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方法技巧專題5立體幾何中平行與垂直證明解析版一、立體幾何中平行與垂直知識框架二、立體幾何中的向量方法【一】“平行關系”常見證明方法1.1直線與直線平行的證明1.1.1利用某些平面圖形的特性:如平行四邊形的對邊互相平行等1.1.2利用三角形中位線性質(zhì)1.1.3利用空間平行線的傳遞性(即公理4):平行于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.4利用直線與平面平行的性質(zhì)定理:bαbαβ1.1.5利用平面與平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.1.1.6利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。1.1.7利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì):在同一個平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.8利用定義:在同一個平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點1.2直線與平面平行的證明1.2.1利用直線與平面平行的判定定理:平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。1.2.2利用平面與平面平行的性質(zhì)推論:兩個平面互相平行,則其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一個平面。ββαa1.2.3利用定義:直線在平面外,且直線與平面沒有公共點1.3平面與平面平行的證明1.3.1利用平面與平面平行的判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。PP1.3.2利用某些空間幾何體的特性:如正方體的上下底面互相平行等1.3.3利用定義:兩個平面沒有公共點1.例題【例1】如圖,已知菱形,其邊長為2,,繞著順時針旋轉(zhuǎn)得到,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.證明(1)連結(jié)AC交BD于點O,連結(jié)OM在菱形中,O為AC中點,M為的中點OM為APC的中位線,OM∥AP---------------(利用1.1.2中位線性質(zhì))又OM面,且PA面平面----------------(利用1.2.1直線與平面平行的判定定理)【例2】已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是、邊長為的菱形,又,且PD=CD,點M、N分別是棱AD、PC的中點.證明:DN//平面PMB。證明:取PB中點為E,連結(jié)ME、NE點M、N分別是棱AD、PC的中點NEBC,又MDBCNEMD,即四邊形ABCD為平行四邊形.ME//DN----------(利用1.1.1平行四邊形性質(zhì))又ME面PMB,且DN面PMB,DN//平面PMB----------(利用1.2.1直線與平面平行的判定定理)【例3】如圖,已知點是平行四邊形所在平面外的一點,,分別是,上的點且,求證:平面.證明:過E作EM//AD交PD于點M,連結(jié)MF===PB//MF,又AD//BC,EM//BCBC面PBC,且EM面PBC,EM//面PBC,同理MF//面PBC,----------(利用1.2.1直線與平面平行的判定定理)FM面EFM,EM面EFM,EMMF于點M,面EMF//面PBC,------------(利用1.3.1平面與平面平行的判定定理)EF//面PBC------------(利用1.2.2平面與平面平行的性質(zhì))2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖,在六面體中,平面∥平面,⊥平面,,,∥,且,.求證:∥平面;AABCDEGF證明:取DG的中點為M連結(jié)FM、AM,∴DM=MG=EF=1又∵∥∴四邊形EFMD為平行四邊形,∴EFDE∵⊥平面,且平面∥平面∴AD⊥DE,AD⊥AB,又∵AB、DE面ABED,AB=DE=2∴ABDE∴ABFM,即四邊形ABFM為平行四邊形,∴BF∥AM,又∵BF面,AM面∴∥平面【練習2】如圖,,,,分別是正方體的棱,,,的中點.求證:(1)平面;(2)平面平面.【解析】證明(1)如圖,取的中點,連接,,因為,所以,所以四邊形為平行四邊形,故,因為平面,平面,所以平面.(2)由題意可知.連接,,因為,所以四邊形是平行四邊形,故又,,所以平面平面.【練習3】在如圖所示的五面體中,四邊形為菱形,且,平面,,為中點.求證:平面.【解析】證明:取中點,連接,因為分別為中點,所以,又平面,且平面,所以平面,因為平面,平面,平面平面,所以.又,,所以,.所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面且平面,所以平面,又,所以平面平面.又平面,所以平面.【二】“垂直關系”常見證明方法2.1直線與直線垂直的證明2.1.1利用某些平面圖形的特性:如直角三角形的兩條直角邊互相垂直,等邊、等腰三角形(中線即高線),正方形、矩形鄰邊垂直,正方形菱形對角線垂直等。2.1.2看夾角:兩條共(異)面直線的夾角為90°,則兩直線互相垂直。2.1.3利用直線與平面垂直的性質(zhì):如果一條直線與一個平面垂直,則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。ααb2.1.4利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論:如果兩個平面互相垂直,在這兩個平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線,則這兩條直線互相垂直。bbβα2.1.5利用常用結(jié)論:c如果兩條直線互相平行,且其中一條直線垂直于第三條直線,則另一條直線也垂直于第三條直線。cbbb如果有一條直線垂直于一個平面,另一條直線平行于此平面,那么這兩條直線互相垂直。bαα2.2直線與平面垂直的證明2.2.1利用某些空間幾何體的特性:如長方體側(cè)棱垂直于底面等2.2.2看直線與平面所成的角:如果直線與平面所成的角是直角,則這條直線垂直于此平面。2.2.3利用直線與平面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線垂直于此平面。SHAPE2.2.4利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。SHAPE2.2.5利用常用結(jié)論:一條直線平行于一個平面的一條垂線,則該直線也垂直于此平面。兩個平面平行,一直線垂直于其中一個平面,則該直線也垂直于另一個平面。2.3平面與平面垂直的證明2.3.1利用某些空間幾何體的特性:如長方體側(cè)面垂直于底面等2.3.2看二面角:兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角(即平面角是直角的二面角),就說這連個平面互相垂直。2.3.3利用平面與平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。1.例題【例1】APBCFED如圖,四邊形ABCD為矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,P為ABAPBCFED證明:ABCD為矩形,AB=2BC,P為AB的中點,PBC為等腰直角三角形,∠BPC=45°.同理可證∠APD=45°.∠DPC=90°,即PC⊥PD.-----------(利用2.1.1)又DE⊥面ABCD,PC面ABCD,PC⊥DE.-----------(利用2.1.3)DE∩PD=D,PC⊥面PDE.-----------(利用2.2.3)又PC面PCF,面PCF⊥面PDE。-----------(利用2.3.3)【例2】如圖,在四棱錐中,ABCD是矩形,,,點是的中點,點在上移動。求證:。【證明】,-----------(利用2.1.3),-----------(利用2.1.1),-----------(利用2.2.3),點是的中點-----------(利用2.1.1)又-----------(利用2.1.3)【例3】如圖,在四邊形中,,,點為線段上的一點.現(xiàn)將沿線段翻折到,使得平面平面,連接,.證明:平面.【證明】(Ⅰ)連結(jié),交于點,在四邊形中,∵,∴,∴,∴又∵平面平面,且平面平面=∴平面-----------(利用2.2.4)2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA底面ABCD,P為BC邊的中點,SB與平面ABCD所成的角為,且AD=2,SA=1。求證:PD平面SAP;【證明】∵SA⊥面ABCD,∴SBA為SB與面ABCD的夾角,∴SBA=,且SA⊥AB,∴AB=1在矩形ABCD中,P為BC邊的中點,∴AB=BP=1,∴AP=,同理DP=又∵AD=2,∴APD=,即AP⊥PD∵SA⊥面ABCD,∴SA⊥PD,且SA、AP面SAP,SAAP于點A,∴PD平面SAP【練習2】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,為棱的中點.,,.(1)求證:平面;(2)求證:平面;【解析】(1)證明:連接與,兩線交于點,連接.在中,∵,分別為,的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)證明:∵側(cè)棱底面,平面,∴,又∵為棱的中點,,∴.∵,,平面,∴平面,∴∵,∴.又∵,∴在和中,,∴,即,∴∵,,平面,∴平面.【練習3】如圖,四棱錐中,,,,為正三角形.且.證明:平面平面.【解析】(1)證明:∵,且,∴,又為正三角形,∴,又∵,,∴,又∵,,∴,,∴平面,又∵平面,∴平面平面.三、課后自我檢測1.如圖,四邊形為正方形,平面,,,,.(1)求證:;(2)若點在線段上,且滿足,求證:平面;(3)求證:平面.【解析】(1)∵,∴與確定平面,∵平面,∴.由已知得且,∴平面.又平面,∴.(2)過作,垂足為,連接,則.又,∴.又且,∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴.又平面,平面,∴平面.(3)由(1)可知,.在四邊形中,,,,,∴,則.設,∵,故,則,即.又∵,∴平面.2.直三棱柱中,,,,點是線段上的動點.(1)當點是的中點時,求證:平面;(2)線段上是否存在點,使得平面平面?若存在,試求出的長度;若不存在,請說明理由.【解析】(1)如圖,連接,交于點,連接,則點是的中點,又點是的中點,由中位線定理得,因為平面,平面,所以平面.(2)當時平面平面.證明:因為平面,平面,所以.又,,所以平面,因為平面,所以平面平面,故點滿足.因為,,,所以,故是以角為直角的三角形,又,所以.3.如圖,為等邊三角形,平面,,,為的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求證:平面平面.【解析】(1)證明:取的中點,連結(jié)∵在中,,∵,∴,∴四邊形
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