(guān)于機的方程，解之可得實數(shù)機的值.

【解答】解：圓C:尤2+丁-2x-2y-l=0,化成標準方程得（x-l/+（y-iy=3,

可知圓心為C（l,l）,半徑r=石，

圓心C到直線x-y+m=O（m>0）的距離d=-—m,

2

因為直線與圓相交所得弦長為機,

所以2,產(chǎn)一屋二加,即2/3-4-二加，解得根=2（舍負）.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式及其應(yīng)用，屬于中

檔題.

35.(2024春?寶山區(qū)期末)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般

好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾

何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形

結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一.比如：-