新高考數(shù)學二輪復習考點講義第六講基本初等函數(shù)（原卷版）

第六講：基本初等函數(shù)【考點梳理】1．冪函數(shù)的概念一般地，形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)SKIPIF1<0為自變量，SKIPIF1<0為常數(shù).2．幾個常見冪函數(shù)的圖象與性質函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象定義域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調性在SKIPIF1<0上單調遞增在SKIPIF1<0上單調遞減；在SKIPIF1<0上單調遞增在SKIPIF1<0上單調遞增在SKIPIF1<0上單調遞增在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調遞減過定點過定點SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<03．常用結論(1)冪函數(shù)在SKIPIF1<0上都有定義.(2)冪函數(shù)的圖象均過定點SKIPIF1<0.(3)當SKIPIF1<0時，冪函數(shù)的圖象均過定點SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上單調遞增.(4)當SKIPIF1<0時，冪函數(shù)的圖象均過定點SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上單調遞減.(5)冪函數(shù)在第四象限無圖象.4.根式的概念及性質（1）概念：式子SKIPIF1<0叫做根式，其中SKIPIF1<0叫做根指數(shù)，SKIPIF1<0叫做被開方數(shù)．（2）性質：①SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)；②當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<05.分數(shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)；②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．6.指數(shù)冪的運算性質①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.7.指數(shù)函數(shù)及其性質（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)SKIPIF1<0是自變量，函數(shù)的定義域是SKIPIF1<0．（2）指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象和性質底數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象性質定義域為SKIPIF1<0，值域為SKIPIF1<0圖象過定點SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上為增函數(shù)在定義域SKIPIF1<0上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)的圖象和性質與SKIPIF1<0的取值有關，應分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0來研究8.對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0，那么數(shù)SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的對數(shù)，記作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)SKIPIF1<0；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)SKIPIF1<0.（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：SKIPIF1<0.9.對數(shù)的性質、運算性質與換底公式（1）對數(shù)的性質根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)SKIPIF1<0具有以下性質：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即SKIPIF1<0；②1的對數(shù)等于0，即SKIPIF1<0；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即SKIPIF1<0；④對數(shù)恒等式SKIPIF1<0.（2）對數(shù)的運算性質如果SKIPIF1<0，那么：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：SKIPIF1<0.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以SKIPIF1<0為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均大于0且不等于1，SKIPIF1<0).10.對數(shù)函數(shù)及其性質（1）對數(shù)函數(shù)的定義形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中SKIPIF1<0是自變量，函數(shù)的定義域是SKIPIF1<0．（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象性質定義域：SKIPIF1<0值域：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調增函數(shù)在SKIPIF1<0上是單調減函數(shù)【典型題型講解】考點一：冪函數(shù)的定義及其圖像【典例例題】例1．冪函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0或2 C．0 D．2例2．已知冪函數(shù)SKIPIF1<0（p，q∈Z且p，q互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且SKIPIF1<0B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且SKIPIF1<0C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且SKIPIF1<0D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且SKIPIF1<0【方法技巧與總結】1.5種特殊冪函數(shù)的圖像及其性質；2.冪函數(shù)的單調性及奇偶性的性質判斷方法.【變式訓練】1．（2022·廣東深圳·高三期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于原點對稱，且在定義域內單調遞增，則滿足上述條件的冪函數(shù)可以為SKIPIF1<0______．2.已知冪函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱，且在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則SKIPIF1<0的值為______.3.如圖是冪函數(shù)SKIPIF1<0（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限內的圖象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知它們具有性質：①都經過點（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函數(shù)．請你根據(jù)圖象寫出它們在（1，+∞）上的另外一個共同性質：___________．4.已知函數(shù)SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個不同的實根，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0考點二：指數(shù)與指數(shù)冪的運算【典例例題】例1．化簡：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0(a>0，b>0).（3）SKIPIF1<0.【方法技巧與總結】利用指數(shù)的運算性質解題.對于形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的形式常用“化同底”轉化，再利用指數(shù)函數(shù)單調性解決；【變式訓練】1．SKIPIF1<0=（）A．2 B．1 C．3 D．02.甲?乙兩人解關于x的方程SKIPIF1<0，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為SKIPIF1<0或x=SKIPIF1<0，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則原方程的根是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0考點三：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質【典例例題】例1.函數(shù)SKIPIF1<0恰有一個零點，則m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2.已知SKIPIF1<0為定義在R上的奇函數(shù)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結】指數(shù)函數(shù)的解析式具有單一性；指數(shù)函數(shù)的單調性和圖像與底數(shù)有關系.【變式訓練】1.函數(shù)SKIPIF1<0，下列關于函數(shù)SKIPIF1<0的說法錯誤的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱B．函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0C．不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是增函數(shù)2.函數(shù)SKIPIF1<0圖象過定點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0最小值為___________.3.已知定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③在SKIPIF1<0上的解析式為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在區(qū)間SKIPIF1<0上的交點個數(shù)為(

)A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·北京·二模）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為___________.8．設函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為_______．考點四：對數(shù)概念與對數(shù)運算【典例例題】例1.（1）計算SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，求實數(shù)x的值；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用a，b，表示SKIPIF1<0．【方法技巧與總結】對數(shù)的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或對數(shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調性去掉對數(shù)符號，轉化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.【變式訓練】1.（1）求SKIPIF1<0的值.（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<02．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農公式：SKIPIF1<0，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內信號的平均功率S?信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比SKIPIF1<0從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：SKIPIF1<0）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·廣東韶關·一模）某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留的該種放射性物質的質量約是原來的SKIPIF1<0，估計經過多少年，該物質剩留的是原來的SKIPIF1<0？（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．16 B．17 C．18 D．194．（2022·廣東·金山中學高三期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為SKIPIF1<0%，且SKIPIF1<0隨時間SKIPIF1<0（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)SKIPIF1<0描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)SKIPIF1<0）A．11分鐘 B．14分鐘C．15分鐘 D．20分鐘考點五：對數(shù)函數(shù)的圖像及性質【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的圖象可能是（

）A． B．C． D．例2．（2022·廣東珠?！じ呷谀┰OSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a，b，c大小關系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結】對數(shù)的函數(shù)的圖像畫法，定點問題；對數(shù)函數(shù)的圖像及性質應用.【變式訓練】1．（2022·廣東茂名·一模）已知SKIPIF1<0均為大于0的實數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0大小關系正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·廣東茂名·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0均不相等，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________3．（2022·廣東湛江·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示m，n中的最小值，設函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.4.己知實數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05.（多選題）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如下所示．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上有兩個不同的點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函數(shù)C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調遞增函數(shù) D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<06.（2022·廣東·三模）已知SKIPIF1<0，e是自然對數(shù)的底，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習】1．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0是單調遞增 B．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0是單調遞增C．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0是單調遞減 D．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0是單調遞減2．1947年，生物學家MaxKleiber發(fā)表了一篇題為《bodysizeandmetabolicrate》的論文，在論文中提出了一個克萊伯定律：對于哺乳動物，其基礎代謝率與體重的SKIPIF1<0次冪成正比，即SKIPIF1<0，其中F為基礎代謝率，M為體重．若某哺乳動物經過一段時間生長，其體重為原來的10倍，則基礎代謝率為原來的（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）（

）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍3．已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．26 B．16 C．－16 D．－264．若函數(shù)SKIPIF1<0的零點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．25．已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足：對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．關于函數(shù)SKIPIF1<0和實數(shù)SKIPIF1<0的下列結論中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<07．區(qū)塊鏈作為一種新型的技術，被應用于許多領域.在區(qū)塊鏈技術中，某個密碼的長度設定為512B，則密碼一共有SKIPIF1<0種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進行SKIPIF1<0次運算.現(xiàn)在有一臺計算機，每秒能進行SKIPIF1<0次運算，那么在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間大約為（參考數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．39．已知正實數(shù)x，y，z滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<