2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項(xiàng)練8　中低檔大題規(guī)范練（B）

題型專項(xiàng)練8中低檔大題規(guī)范練(B)(分值:43分)學(xué)生用書(shū)P2291.(13分)已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,sinx23cosx),x∈R.設(shè)f(x)=m·n.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=6,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,求AD的長(zhǎng).解(1)f(x)=m·n=cos2xsinx(sinx23cosx)=cos2xsin2x+23sinxcosx=3sin2x+cos2x=232sin2x+12cos2x=2sin2x+π6,令2kππ2<2x+π6<2kπ+π2,k∈Z,則kππ3<x<kπ+π6,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kππ3,kπ+π6,(2)由(1)得,f(x)=2sin2x+π6,故f(∠BAC)=2sin2∠BAC+π6=1,得sin2∠BAC+π6=12.因?yàn)?<∠BAC<π,所以π6<2∠BAC+π6<13π6,所以2∠BAC+π6=5π6,所以∠BAC=π3,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC,即6=4+AC22AC,解得AC=3+1,因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,即12AB·AD·sinπ6+12AC·AD·sinπ2.(15分)(2024四川廣安模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx2ax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=1x2a=1當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)=1-2axx>0,所以f(x)在(0,當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=1-2axx=0,解得x=12a,當(dāng)x∈0,12a時(shí),當(dāng)x∈12a,+∞時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在0,12a內(nèi)單調(diào)遞增,在12a,+∞上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在0,12a內(nèi)單調(diào)遞增,在12a,+∞上單調(diào)遞減.(2)若f(x)≤0恒成立,則lnx2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a≥lnxx恒成立.令g(x)=lnxx,只需2a≥g(x)max.又g'(x)=1-lnxx2,令g'當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(e)=1e,所以2a≥1e,解得a≥12e,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是12e,3.(15分)(2024河北石家莊模擬)如圖,在五棱錐SABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.(1)證明:SE⊥平面AED;(2)若四邊形ABCD為矩形,且SE=AB=1,AD=3,BN=2NC.當(dāng)直線DN與平面SAD所成的角最小時(shí),求三棱錐DSAE的體積.(1)證明∵平面SAE⊥平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,DE?平面AED,DE⊥EA,∴DE⊥平面SAE.又SE?平面SAE,∴DE⊥SE,又∵SE⊥AD,ED∩AD=D,AD,DE?平面AED,∴SE⊥平面AED.(2)解以E為原點(diǎn),EA,ED,ES所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)∠EAD=θ,θ∈0,π2,則A(3cosθ,0,0),D(0,3sinθ,0),S(0,0,1),DA=(3cosθ,3sinθ,0),SA=(3cosθ,0,1),SD=(0,3sinθ,1),設(shè)平面SAD的法向量為n=(x,y,z),則n取z=3sinθcosθ,得n=(sinθ,cosθ,3sinθcosθ).∵∠ADC=π2,∠EDA+θ=π∴CD與y軸夾角也為θ,則DC=(sinθ,cosθ,0),又CN=13CB=13DA=∴DN=DC+CN=(sinθ+cosθ,cosθsin∴cos<DN,n>=DN·n|DN|