《壓軸題》初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)北師版第七章平行線的證明（十大題型）含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages157157頁第七章平行線的證明內(nèi)容導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)…………………2類型一、真假命題的判定…………………4類型二、邏輯與推理……………………9類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用………………14類型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線性質(zhì)與判定……39類型五、動(dòng)態(tài)背景下平行線性質(zhì)與判定…………………58類型六、平行線性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用…………………76HYPERLINK類型七、折疊背景下的平行線問題………87HYPERLINK類型八、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題……………94類型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問題………………115類型十、與角平分線有關(guān)的平行線問題…………………136知識(shí)點(diǎn)1．推理證明的必要性通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的數(shù)學(xué)結(jié)論不一定都是正確的，要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是不夠的，還必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明知識(shí)點(diǎn)2．檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法常用方法：（1）試驗(yàn)驗(yàn)證(2)舉出反例(3)推理論證知識(shí)點(diǎn)3．定義的概念定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的句子叫做定義.知識(shí)點(diǎn)4．命題的概念命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.（1）每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2）正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.（3）公認(rèn)的真命題叫做公理.(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.知識(shí)點(diǎn)5．命題的結(jié)構(gòu)命題的結(jié)構(gòu)：一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由己知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)6．真命題、假命題、反例1.命題分為真命題和假命題，正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題。2.反例要說明一個(gè)命題是假命題，常?？梢耘e出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例.知識(shí)點(diǎn)7．公理、證明、定理名稱概念作用公理公認(rèn)的真命題作為判斷其他命題真假的依據(jù)定理經(jīng)過證明的真命題證明演繹推理的過程判斷命題真假知識(shí)點(diǎn)7．平行線的判定基本事實(shí)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行知識(shí)點(diǎn)8．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).定理：平行于同一條直線的兩條直線相等知識(shí)點(diǎn)8．證明的一般步驟（1）根據(jù)題意，畫出圖形。（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證。（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。知識(shí)點(diǎn)1.三角形內(nèi)角和定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)9．三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．知識(shí)點(diǎn)10．三角形的內(nèi)角和定理的推論推論：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．類型一、真假命題的判定1．定義：平面直角坐標(biāo)系中不重合兩點(diǎn)，，把稱為，的“垂直距”，記為，把稱為，的“水平距”，記為，例如，，，此時(shí)，．現(xiàn)有兩個(gè)命題：①；②對(duì)于三角形，若，，則不可能是銳角；以上命題中（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題2．在多項(xiàng)式中，任選兩個(gè)字母，在兩側(cè)加括號(hào)，稱為第一輪“加括號(hào)操作”．例如，選擇，進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到．在第一輪“加括號(hào)操作”后的式子中進(jìn)行同樣的操作，稱為第二輪“加括號(hào)操作”，按此方法，進(jìn)行第輪“加括號(hào)操作”．以下說法：存在某種第一輪“加括號(hào)操作”的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；總存在第輪“加括號(hào)操作”，使得結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為；對(duì)原多項(xiàng)式進(jìn)行第一輪“加括號(hào)操作”后，共有種不同結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，規(guī)定運(yùn)算：（1）A⊕B=；（2）A⊙B=；（3）當(dāng)且時(shí)，A=B．有下列四個(gè)命題：①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，則A⊕B=(3，1)，A⊙B=0；②若有A⊕B=B⊕C，則A=C；③若有A⊙B=B⊙C，則A=C；④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）對(duì)任意點(diǎn)A、B、C均成立．其中正確的命題為（只填序號(hào)）4．定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，如果滿足，那么稱，互為“好友數(shù)”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．(1)若為“好友點(diǎn)”，則______；(2)判斷下列命題的真假，真命題在括號(hào)內(nèi)打“√”，假命題在括號(hào)內(nèi)打“×”．①與是互為“好友數(shù)”；(

)②若點(diǎn)為“好友點(diǎn)”，則點(diǎn)也一定為“好友點(diǎn)”；(

)③若與互為相反數(shù)，則一定不是“好友點(diǎn)”；(

)④存在與互為“好友數(shù)”的實(shí)數(shù)；(

)(3)已知是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于，的二元一次方程組的解，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否能成為“好友點(diǎn)”？若能，請(qǐng)求出的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．類型二、邏輯與推理5．某屆世界杯的小組賽積分規(guī)則為：四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)參加比賽，下列對(duì)這個(gè)小組的積分情況描述不正確的是（

）A．丙隊(duì)不可能獲得8個(gè)積分B．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的奇數(shù)C．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)D．若四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則有兩支球隊(duì)沒有取得一場(chǎng)勝利6．有人數(shù)不相等的A，B兩隊(duì)同學(xué)，A隊(duì)男生的人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)相等，若對(duì)兩隊(duì)同學(xué)進(jìn)行調(diào)換，規(guī)則是調(diào)換的人數(shù)必須相等，則下列說法正確的是（

）A．可以調(diào)整至A隊(duì)全是男生而B隊(duì)全是女生B．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1個(gè)C．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1倍D．無論怎么調(diào)整，A隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)中女生人數(shù)始終相等7．為了傳承中華文化，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校初二（8）班舉辦了“樂知杯古詩詞”大賽．現(xiàn)有小璟、小樺、小花三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐．決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決出第1，2，3名（不并列），對(duì)應(yīng)名次的得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，c均為正整數(shù))；選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況，第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分小璟aa26小樺abc11小花bb11根據(jù)題中所給信息，下列說法正確的是（

）A．小璟可能有一輪比賽獲得第二名 B．小樺有三輪比賽獲得第三名C．小花可能有一輪比賽獲得第一名 D．每輪比賽第一名得分a為58．容器中有A，B，C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子．例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子．現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子．給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子②最后一顆粒子一定是C粒子③最后一顆粒子一定不是B粒子④以上都不正確其中正確結(jié)論的序號(hào)是(

)．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))A．① B．②③ C．③ D．①③9．甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色．在問到他們各自車的顏色時(shí)，甲說：“乙的車不是白色．”乙說：“丙的車是紅色的．”丙說：“丁的車不是藍(lán)色的．”丁說：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅色的，而且只有這個(gè)人說的是實(shí)話．”如果丁說的是實(shí)話，那么以下說法正確的是：（

）A．甲的車是白色的，乙的車是銀色的 B．乙的車是藍(lán)色的，丙的車是紅色的C．丙的車是白色的，丁的車是藍(lán)色的 D．丁的車是銀色的，甲的車是紅色的10．容器中有“O、P、Q”三種顆粒，若相同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成1個(gè)“P顆粒；若不同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成另一種顆粒，例如：一個(gè)“O”顆粒和一個(gè)“P”顆粒進(jìn)行碰撞，則會(huì)變成一個(gè)“Q”顆粒．現(xiàn)有“O”顆粒11個(gè)，“P”顆粒10個(gè)，“Q”顆粒12個(gè)，經(jīng)過兩兩碰撞后，最后一個(gè)顆粒一定不是顆粒．類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用11．如圖，．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿?，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)已知．①如圖2，若，求的度數(shù)；②如圖3，若和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．12．已知：P、Q分別是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段的延長線上，連接，且．(1)探究發(fā)現(xiàn)：探究與的位置關(guān)系．如圖1，過作，∴（①）∵（已知）∴∵∴（②）∴（③）又∵∴（④）(2)解決問題：①如圖2，連接，若，且恰好平分，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②如圖3，在（2）的條件下，在射線上找一點(diǎn)，連接，使，．補(bǔ)全圖形后，則的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）．13．已知，過內(nèi)一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，射線，射線分別平分和，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G，Q在線段上，連接，，，與交于點(diǎn)，反向延長交于點(diǎn)，如果，平分，，求的度數(shù)．14．已知，，點(diǎn)O為上方一點(diǎn)，E、F為上兩點(diǎn)，連接、，分別交于M、N兩點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接，作垂足為H，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長到點(diǎn)P，連接，若，，求的度數(shù)．15．如圖，點(diǎn)是三角形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在邊上，連接．若求證：；(2)在（1）的條件下，如圖2，分別是和延長線上的點(diǎn)，若與的平分線所在直線的交點(diǎn)在直線左側(cè)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由；(3)如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，射線在的內(nèi)部，滿足．射線在的內(nèi)部，滿足．且射線與直線交于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．16．已知，，直線與直線、分別交于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)G，且．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下．連接，K是上一點(diǎn)使，作平分，問的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．∴，∵，∴，∵，∴．17．如圖1，在中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，連接，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)G是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)G作，點(diǎn)H在左側(cè)，連接．①如圖2，當(dāng)時(shí)，與的角平分線交于點(diǎn)M，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出．18．已知∶平分(1)如圖①，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖②，請(qǐng)你直接寫出之間滿足什么關(guān)系時(shí)，．19．如圖1，，直線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上（不與重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)，若，求出的度數(shù)；(3)若直線的位置如圖3所示，點(diǎn)在線段上（不與重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)，若，則（用含的代數(shù)式表示）20．經(jīng)過平行線中的拐點(diǎn)作平行線是解決與平行線有關(guān)問題的常用思路．(1)如圖1，，則__________；(2)如圖2，，點(diǎn)P在直線AB上方，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(3)如圖3，，點(diǎn)P在直線上方，的角平分線所在的直線和的角平分線所在的直線交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在直線的下方），請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(4)如圖4，，點(diǎn)P在直線上方，分別是的三等分線，且．直線與直線交于點(diǎn)M，直線與直線交于點(diǎn)N（點(diǎn)N在直線的下方）．請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（請(qǐng)自行畫圖分析）類型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線性質(zhì)與判定21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0，，，且滿足，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．

備用圖(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；點(diǎn)的坐標(biāo)為______；和的位置關(guān)系是______．(2)當(dāng)點(diǎn)分別在線段上時(shí)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．22．如圖，直線，一副直角三角板（）如圖1所示放置．

(1)°；(2)將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，探究當(dāng)ɑ為多少度時(shí)，的一條邊與平行，請(qǐng)畫出簡(jiǎn)單的示意圖，并直接寫出答案；(3)如圖2，將三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，若的邊所在的直線交直線于點(diǎn)E，探究與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案．23．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、且、滿足(1)直接寫出、兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，直線軸，垂足為點(diǎn)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作CD//AB，E為線段AB上任意一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，使交CD于點(diǎn)為線段AB與線段CD之間一點(diǎn)，連接，且當(dāng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EG始終垂直于，試寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24．如圖，以直角三角形的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以、所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，滿足．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為________；點(diǎn)的坐標(biāo)為________．(2)如圖，已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以個(gè)單位長度每秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長度每秒的速度沿軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問：是否存在這樣的，使？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖，過作，作交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說明理由．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，且，滿足，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)，分別先向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，分別得到，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，連接．此時(shí)．

(1)______，______．(2)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)分別是四邊形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與、重合）的值是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)說明理由并求出其值．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足，過點(diǎn)B作直線軸，點(diǎn)P是直線m上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接AP，過點(diǎn)B作交y軸于C點(diǎn)，，分別平分，．

(1)填空：________，________．（直接寫出答案）(2)若點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)且，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．（直接寫出答案）(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，①線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為________．（直接寫出答案）②在直線m上是否存在點(diǎn)Q，使得的面積等于16？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(4)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是不變的，則這個(gè)值是________．（直接寫出答案）27．如圖，以直角三角形的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)、滿足．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；點(diǎn)A的坐標(biāo)為______；(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向左以個(gè)單位長度每秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長度每秒的速度向上移動(dòng)，的中點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，問：當(dāng)______時(shí)，；在滿足的前提下，當(dāng)點(diǎn)位于的延長線上，此時(shí)在第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是第二象限中一點(diǎn)，連接，使得，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否有這樣的實(shí)數(shù)使得總成立，若存在請(qǐng)求出的值，若不存在請(qǐng)說明理由．類型五、動(dòng)態(tài)背景下平行線性質(zhì)與判定28．已知：直線與直線平行，點(diǎn)N、點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)H、點(diǎn)M在直線上，，直線交直線于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，以點(diǎn)N為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點(diǎn)G，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點(diǎn)F，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，如圖3，直線交直線于點(diǎn)R，直線交直線于點(diǎn)S，的平分線所在直線與的平分線所在直線交于點(diǎn)K，若，當(dāng)點(diǎn)N在線段上移動(dòng)時(shí)，求的度數(shù)．29．在平面直角坐標(biāo)系中，，滿足，中，的邊與x軸分別交于O、G兩點(diǎn)，與直線分別交于E、F兩點(diǎn)．(1)求；．(2)將直角三角形如圖1位置擺放，求證：；(3)將直角三角形如圖2位置擺放，N為上一點(diǎn)，，請(qǐng)寫與之間的等量關(guān)系，并說明理由．；30．已知，如圖1，射線分別與直線，相交于，兩點(diǎn)，的平分線與直線相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)，，且．(1)求α，β；(2)如圖2，若點(diǎn)G，H分別在射線和線段上，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，作的角平分線與射線相交于點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．31．如圖1，，為之間任意一點(diǎn)．(1)若平分平分．求證：；(2)如圖2，若，且的延長線交的角平分線于點(diǎn)的延長線交的角平分線于點(diǎn)，猜想的運(yùn)算結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若點(diǎn)是射線之間一動(dòng)點(diǎn)，平分平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．32．已知，如圖，射線分別與直線，相交于，兩點(diǎn)，的平分線與直線相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)，，且．(1)，；直線與的位置關(guān)系是．(2)如圖，若點(diǎn)，分別在射線和線段上，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖），分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，作的角平分線與射線相交于點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．33．如圖1，直線，直線與，分別交于點(diǎn)G，H，．將一個(gè)直角三角板按如圖1所示放置，使點(diǎn)N，M分別在直線，上，且在點(diǎn)G，H的右側(cè)，已知．(1)若，則的度數(shù)為；(2)若，對(duì)說明理由；(3)如圖2，已知的平分線交直線于點(diǎn)O．①當(dāng)，時(shí)，求的值；②現(xiàn)將三角板保持，并沿直線向左平移，在平移的過程中，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．34．如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，且∠EFG=∠FEG，EF平分∠AEG．(1)判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由．(2)如圖2所示，H是AB上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，∠EGH的平分線GQ交FE的延長線于點(diǎn)Q，設(shè)∠Q=a，∠EHG=β．①若∠HEG=40°，∠QGH=20°，求∠Q的度數(shù)．②判斷：點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，a和β的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，求出α和β的數(shù)量關(guān)系；若變化，請(qǐng)說明理由．35．如圖，已知，(1)如圖1，試說明：；(2)如圖2，連接，若點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，且滿足平分，平分，，求的度數(shù)；(3)下列①-③的問題，對(duì)應(yīng)分值分別為4分、5分、6分，請(qǐng)根據(jù)你的認(rèn)知水平，選擇其中一個(gè)問題作答，解答對(duì)多個(gè)問題，按分值最高的一個(gè)問題記分．①如圖2，在（2）的條件下，若，求的度數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示）．②如圖3，在（2）的條件下，將線段沿著射線的方向向右平移，當(dāng)平分時(shí)，若，求的度數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示）③如圖3，在（2）的條件下，將線段沿著射線的方向向右平移，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）．類型六、平行線性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用36．光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線與鏡面的夾角、反射光線與鏡面的夾角對(duì)應(yīng)相等（如圖1，），小明同學(xué)用了兩塊鏡子和形成一個(gè)鏡子組合體（如圖2），鏡子與之間的角度為，他發(fā)現(xiàn)改變的大小，入射光線和反射光線位置關(guān)系會(huì)發(fā)生改變．(1)小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)，入射光線與反射光線的是平行的，請(qǐng)說明理由；(2)小明繼續(xù)改變，的大小，當(dāng)，求此時(shí)入射光線與反射光線形成的夾角，大?。?3)小明拿來了一塊新的鏡子和前面兩塊鏡子和組成一個(gè)新的鏡子組合體（如圖4），其中，入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過3次反射后，反射光線為，小穎發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射光線和鏡面的夾角和鏡子和形成的角，滿足一定數(shù)量關(guān)系時(shí)，入射光線和反射光線始終平行（即），設(shè)，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)x和y之間滿足的關(guān)系式．37．（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有，，請(qǐng)判斷光線與光線是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，現(xiàn)放置平面鏡，可使反射光線正好垂直照射到井底，則與水平線的夾角的度數(shù)．（3）如圖3，直線上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線、．，，射線繞點(diǎn)以度/秒順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線繞點(diǎn)以度/秒的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得與平行?若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間．

38．某市為了亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直的景觀道上，分別放置了A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立刻回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立刻回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，若這兩條筆直的景觀道是平行的．(1)B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)15秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，兩燈的光束和到達(dá)如圖①所示的位置，和是否互相平行？請(qǐng)說明理由；(2)在（1）的情況下，當(dāng)B燈的光束第一次到達(dá)之前，兩燈的光束是否還能互相平行？如果還能互相平行，那么此時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒？39．（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1=∠2，∠3=∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線OC的夾角為42°，問如何放置平面鏡MN，可使反射光線b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線的夾角）（3）如圖3，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．類型七、折疊背景下的平行線問題40．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)落在邊的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．41．

如圖1，現(xiàn)有一張紙條，，將紙條沿折疊，點(diǎn)C落在處，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)G．

(1)①若，則______；②若，則______；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)A落在處，點(diǎn)B落在處，已知，，求證：；(3)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，，設(shè)，求的度數(shù)．（用含x的式子表示）42．（1）學(xué)習(xí)了平行線以后，香橙同學(xué)想出了過一點(diǎn)畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的，過程如（圖1）．①請(qǐng)你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b，使直線b經(jīng)過點(diǎn)P，且，要求保留折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結(jié)果．無需寫畫法：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)P的直線a的線．（2）已知，如圖3，，BE平分，CF平分．求證：（寫出每步的依據(jù)）．43．已知直線，M，N分別為直線，上的兩點(diǎn)且，P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．類似于平面鏡成像，點(diǎn)N關(guān)于鏡面所成的鏡像為點(diǎn)Q，此時(shí)．（1）當(dāng)點(diǎn)P在N右側(cè)時(shí)：①若鏡像Q點(diǎn)剛好落在直線上（如圖1），判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；②若鏡像Q點(diǎn)落在直線與之間（如圖2），直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若鏡像，求的度數(shù)．類型八、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題44．將長方形紙帶先沿折疊成圖1，再沿折疊成圖2，此時(shí)恰好經(jīng)過點(diǎn)，若，則的度數(shù)為度．

45．如圖1，將一條兩邊互相平行的長方形紙帶沿折疊，設(shè)度．圖1

圖2（1）若，則度．（2）將圖1紙帶繼續(xù)沿折疊成圖2，則度．（用含的代數(shù)式表示）46．如圖，，平分交于點(diǎn)，在射線上，平分交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，在線段上，使得平分．①當(dāng)時(shí)，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；②過作于點(diǎn)，若，且，，，求的長．47．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，老師要求同學(xué)們把一塊直角三角板（圖中的，）擺放在畫有兩條平行直線的紙面上進(jìn)行操作探究．

(1)小明同學(xué)把三角板按如圖1擺放，請(qǐng)你直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)小明移動(dòng)三角板按如圖2擺放，當(dāng)平分時(shí)，發(fā)現(xiàn)和存在特殊的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)小明繼續(xù)移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)A落在直線上，如圖3，分別畫出和的平分線相交于點(diǎn)E，多次移動(dòng)三角板位置（保持頂點(diǎn)A在直線上），經(jīng)度量并計(jì)算發(fā)現(xiàn)都等于，請(qǐng)問這個(gè)等式是否一定成立？如果成立，請(qǐng)你說明理由；如果不成立，請(qǐng)你畫出一個(gè)符合條件且又不等于的圖形．48．如圖，，是直線上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)．問題提出（1）如圖1，是直線上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，連接，若，，則問題探究（2）如圖2，，平分，平分，請(qǐng)計(jì)算的度數(shù)．問題解決（3）如圖3，平分，延長到點(diǎn)，且平分，若，請(qǐng)你探究與之間的關(guān)系，并說明理由（用含的式子表示）．49．已知：，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M在的延長線上，作、的角平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，設(shè)．①若，試判斷直線上是否存在一點(diǎn)K使得，并說明理由；②如圖3，作的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若，請(qǐng)直接回答與的數(shù)量關(guān)系：______．50．綜合探究：如圖1，已知兩條直線被直線所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)平分交于點(diǎn)M，且．(1)直線與直線平行嗎？說明你的理由；(2)點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)時(shí)α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并簡(jiǎn)單說明理由．51．已知，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線與相交于點(diǎn)B．(1)如圖1，若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為；(2)如圖2，若點(diǎn)P為直線之間區(qū)域的一點(diǎn)，射線交于點(diǎn)E，和的角平分線交于點(diǎn)F．請(qǐng)說明：；(3)如圖3，若點(diǎn)P、H是直線上的點(diǎn)，連接并延長交的角平分線于點(diǎn)Q，射線交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，試猜想與之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的答案．52．如圖1，已知，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，滿足，是內(nèi)的一條射線，滿足．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)的過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出k的值；若變化，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，若，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，①______；②將繞著點(diǎn)Q以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)倪吪c的某一邊平行時(shí)，t的值為______．53．我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為、、的三角形是“完美三角形”．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，，在射線上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O、B重合）．

(1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”；(2)若，試說明：是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】(3)如圖2，點(diǎn)D在的邊上，連接，作的平分線交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．類型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問題54．如圖，于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長至點(diǎn)，的角平分線及其反向延長線分別交、的角平分線于點(diǎn)、．若中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則為（

）．A．或 B．或 C．或 D．或55．如圖，在中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是邊、的點(diǎn)，將和分別沿和折疊至．已知且，則為．56．綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們以“折紙中的數(shù)學(xué)”為主題開展活動(dòng)．獨(dú)立思考：（1）如圖①，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，則與之間的數(shù)量關(guān)系為，請(qǐng)說明理由；深入探究：（2）如圖②，若點(diǎn)落在四邊形的邊下方時(shí)，試猜想此時(shí)與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；結(jié)論運(yùn)用：（3）如圖③，在四邊形中，，，分別是，邊上的一點(diǎn)，沿將四邊形折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，．①的度數(shù)為；②若，，求點(diǎn)到的距離．57．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則、、之間的數(shù)量關(guān)系為：______；(2)探究遷移：如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，其他條件不變．請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形紙片，，與不平行，將四邊形紙片沿折疊成圖3的形狀，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)58．（1）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，若，作的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)N，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線交于點(diǎn)，此時(shí),滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程．

59．在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對(duì)這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：

(1)【問題再現(xiàn)】如圖1，在中，的角平分線交于點(diǎn)P，若．則______；(2)【問題推廣】如圖2，在中，的角平分線與的外角的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，若，則______；(3)如圖3，如圖3，在中，、的角平分線交于點(diǎn)，將沿DE折疊使得點(diǎn)與點(diǎn)重合．①若，則______；②若，求證：；(4)【拓展提升】在四邊形中，，點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接的角平分線交于點(diǎn)Q，若，直接寫出∠Q和α，β之間的數(shù)量關(guān)系．60．綜合與探究

(1)如圖1，將沿著第一次折疊，頂點(diǎn)落在的內(nèi)部點(diǎn)處，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，將沿著第二次折疊，頂點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，若，，求的度數(shù)．(3)如圖3，將沿著第三次折疊，頂點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，若，，用含，的代數(shù)式表示．61．在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，用含的式子表示；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，①如圖2，若平分交于點(diǎn)，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說明你的理由；②若，請(qǐng)直接寫出的大小（用含的式子表示）．62．（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)．這時(shí)，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個(gè)頂點(diǎn)并不重合于同一點(diǎn)，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；63．（1）如圖1，把沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫出與的關(guān)系：．（2）如圖2，把分別沿、折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，若，則°（3）如圖3，在銳角中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，、交于點(diǎn)H，把沿折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，則與的關(guān)系是．A．

B．C．

D．（4）如圖4，平分，平分，把沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，若，求的度數(shù)．類型十、與角平分線有關(guān)的平行線問題64．如圖，D、E分別在邊AB、AC上，的角平分線交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，如果的角平分線與交于G點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)如圖3，H點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），交于M點(diǎn)，的角平分線交于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．65．如圖，在四邊形中，和相交于點(diǎn)．(1)如圖，若，平分，，求的度數(shù)；(2)如圖，若，平分，平分，求證：；(3)如圖，若平分，平分，和分別是和外角平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．66．如圖1至圖2，在中，，點(diǎn)D在邊所在直線上，作垂直于直線，垂足為點(diǎn)E；為的角平分線，的平分線交直線于點(diǎn)G．解決問題：（1）如圖1，延長交于點(diǎn)F，若，．試說明：；深入探究；（2）如圖2，若，與反向延長線交于點(diǎn)H，求的度數(shù)拓展延伸：（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線上移動(dòng)時(shí)，若射線與射線相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）

67．如圖，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連結(jié)．(1)如圖1，若平分，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分平分，且，求的度數(shù)；(3)如圖3，過點(diǎn)作交的平分線于點(diǎn)交于點(diǎn)，，垂足為．若，求與之間的數(shù)量關(guān)系．68．小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，中，平分，平分外角．猜想與的數(shù)量關(guān)系．

(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入的值求值，①如果，則的度數(shù)為；如果，則的度數(shù)為；②于是猜想與的數(shù)量關(guān)系為；請(qǐng)你說明理由．(2)小明繼續(xù)探究，如圖2，在四邊形中，平分，且與四邊形的外角的平分線交于點(diǎn)D．若，，則的度數(shù)為；(3)小明又思考，改變，的大小，如圖3，在四邊形中，四邊形的內(nèi)角與外角．的角平分線所在的直線相較于點(diǎn)P，當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為．69．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．現(xiàn)將點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C，，且，連接AB交y軸于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為_________，_________，并求出三角形的面積；(2)如圖2，與的角平分線相交于點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P向下平移2個(gè)單位到點(diǎn)Q，連接、、，當(dāng)三角形的面積是三角形的面積的4倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．70．我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對(duì)頂角，則與為“對(duì)頂三角形”．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)∶．

(1)性質(zhì)理解：如圖1，在“對(duì)頂三角形”與中，若，則；(2)性質(zhì)應(yīng)用∶①如圖2，則；②如圖3，在中，分別平分和，若，比大，求的度數(shù)；(3)拓展提高：如圖4，是的角平分線，和的平分線和相交于點(diǎn)P，設(shè)，求的度數(shù)（用含α的式子表示）．71．（問題背景），點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）.（問題思考）（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求的度數(shù).（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點(diǎn).①若，則__________；②隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果，其余條件不變，隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)（如圖③），__________.（用含的代數(shù)式表示）

第七章平行線的證明內(nèi)容導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)…………………2類型一、真假命題的判定…………………4類型二、邏輯與推理……………………9類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用………………14類型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線性質(zhì)與判定……39類型五、動(dòng)態(tài)背景下平行線性質(zhì)與判定…………………58類型六、平行線性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用…………………76HYPERLINK類型七、折疊背景下的平行線問題………87HYPERLINK類型八、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題……………94類型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問題………………115類型十、與角平分線有關(guān)的平行線問題…………………136知識(shí)點(diǎn)1．推理證明的必要性通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的數(shù)學(xué)結(jié)論不一定都是正確的，要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是不夠的，還必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明知識(shí)點(diǎn)2．檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法常用方法：（1）試驗(yàn)驗(yàn)證(2)舉出反例(3)推理論證知識(shí)點(diǎn)3．定義的概念定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的句子叫做定義.知識(shí)點(diǎn)4．命題的概念命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.（1）每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2）正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.（3）公認(rèn)的真命題叫做公理.(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.知識(shí)點(diǎn)5．命題的結(jié)構(gòu)命題的結(jié)構(gòu)：一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由己知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)6．真命題、假命題、反例1.命題分為真命題和假命題，正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題。2.反例要說明一個(gè)命題是假命題，常?？梢耘e出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例.知識(shí)點(diǎn)7．公理、證明、定理名稱概念作用公理公認(rèn)的真命題作為判斷其他命題真假的依據(jù)定理經(jīng)過證明的真命題證明演繹推理的過程判斷命題真假知識(shí)點(diǎn)7．平行線的判定基本事實(shí)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行知識(shí)點(diǎn)8．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).定理：平行于同一條直線的兩條直線相等知識(shí)點(diǎn)8．證明的一般步驟（1）根據(jù)題意，畫出圖形。（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證。（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。知識(shí)點(diǎn)1.三角形內(nèi)角和定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)9．三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．知識(shí)點(diǎn)10．三角形的內(nèi)角和定理的推論推論：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．類型一、真假命題的判定1．定義：平面直角坐標(biāo)系中不重合兩點(diǎn)，，把稱為，的“垂直距”，記為，把稱為，的“水平距”，記為，例如，，，此時(shí)，．現(xiàn)有兩個(gè)命題：①；②對(duì)于三角形，若，，則不可能是銳角；以上命題中（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題【答案】A【分析】本題考查新定義、兩點(diǎn)之間，線段最短、三角形形狀的判定，①如圖，設(shè)，，過點(diǎn)作軸，軸，過點(diǎn)作軸，軸，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得到，，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得，即可得出結(jié)論；②根據(jù)題意得出點(diǎn)在長方形內(nèi)（含邊界），分情況討論即可，理解和掌握新定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)，，過點(diǎn)作軸，軸，過點(diǎn)作軸，軸，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，，綜上所述，，故命題①是真命題；∵，，∴點(diǎn)在長方形內(nèi)（含邊界），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，三角形不存在；當(dāng)點(diǎn)在長方形內(nèi)或邊上時(shí)（頂點(diǎn)除外），；綜上所述，若，，則不可能是銳角，故命題②是真命題．故選：A．2．在多項(xiàng)式中，任選兩個(gè)字母，在兩側(cè)加括號(hào)，稱為第一輪“加括號(hào)操作”．例如，選擇，進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到．在第一輪“加括號(hào)操作”后的式子中進(jìn)行同樣的操作，稱為第二輪“加括號(hào)操作”，按此方法，進(jìn)行第輪“加括號(hào)操作”．以下說法：存在某種第一輪“加括號(hào)操作”的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；總存在第輪“加括號(hào)操作”，使得結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為；對(duì)原多項(xiàng)式進(jìn)行第一輪“加括號(hào)操作”后，共有種不同結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】本題考查了推理能力，整式加減混合運(yùn)算，根據(jù)說法舉出例子論證，以證明其正確與否即可解答，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)其說法舉出相應(yīng)的正例跟反例．【詳解】解：題目中說存在著一個(gè)式子第一輪“加括號(hào)操作”的結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，舉出正例：選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”得到，與原多項(xiàng)式相等，故說法正確；總存在第輪“加括號(hào)操作”，使得結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為，∵無論選擇哪兩個(gè)字母，的正負(fù)是不發(fā)生改變的，∴任何一輪“加括號(hào)操作”與原多項(xiàng)式相加是無法消去的，∴存在第輪“加括號(hào)操作”，使得結(jié)果與原多項(xiàng)式的和為是錯(cuò)誤的；對(duì)原多項(xiàng)式進(jìn)行第一輪“加括號(hào)操作”后，共有種不同結(jié)果，舉出反例：選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到，選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到，選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到，選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到，選擇進(jìn)行“加括號(hào)操作”，得到，結(jié)果大于四種，故說法錯(cuò)誤；故選：．3．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，規(guī)定運(yùn)算：（1）A⊕B=；（2）A⊙B=；（3）當(dāng)且時(shí)，A=B．有下列四個(gè)命題：①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，則A⊕B=(3，1)，A⊙B=0；②若有A⊕B=B⊕C，則A=C；③若有A⊙B=B⊙C，則A=C；④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）對(duì)任意點(diǎn)A、B、C均成立．其中正確的命題為（只填序號(hào)）【答案】①②④【分析】①根據(jù)規(guī)定運(yùn)算A⊕B=，A⊙B=，把A(1，2)，B(2，﹣1)代入并解出，即可得出判斷；②設(shè)C為(，)，根據(jù)規(guī)定運(yùn)算A⊕B=(，)，分別算出A⊕B、B⊕C，然后再根據(jù)規(guī)定運(yùn)算：當(dāng)且時(shí)，A=B，即可得出判斷；③根據(jù)規(guī)定運(yùn)算：A⊙B=，分別算出A⊙B、B⊙C，然后再根據(jù)規(guī)定運(yùn)算：當(dāng)且時(shí)，A=B，即可得出判斷；④根據(jù)規(guī)定運(yùn)算：A⊕B=，分別算出（A⊕B）⊕C、A⊕（B⊕C），即可得出判斷．【詳解】①∵A(1，2)，B(2，﹣1)，∴A⊕B=(1+2，2﹣1)=(3，1)，A⊙B=1×2+2×（﹣1）=0，故命題①正確；②設(shè)C(，)，∵A⊕B=(，)，B⊕C=(，)，而A⊕B=B⊕C，∴=，=，則，，∴A=C，故命題②正確；③∵A⊙B=，B⊙C=，而A⊙B=B⊙C，則=，∴不能得到，，∴A≠C，故命題③不正確；④∵（A⊕B）⊕C=(，)，A⊕（B⊕C）=(，)，∴（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故命題④正確．綜上可得：命題①②④正確．故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)、新定義問題，能正確地理解定義中規(guī)定的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．4．定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，如果滿足，那么稱，互為“好友數(shù)”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．(1)若為“好友點(diǎn)”，則______；(2)判斷下列命題的真假，真命題在括號(hào)內(nèi)打“√”，假命題在括號(hào)內(nèi)打“×”．①與是互為“好友數(shù)”；(

)②若點(diǎn)為“好友點(diǎn)”，則點(diǎn)也一定為“好友點(diǎn)”；(

)③若與互為相反數(shù)，則一定不是“好友點(diǎn)”；(

)④存在與互為“好友數(shù)”的實(shí)數(shù)；(

)(3)已知是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于，的二元一次方程組的解，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否能成為“好友點(diǎn)”？若能，請(qǐng)求出的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①√②√③×④×(3)【分析】（1）根據(jù)“好友點(diǎn)”的定義把代入，求出值即可；（2）根據(jù)“好友數(shù)”或“好友點(diǎn)”的定義對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行判斷即可解決問題；（3）先解關(guān)于、的二元一次方程組求出、的值，然后根據(jù)“好友點(diǎn)”的定義代入關(guān)系式得到關(guān)于的方程，解方程即可求出的值，然后求出的值即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，故答案為：；（2）解：①把和分別代入的左右兩邊，得：，，，同理可得：，與是互為“好友數(shù)”，故①是真命題；②把點(diǎn)代入后，結(jié)果為，根據(jù)加法交換律和乘法交換律可以知道可以變形為，若點(diǎn)為“好友點(diǎn)”，則點(diǎn)也一定為“好友點(diǎn)”，故②是真命題；③與互為相反數(shù)，，假設(shè)是“好友點(diǎn)”，，，存在這樣的實(shí)數(shù)，使、是相反數(shù)，點(diǎn)又是“好友點(diǎn)”，故③是假命題；④把代入得，不存在這樣的的值，不存在與互為“好友數(shù)”的實(shí)數(shù)，故④是假命題；故答案為：①√②√③×④×．（3）解：解此方程組得：，設(shè)點(diǎn)是能成為“好友點(diǎn)”，，，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是新定義綜合題，主要考查命題和定理，代數(shù)式的值，解二元一次方程組以及數(shù)對(duì)等知識(shí)點(diǎn)，理解“好友點(diǎn)”和“好友數(shù)”的定義是解決問題的關(guān)鍵．類型二、邏輯與推理5．某屆世界杯的小組賽積分規(guī)則為：四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)參加比賽，下列對(duì)這個(gè)小組的積分情況描述不正確的是（

）A．丙隊(duì)不可能獲得8個(gè)積分B．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的奇數(shù)C．四支球隊(duì)的積分不可能是四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)D．若四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則有兩支球隊(duì)沒有取得一場(chǎng)勝利【答案】B【分析】本題考查邏輯推理與論證，先根據(jù)賽制得出比賽總場(chǎng)數(shù)、單支球隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)，計(jì)算出每支球隊(duì)所有可能的得分情況，再逐項(xiàng)推理論證即可．【詳解】解：根據(jù)賽制，一共需要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，每支球隊(duì)進(jìn)行3場(chǎng)比賽，3勝得9分，2勝1平得7分，2勝1負(fù)得6分，1勝2平得5分，1勝1平1負(fù)得4分，1勝2負(fù)得3分，3平得3分，2平1負(fù)得2分，1平2負(fù)得1分，3負(fù)得0分，一支球隊(duì)可能獲得的積分為：9，7，6，5，4，3，2，1，0，丙隊(duì)不可能獲得8個(gè)積分，故A選項(xiàng)描述正確；甲隊(duì)1平2負(fù)得1分，乙隊(duì)1勝2負(fù)得3分，丙隊(duì)1勝2平得5分，丁隊(duì)2勝1平得7分，上述情況下，四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，故B選項(xiàng)描述不正確；6場(chǎng)比賽均沒有平局時(shí)，四支球隊(duì)的積分之和最高，為分，6場(chǎng)比賽均是平局時(shí)，四支球隊(duì)的積分之和最低，為分，每只球隊(duì)均積3分，四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的偶數(shù)時(shí)，只可能是0，2，4，6，總積分是12，與每只球隊(duì)均積3分矛盾，因此這種情況不存在，故C選項(xiàng)描述正確；若四支球隊(duì)的積分是四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則有可能是3，2，1，0或4，3，2，1或5，4，3，2或6，5，4，3，當(dāng)?shù)梅譃?，2，1，0時(shí)，總積分為6，與總積分最低為12矛盾，不合題意，當(dāng)?shù)梅譃?，3，2，1時(shí)，總積分為10，與總積分最低為12矛盾，不合題意，當(dāng)?shù)梅譃?，5，4，3時(shí)，總積分為18，有平局，與沒有平局時(shí)總積分最高18分矛盾，不合題意，得分為5，4，3，2時(shí)，四支球隊(duì)得分情況為：1勝2平得5分，1勝1平1負(fù)得4分，3平得3分，2平1負(fù)得2分，可知有兩支球隊(duì)沒有取得一場(chǎng)勝利，故D選項(xiàng)描述正確；故選B．6．有人數(shù)不相等的A，B兩隊(duì)同學(xué)，A隊(duì)男生的人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)相等，若對(duì)兩隊(duì)同學(xué)進(jìn)行調(diào)換，規(guī)則是調(diào)換的人數(shù)必須相等，則下列說法正確的是（

）A．可以調(diào)整至A隊(duì)全是男生而B隊(duì)全是女生B．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1個(gè)C．可以調(diào)整至A隊(duì)男生的人數(shù)比B隊(duì)女生的人數(shù)多1倍D．無論怎么調(diào)整，A隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)中女生人數(shù)始終相等【答案】D【分析】本題考查推理的應(yīng)用，理解題意和各選項(xiàng)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：兩隊(duì)同學(xué)進(jìn)行調(diào)換，若調(diào)換的同學(xué)都是女生或男生，則整個(gè)隊(duì)伍男女生人數(shù)不變；若將A隊(duì)男生1人與B隊(duì)女生1人進(jìn)行調(diào)換，則A隊(duì)男生人數(shù)少1人，B隊(duì)女生人數(shù)少1人，此時(shí)A隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)仍相等；若將A隊(duì)女生1人與B隊(duì)男生1人進(jìn)行調(diào)換，則A隊(duì)男生人數(shù)多1人，B隊(duì)女生人數(shù)多1人，此時(shí)A隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)仍相等．所以不論怎么調(diào)整，只要每次調(diào)換的人數(shù)相等，A隊(duì)男生與B隊(duì)女生人數(shù)始終相等，所以選項(xiàng)D正確；因?yàn)锳隊(duì)男生人數(shù)與B隊(duì)女生的人數(shù)相等，而A隊(duì)女生人數(shù)與B隊(duì)男生的人數(shù)不相等，所以不可能調(diào)整至A隊(duì)全是男生而B隊(duì)全是女生，所以選項(xiàng)A不正確；不過可以將A隊(duì)男生與B隊(duì)女生對(duì)調(diào)，調(diào)整至A隊(duì)男生0人，B隊(duì)女生0人，即調(diào)整至A隊(duì)全是女生而B隊(duì)全是男生；選項(xiàng)B和選項(xiàng)C不正確，因?yàn)椴徽撛趺凑{(diào)整，只要每次調(diào)換的人數(shù)相等，A隊(duì)男生與B隊(duì)女生人數(shù)始終相等，即A隊(duì)男生比B隊(duì)女生人數(shù)多一個(gè)（或多一倍）都是不可能發(fā)生．故選D．7．為了傳承中華文化，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校初二（8）班舉辦了“樂知杯古詩詞”大賽．現(xiàn)有小璟、小樺、小花三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐．決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決出第1，2，3名（不并列），對(duì)應(yīng)名次的得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，c均為正整數(shù))；選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況，第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分小璟aa26小樺abc11小花bb11根據(jù)題中所給信息，下列說法正確的是（

）A．小璟可能有一輪比賽獲得第二名 B．小樺有三輪比賽獲得第三名C．小花可能有一輪比賽獲得第一名 D．每輪比賽第一名得分a為5【答案】D【分析】先根據(jù)三人總得分共26＋11＋11＝48，可得每一輪的得分a＋b＋c＝8，再根據(jù)小樺的等分能夠得出c＝1，進(jìn)而可得到第一二兩輪的具體排名，然后在對(duì)a、b的值分情況討論，然后再逐個(gè)排除即可求得a，b的值，從而求解即可【詳解】解：∵三人總得分共26＋11＋11＝48，∴每一輪的得分a＋b＋c＝48÷6＝8，則對(duì)于小樺來說，小樺剩余的第一、三、四輪的總分是11－8＝3分，又∵a>b>c且a，b，c均為正整數(shù)，∴c≥1，∴小樺第一、三、四輪的得分均為1分，且c＝1，∴小花第一、二、四輪的得分均為b，∵a＋b＋c＝8，c＝1，∴a＋b＝7，又∵a>b>c且a，b，c均為正整數(shù)，∴b＝2時(shí)，a＝5，或b＝3時(shí)a＝4，當(dāng)b＝2，a＝5時(shí)，則小花剩余第三、五、六輪的總分是：11－2×3＝5（分）結(jié)合小樺這幾輪的得分情況可知，小花這三輪的得分分別是2,1,2，此時(shí)小璟這三輪的得分分別是5,5,5，則小璟六輪的具體得分分別是：5,1,5,5,5,5，共26分，符合題意當(dāng)b＝3，a＝4時(shí)，則小花剩余第三、五、六輪的總分是：11－3×3＝2（分）＜3分，不符合綜上所述，a＝5，b＝2，c＝1，（D正確）小璟有五輪得第一名，一輪得第三名；（A錯(cuò)誤）小樺有一輪得第一名，一輪得第二名，四輪得第三名；（B錯(cuò)誤）小花有五輪得第二名，一輪得第三名（C錯(cuò)誤）故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的問題，考查了推理論證能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，審清題意是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8．容器中有A，B，C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子．例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子．現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子．給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子②最后一顆粒子一定是C粒子③最后一顆粒子一定不是B粒子④以上都不正確其中正確結(jié)論的序號(hào)是(

)．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))A．① B．②③ C．③ D．①③【答案】D【分析】將問題抽象為有理數(shù)的符號(hào)法則即可解決.【詳解】解：③∵相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子，∴設(shè)B粒子為1，A、C粒子為-1，碰撞為乘法運(yùn)算，∴=-1，故最后一顆粒子一定不是B粒子，∴③是正確的；①10顆A粒子，8顆C粒子，8顆B粒子，同種粒子兩兩碰撞，得到13顆B粒子，再所有B粒子一一碰撞，得到一顆B粒子，和剩下的1顆C粒子碰撞，得到A粒子，∴最后一顆粒子可能是A粒子；∴①是正確的，②是錯(cuò)的.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的符號(hào)法則，讀懂題意是解題的關(guān)鍵.9．甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色．在問到他們各自車的顏色時(shí)，甲說：“乙的車不是白色．”乙說：“丙的車是紅色的．”丙說：“丁的車不是藍(lán)色的．”丁說：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅色的，而且只有這個(gè)人說的是實(shí)話．”如果丁說的是實(shí)話，那么以下說法正確的是：（

）A．甲的車是白色的，乙的車是銀色的 B．乙的車是藍(lán)色的，丙的車是紅色的C．丙的車是白色的，丁的車是藍(lán)色的 D．丁的車是銀色的，甲的車是紅色的【答案】C【分析】先根據(jù)丁的丁說的是實(shí)話，由甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅色的，且乙、丙的說法不正確，可知甲是紅色，然后根據(jù)丙的說法判斷出丁的顏色，從而當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)論.【詳解】甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車是紅色的，乙說："丙的車是紅色的，乙說的肯定不是真的，那么丙的車也不是紅色的，那么丙說的也不是真的，就是甲說的是真的，他的車是紅色的；丙說的是假的，那么丁的車就是藍(lán)色的，甲說的是真的，乙的車不是白色的，那么乙的車是銀色的，剩下白色是丙的.故選C.【點(diǎn)睛】此題是一個(gè)閱讀理解形的分析題，抓住題目中的一些關(guān)鍵句意是解題關(guān)鍵.10．容器中有“O、P、Q”三種顆粒，若相同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成1個(gè)“P顆粒；若不同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會(huì)變成另一種顆粒，例如：一個(gè)“O”顆粒和一個(gè)“P”顆粒進(jìn)行碰撞，則會(huì)變成一個(gè)“Q”顆粒．現(xiàn)有“O”顆粒11個(gè)，“P”顆粒10個(gè)，“Q”顆粒12個(gè)，經(jīng)過兩兩碰撞后，最后一個(gè)顆粒一定不是顆粒．【答案】P【分析】本題主要考查了分類思想，邏輯推理，分析問題解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是讀懂題意寫出六種可能的碰撞，且每碰撞一次顆?？倲?shù)減少一個(gè)，33個(gè)顆粒經(jīng)過32次碰撞后將變?yōu)?個(gè)．【詳解】解：O、P、Q三種顆粒每一次碰撞會(huì)產(chǎn)生以下6種可能的情況：O與O碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)P顆粒，減少兩個(gè)O顆粒，增加1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)共減少2個(gè)，P與P碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)P顆粒，減少兩個(gè)P顆粒，減少1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)不變，Q與Q碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)P顆粒，減少兩個(gè)Q顆粒，增加1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)共減少2個(gè)，O與P碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)Q顆粒，O與P各減少1個(gè)，減少1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)不變，O與Q碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)P顆粒，O與Q各減少1個(gè)，增加1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)減少2個(gè)，Q與P碰撞，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)O顆粒，Q與P各減少1個(gè)，減少1個(gè)P顆粒，O、Q總數(shù)不變，從P顆粒角度看，每碰撞1次，P顆粒增加或減少1個(gè)，共有個(gè)顆粒，經(jīng)過次碰撞后，剩余1個(gè)顆粒，整個(gè)過程變化了偶數(shù)次，由于開始時(shí)P顆粒為10個(gè)，因此經(jīng)過次碰撞后，剩余的P顆粒一定為偶數(shù)，所以最后一個(gè)顆粒一定不是P顆粒．故答案為：P．類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用11．如圖，．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿?，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)已知．①如圖2，若，求的度數(shù)；②如圖3，若和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)．理由見解析(2)①；②【分析】（1）過點(diǎn)作，結(jié)合，利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合角的和的意義計(jì)算即可．（2）①過點(diǎn)作，結(jié)合，得到，利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合（1）的結(jié)論變形計(jì)算即可．②過作，而，則，利用平行線的性質(zhì)解答即可．本題考查了利用平行線探究角的之間關(guān)系，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：過點(diǎn)作，，，，，，即：．（2）解：①過點(diǎn)作，，，，，由（1）得：，，，即：，，，．②解：與的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：為的平分線，為的平分線，，，過作，而，，則設(shè)，則，故，故．12．已知：P、Q分別是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段的延長線上，連接，且．(1)探究發(fā)現(xiàn)：探究與的位置關(guān)系．如圖1，過作，∴（①）∵（已知）∴∵∴（②）∴（③）又∵∴（④）(2)解決問題：①如圖2，連接，若，且恰好平分，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②如圖3，在（2）的條件下，在射線上找一點(diǎn)，連接，使，．補(bǔ)全圖形后，則的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)①，證明見解析②畫圖見解析，【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算：（1）利用平行線的性質(zhì)和判定方法，作答即可；（2）①由（1）可知：，進(jìn)而得到，根據(jù)已知條件結(jié)合平角的定義推出，根據(jù)兩直線平行，得到，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角之間的和差關(guān)系，推出，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)角的和差關(guān)系結(jié)合平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）如圖1，過作，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵（已知）∴∵∴（等量代換）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）又∵∴（平行于同一條直線的兩直線平行）；（2）①，證明如下：由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴，∵恰好平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴②補(bǔ)全圖形如圖：過點(diǎn)作，則：，∴，由（2）知：，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∵，∴．13．已知，過內(nèi)一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，射線，射線分別平分和，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G，Q在線段上，連接，，，與交于點(diǎn)，反向延長交于點(diǎn)，如果，平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義等知識(shí)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線定義是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得出，，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作平分，由角平分線定義得出，，，證出，得出，，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，則，，得出，，由平行線的性質(zhì)得出，求出，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)得出，，，，求出，，即可得出答案．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）證明：過點(diǎn)作平分，如圖2所示：則，射線，射線分別平分和，，，，，，，；（3）解：平分，，設(shè)，則，，，，，，，，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如圖3所示：，，，，，，，，，．14．已知，，點(diǎn)O為上方一點(diǎn)，E、F為上兩點(diǎn)，連接、，分別交于M、N兩點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接，作垂足為H，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長到點(diǎn)P，連接，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）過點(diǎn)O作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，結(jié)合垂線的定義求證即可；（2）根據(jù)同位角相等證明，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證明即可；（3）作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，結(jié)合角的比值求解即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，作，∴，，∴．15．如圖，點(diǎn)是三角形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在邊上，連接．若求證：；(2)在（1）的條件下，如圖2，分別是和延長線上的點(diǎn)，若與的平分線所在直線的交點(diǎn)在直線左側(cè)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由；(3)如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，射線在的內(nèi)部，滿足．射線在的內(nèi)部，滿足．且射線與直線交于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)的度數(shù)為或或【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)及角平分線的定義．（1）根據(jù)，得到，由，推出，即可證明結(jié)論；（2）分別過點(diǎn)作，推出，再求出，，即可得出結(jié)論；（3）分別過點(diǎn)作，設(shè)，則．，，分點(diǎn)M在線段上，且射線與射線交于點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上，且射線與射線的反向延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)M在射線上，且射線與射線交于點(diǎn)，三種情況討論即可．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：如圖，分別過點(diǎn)作，，，，，，，與的平分線所在直線的交點(diǎn)在直線左側(cè)，，，，，，，，，，，，，；（3）解：分別過點(diǎn)作，設(shè)，．，．，，如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段上，且射線與射線交于點(diǎn)時(shí)，，，，，，，即；，，；，；如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段上，且射線與射線的反向延長線交于點(diǎn)時(shí)，同理得，如圖，當(dāng)點(diǎn)M在射線上，且射線與射線交于點(diǎn)時(shí)，同理得：，，，，，，，，，；綜上，的度數(shù)為或或．16．已知，，直線與直線、分別交于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)G，且．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下．連接，K是上一點(diǎn)使，作平分，問的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)不變，的度數(shù)為【分析】（1）利用兩直線平行，同位角相等，和平角的定義，解答計(jì)算即可．（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，證明，利用垂直同一直線的兩直線平行，證明．（3）設(shè)，則．．．結(jié)合解答即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）證明：∵,∴，∵與的角平分線交于點(diǎn)P，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）解：的大小不變，且度數(shù)為．理由如下：∵，∴．設(shè)，∵，∴．∴．∵平分，∴．∴．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角的平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，角的和差表示，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．如圖1，在中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，連接，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)G是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)G作，點(diǎn)H在左側(cè)，連接．①如圖2，當(dāng)時(shí)，與的角平分線交于點(diǎn)M，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論即可；（2）①延長交于點(diǎn)N，連接，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，即可得出答案；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)在之間時(shí)，當(dāng)G在上時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①延長交于點(diǎn)N，連接，如圖所示：∵平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；②當(dāng)在之間時(shí)，連接，如圖所示：設(shè)，則，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，即；當(dāng)G在上時(shí)，如圖所示：∵，，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，即．綜上分析可知：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行公理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．18．已知∶平分(1)如圖①，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖②，請(qǐng)你直接寫出之間滿足什么關(guān)系時(shí)，．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)推出，進(jìn)而得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系、角平分線的定義推出，可證；（2）仿照（1）求出，再根據(jù)，推出，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，平分，，，，；（2）解：，，，，，平分，，，，，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：，，，，，平分，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的綜合問題，掌握平行線的性質(zhì)以及判定定理、角平分線的定義、角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．如圖1，，直線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上（不與重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)，若，求出的度數(shù)；(3)若直線的位置如圖3所示，點(diǎn)在線段上（不與重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)，若，則（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的運(yùn)用，準(zhǔn)確識(shí)圖并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，得到，推出，根據(jù)，得到，即可得到；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，同理（1）得，結(jié)合，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，，由，即可得出結(jié)論；當(dāng)在上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，，由，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，∴∵，∴，∴（2）解：∵和的平分線交于點(diǎn)，∴，，同理（1）得，由（1）得，；（3）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由，可得：，，，又是的外角，，，；②如圖，當(dāng)在上時(shí)，如圖同理可得，，，，又中，，，．，綜上，的角度為或．20．經(jīng)過平行線中的拐點(diǎn)作平行線是解決與平行線有關(guān)問題的常用思路．(1)如圖1，，則__________；(2)如圖2，，點(diǎn)P在直線AB上方，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(3)如圖3，，點(diǎn)P在直線上方，的角平分線所在的直線和的角平分線所在的直線交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在直線的下方），請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：(4)如圖4，，點(diǎn)P在直線上方，分別是的三等分線，且．直線與直線交于點(diǎn)M，直線與直線交于點(diǎn)N（點(diǎn)N在直線的下方）．請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（請(qǐng)自行畫圖分析）【答案】(1)(2)，見解析(3)，見解析(4)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，過作，則，由，可得，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）如圖2，過作，則，同理（1）可得，，則；∴；（3）由平分，平分，可得，設(shè)，則，，，如圖3，過作，過作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，則，由，可得，整理作答即可；（4）由題意作圖，如圖4，由，設(shè)，，，，則，，，，則，即；，即；由（2）可知，，如圖4，過作，過作，則，同理（1）可得，，，同理，，由，可得．【詳解】（1）解：如圖1，過作，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：；證明如下；如圖2，過作，∴，∵，∴，∴